View Full Version : Gli esseri umani non sanno fare sto integrale..
Ragazzi mi date una mano su questo integrale? Fermo restando che sono riuscito a trovarne una possibile soluzione, ma siccome originariamente trattasi di integrale definito, penso la forma corretta sia più breve della mia (che non scrivo ora, magari domani, perchè sennò domattina non ho ancora finito di scriverla talmente è lunga! :D)
L'integrale è questo:
http://img240.exs.cx/img240/1060/image26hh.jpg
grazie mille!
Lucrezio
11-02-2005, 10:43
Direi per parti, così elimini il logaritmo.
per prima cosa trova una primitiva di sqrt(1-x^2), poi si dovrebbe razionalizzare il tutto!
Se vuoi tempo fa ho scritto una guida con vari trucchi per calcolare integrali...
http://forum.hwupgrade.it/showthrea...threadid=855791
vedi se ti viene utile!
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 10:48
Prova con l'integratore...
http://integrals.wolfram.com/
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Prova con l'integratore...
Il risultato non è proprio il massimo della leggibilità :mbe:
http://integrals.wolfram.com/webMathematica/Integrate.jsp?expr=Log%5Bx%5D*Sqrt%5B1-x%5E2%5D&format=StandardForm&fontsize=Medium
Originariamente inviato da Lucrezio
Direi per parti, così elimini il logaritmo.
per prima cosa trova una primitiva di sqrt(1-x^2), poi si dovrebbe razionalizzare il tutto!
Se vuoi tempo fa ho scritto una guida con vari trucchi per calcolare integrali...
http://forum.hwupgrade.it/showthrea...threadid=855791
vedi se ti viene utile!
tempo fa... forse troppo tempo fa (il link non porta a nulla :D )
cmq ho provato sia per parti togliendo il log, sia sostituendo a X il coseno o il seno, sia sostituendo (1 - X) con t^2...
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 13:10
Originariamente inviato da Banus
Il risultato non è proprio il massimo della leggibilità :mbe:
http://integrals.wolfram.com/webMathematica/Integrate.jsp?expr=Log%5Bx%5D*Sqrt%5B1-x%5E2%5D&format=StandardForm&fontsize=Medium
Diamine! :eek: :p
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 13:11
Originariamente inviato da Nukles
tempo fa... forse troppo tempo fa (il link non porta a nulla :D )
cmq ho provato sia per parti togliendo il log, sia sostituendo a X il coseno o il seno, sia sostituendo (1 - X) con t^2...
http://forum.hwupgrade.it/showthread.php?s=&threadid=855791
Il link corretto ;)
solo perchè non ne ho voglia sennò l'ho già fatto a mente io ;)
:D
capperi che integrale!!!:eek:
thx x i 2 link RaGaSsUoLi :D
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 13:17
Cmq sinceramente non capisco la corsa a integrali sempre più assurdi e complessi, come se poi servisse a qualcosa...
L'unico risultato che si ottiene dando esercizi del genere è far odiare la matematica a chi la sta studiando :rolleyes:
sul sito "The Integrator" come bisogna scrivere seno e coseno per farglieli intendere giusti?
boobs e co-boobs?
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Cmq sinceramente non capisco la corsa a integrali sempre più assurdi e complessi, come se poi servisse a qualcosa...
L'unico risultato che si ottiene dando esercizi del genere è far odiare la matematica a chi la sta studiando :rolleyes:
Concordo ;)
E' molto più interessante calcolo numerico a questo punto, non ti fermi davanti a integrali del tipo e^(t^2). E poi formule troppo complesse quando si tratta di fare calcoli spesso portano ad errori maggiori...
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Cmq sinceramente non capisco la corsa a integrali sempre più assurdi e complessi, come se poi servisse a qualcosa...
L'unico risultato che si ottiene dando esercizi del genere è far odiare la matematica a chi la sta studiando :rolleyes:
perchè, più in là gli integrali saranno più semplici? (domanda mia di studente di ingegneria...)
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 14:35
Originariamente inviato da Nukles
perchè, più in là gli integrali saranno più semplici? (domanda mia di studente di ingegneria...)
Beh, difficilmente il mondo di tutti i giorni sarà descritto da funzioni assurde tipo l'arctg(sqrtx-sinhlogx)+cos^18x) - exp(x+x^27) etc etc...
Piuttosto sarà più facile trovare qualcosa che non puoi integrare analiticamente...quindi sarebbe più opportuno insegnare bene il calcolo numerico invece di addestrare la gente a fare calcoli di roba ipertrascendente! :p
Non so se hai risolto...
comunque la soluzione è
sin(a)*ln(sin(a)) - sin(a)
Dove a = arcsin(x)
(Per risolverlo devi dire che x=sin(a))
Originariamente inviato da dedde
Non so se hai risolto...
comunque la soluzione è
sin(a)*ln(sin(a)) - sin(a)
Dove a = arcsin(x)
(Per risolverlo devi dire che x=sin(a))
uao...:eek:
spinbird
11-02-2005, 22:57
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Cmq sinceramente non capisco la corsa a integrali sempre più assurdi e complessi, come se poi servisse a qualcosa...
consenso
ho stramaledetto ad analisi1 gli integrali di funzioni razionali fratte
20min per risemplificare tutto con ruffini e altri vari divertentissimi metodi, per poi arrivare ad un normalissimo polinomio intrgrabile in 5secondi.....due palle!
ChristinaAemiliana
11-02-2005, 23:17
Originariamente inviato da dedde
Non so se hai risolto...
comunque la soluzione è
sin(a)*ln(sin(a)) - sin(a)
Dove a = arcsin(x)
(Per risolverlo devi dire che x=sin(a))
sin[arcsin(x)]*ln{sin[arcsin(x)]} - sin[arcsin(x)]
:what:
Bilancino
12-02-2005, 00:59
Originariamente inviato da dedde
Non so se hai risolto...
comunque la soluzione è
sin(a)*ln(sin(a)) - sin(a)
Dove a = arcsin(x)
(Per risolverlo devi dire che x=sin(a))
Onestamente ho visto ora questa discussione e vedendo il testo ho pensato subito a questa sostituzione. Avrei fatto proprio ora questa sostituzione.........peccato ad arrivare in ritardo :D
Ciao
Goldrake_xyz
13-02-2005, 11:23
mah, la funzione è nel campo reale per x da 0 a 1
per x > 1 và nel campo immaginario.
http://img231.exs.cx/img231/8166/intln29kg.th.gif (http://img231.exs.cx/my.php?loc=img231&image=intln29kg.gif)
Nel link sopra si può vedere l'andamento sia della f(x)
che della primitiva F(x), ottenute con un programma di
calcolo numerico.
In effetti, se non si riesce, e succede molte volte,
a trovare la funzione primitiva, allora non resta che
affidarsi al calcolo numerico .. :(
Ciao. :)
Goldrake_xyz
13-02-2005, 11:31
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
sin[arcsin(x)]*ln{sin[arcsin(x)]} - sin[arcsin(x)]
:what:
:eek: non ti piace il Lisp ? :wtf:_:D
già che ci siamo...
mi dite e^-t^2 di che grado è? C'era ieri nell'esame (quel bastardo del prof c'ha dato cose mai affrontate nell 10 lezioni (su 20) in cui lui è venuto...
ah è t ovviamente la variabile
cmq ieri l'esame non è andato benissimo...
Originariamente inviato da Goldrake_xyz
mah, la funzione è nel campo reale per x da 0 a 1
per x > 1 và nel campo immaginario.
Adesso ho capito perchè Mathematica dà quel risultato assurdo... la mania di dare per forza la soluzione più generale (con funzione Gamma e parenti :p) :D
Dedde sei sicuro della tua soluzione? Portando tutto il funzione di x (x=sin(a) è invertibile in (0,1) ) mi esce:
x ln(x) - x
che derivato porta a:
ln(x) -1 + 1
Mentre si dovrebbe avere l'integranda.
Ho provato a vedere cosa esce con la sostituzione ma vedo che si incasina presto e non ho voglia di trovare il modo di aggredirlo :p
Originariamente inviato da Nukles
mi dite e^-t^2 di che grado è?
Il grado si definisce solo per polinomi, e comunque non per gli esponenziali, per quanto ne so... mi sa che ha voluto fare il bastardo...
Originariamente inviato da Banus
Il grado si definisce solo per polinomi, e comunque non per gli esponenziali, per quanto ne so... mi sa che ha voluto fare il bastardo...
no, più che altro, ti dico questo: dovevo calcolare l'integrale di quella funzione, e farne il grafico (ovviamente della funzione integrale).
Senza risolvere l'integrale, ho dato una stima della funzione, ma gli ho detto (probabilmente sbagliando) che l'integrale è infinito poichè la funzione integranda va all'infinito con un grado pari a uno (stavo nella confusione degli ultimi 5 minuti... :D).
Originariamente inviato da Nukles
Senza risolvere l'integrale, ho dato una stima della funzione, ma gli ho detto (probabilmente sbagliando) che l'integrale è infinito poichè la funzione integranda va all'infinito con un grado pari a uno (stavo nella confusione degli ultimi 5 minuti... :D).
L'integrale di quella funzione è (a parte qualche coefficiente) la distribuzione di probabilità di una variabile causale gaussiana, e non è integrabile elementarmente :p
La funzione integrale è una specie di S con due asintoti orizzontali a +oo e -oo
L'altezza dell'asintoto è qualcosa del tipo 1/2*Sqrt(2*pi) se non ricordo male (cosiderando 0 come primo estremo di integrazione), ma per trovarlo servono considerazioni particolari.
Originariamente inviato da Banus
L'integrale di quella funzione è (a parte qualche coefficiente) la distribuzione di probabilità di una variabile causale gaussiana, e non è integrabile elementarmente :p
La funzione integrale è una specie di S con due asintoti orizzontali a +oo e -oo
L'altezza dell'asintoto è qualcosa del tipo 1/2*Sqrt(2*pi) se non ricordo male (cosiderando 0 come primo estremo di integrazione), ma per trovarlo servono considerazioni particolari.
allora mi stai dicendo che quel prof è davvero più che bast**o!!! Ricordavo anche io la curva di Gauss nell'esame alle superiori...
comunque, per disegnarla mi sono basato sullo studio di quella funzione (f'(x) ) intesa come deritata, stabilendo l'asintoticità di f(x).
Comuque la mia domanda era: come si potrebbe calcolare l'integrale da 1 a +oo? di e^-t^2 ??
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 16:52
Originariamente inviato da Banus
Dedde sei sicuro della tua soluzione? Portando tutto il funzione di x (x=sin(a) è invertibile in (0,1) ) mi esce:
x ln(x) - x
che derivato porta a:
ln(x) -1 + 1
Mentre si dovrebbe avere l'integranda.
Ho provato a vedere cosa esce con la sostituzione ma vedo che si incasina presto e non ho voglia di trovare il modo di aggredirlo :p
Ecco, finalmente qualcuno che ha il mio stesso dubbio...cominciavo a preoccuparmi :D
Originariamente inviato da Nukles
Comuque la mia domanda era: come si potrebbe calcolare l'integrale da 1 a +oo? di e^-t^2 ??
Da 1 a +oo si va numericamente, non c'è alternativa... c'è un teorema (Liouville) che dimostra che non esiste una formula con +,*,radici,esponenziali e logaritmi che esprime la primitiva di e^(t^2) e funzioni simili.
Fra 0 e +oo si riesce a trovare il valore, ma passando per gli integrali su due dimensioni e usando le cocrdinate polari...
Non per niente i valori della distribuzione normale sono tabulati.. non per pigrizia, ma perchè non c'è una formula semplice :p
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 17:14
Originariamente inviato da Nukles
allora mi stai dicendo che quel prof è davvero più che bast**o!!! Ricordavo anche io la curva di Gauss nell'esame alle superiori...
comunque, per disegnarla mi sono basato sullo studio di quella funzione (f'(x) ) intesa come deritata, stabilendo l'asintoticità di f(x).
Comuque la mia domanda era: come si potrebbe calcolare l'integrale da 1 a +oo? di e^-t^2 ??
Quella funzione è in effetti una gaussiana.
Calcolare quell'integrale non è facile e di certo normalmente non si dà come esercizio. Sinceramente non riesco a capire come possa un prof fare una cosa del genere. Siamo sicuri che non fosse una domanda di teoria? :wtf:
Cmq, quell'integrale si calcola con un trucchetto che di solito viene spiegato a mo' di esempio quando si fanno gli integrali doppi.
Infatti non potendo calcolare banalmente:
I = INTEGRALE[exp(-t^2) dt] (scusate 'sta notazione, mi rendo conto che sia illeggibile ma non so come fare di meglio)
si va a calcolare:
I^2 = INTEGRALE_DOPPIO[exp(-x^2 -y^2) dx dy]
si passa a coordinate polari:
I^2 = INTEGRALE_DOPPIO[exp(-r^2) r dr dtheta] =
= INTEGRALE[dtheta] * INTEGRALE[exp(-r^2) r dr]
Ora, l'integrale originario in genere è tra -oo e +oo quindi in coordinate polari si integra tra 0 e 2pigreco e tra 0 e +oo. Dal primo integrale risulta theta preso tra 0 e 2pigreco e quindi 2pigreco, dal secondo risulta 1/2 exp(-r^2) tra 0 e +oo e quindi 1/2. Perciò in definitiva risulta:
I^2 = pigreco ---> I = sqrt(pigreco)
il che non mi sembra un esercizio da analisi 1. ;)
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 17:16
Originariamente inviato da Banus
Da 1 a +oo si va numericamente, non c'è alternativa... c'è un teorema (Liouville) che dimostra che non esiste una formula con +,*,radici,esponenziali e logaritmi che esprime la primitiva di e^(t^2) e funzioni simili.
Fra 0 e +oo si riesce a trovare il valore, ma passando per gli integrali su due dimensioni e usando le cocrdinate polari...
Non per niente i valori della distribuzione normale sono tabulati.. non per pigrizia, ma perchè non c'è una formula semplice :p
Da 1 a +oo? Non avevo mica letto :eek:
Uhm...:what:
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
il che non mi sembra un esercizio da analisi 1. ;)
Questo è il trucchetto che ricordavo io ;)
Per tutti gli altri casi non esiste un metodo generale (il trucchetto dell'infinito non funziona: non è più possibile confondere cerchi con quadrati :D) per il teorema che ho già citato.
Originariamente inviato da Banus
Da 1 a +oo si va numericamente, non c'è alternativa... c'è un teorema (Liouville) che dimostra che non esiste una formula con +,*,radici,esponenziali e logaritmi che esprime la primitiva di e^(t^2) e funzioni simili.
Fra 0 e +oo si riesce a trovare il valore, ma passando per gli integrali su due dimensioni e usando le cocrdinate polari...
Non per niente i valori della distribuzione normale sono tabulati.. non per pigrizia, ma perchè non c'è una formula semplice :p
Ahahahahh!!! Ma lollissimo! Davvero lollissimo! Vuoi dire che io tutte le boiate che ho scritto in brutta per calcolarmelo non son servite a niente? ma uao! Ahahahah
cmq se ti fossi trovato di fronte un esercizio così (uguale al nostro):
F(X) = INTEGRALE(e^-t^2 dt)
disegnare la funzione dell'intervallo [1, +oo]
calcolare l'integrale in I = [1, +oo]
come avresti fatto, in breve?
Thanx 4 the info
:D
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 17:44
Originariamente inviato da Banus
Questo è il trucchetto che ricordavo io ;)
Per tutti gli altri casi non esiste un metodo generale (il trucchetto dell'infinito non funziona: non è più possibile confondere cerchi con quadrati :D) per il teorema che ho già citato.
Beh tra 0 e +oo basta fare diviso due...la funzione è pari :D
Ma tra 1 e +oo...:what:
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 17:47
Forse...integrando per serie? :confused:
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Forse...integrando per serie? :confused:
noi nell'integr. generalizzato abbiamo sempre fatto:
lim per n-->+oo di INTEGRALE (da 1 a n) di f(x).
così veniva lim per n-->+oo di ( [PRIMITIVAdi f(x)] (n) - [PRIMITIVAdi f(x)] (1) )
esistono altri modi? E cmq integrando per serie, non avrei comunque bisogno della primitiva?
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Beh tra 0 e +oo basta fare diviso due...la funzione è pari :D
Ma tra 1 e +oo...:what:
ma "divisto due" cosa? Cosa divido per due se non ho nulla tra le mani? :D
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 18:23
No, stavo pensando a integrare la serie di Taylor dell'esponenziale...in pratica pensavo di sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale e poi integrare questa serie. Si scambia l'operatore di sommatoria con quello di integrale e invece di fare l'integrale della serie si fa la serie degli integrali...si tratterebbe di risolvere un integrale generico del tipo x^2n.
Ah per diviso due intendevo che radice di pigreco è la soluzione tra -oo e +oo, se dovevi integrare tra -oo e 0 o tra 0 e +oo bastava fare radice di pigreco diviso due, visto che i due integrali sono uguali in quanto la funzione evidentemente è pari...:)
spinbird
13-02-2005, 18:59
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
No, stavo pensando a integrare la serie di Taylor dell'esponenziale...
dove osano i nucleari:eek::D
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
No, stavo pensando a integrare la serie di Taylor dell'esponenziale...in pratica pensavo di sviluppare in serie di Taylor l'esponenziale e poi integrare questa serie.
Potrebbe funzionare, fra 0 e 1 però ;)
Ma a questo punto si può usare un polinomio interpolante, o uno dei tanti algoritmi di quadratura numerica. Ma questo non è neppure nel programma di Analisi II :p
Banus....non è che c'è quel trucchetto visto a Comunicazione Elettriche passando per la trasformata di Fourier?
Originariamente inviato da dedde
Non so se hai risolto...
comunque la soluzione è
sin(a)*ln(sin(a)) - sin(a)
Dove a = arcsin(x)
(Per risolverlo devi dire che x=sin(a))
Si avete ragione la soluzione è sbagliata!
Ho provato a manipolarlo ma alla fine ho trovato
una funzione trigonometrica in a (vedi sopra) + il seguente integrale
S [ln (sin(a)] da
Penso che quest'ultimo integrale non sia risolubile in forma chiusa ma solo tramite una serie di questo tipo
y
S [ln (2*sin(x/2)] da = - ( sin(y)/(1^2) + sin(2y)/(2^2) + sin(3y)/(3^2) + ...)
0
ChristinaAemiliana
13-02-2005, 21:02
Originariamente inviato da Banus
Potrebbe funzionare, fra 0 e 1 però ;)
Ma a questo punto si può usare un polinomio interpolante, o uno dei tanti algoritmi di quadratura numerica. Ma questo non è neppure nel programma di Analisi II :p
Intendevo calcolare la somma della serie risultante, non fermarmi a qualche ridotta! :p
In ogni caso anche questo metodo, ammesso che sia effettivamente sviluppabile (magari ci si incarta da qualche parte, non ho provato) è già difficile per analisi 2...figuriamoci per analisi 1...mi piacerebbe sapere che soluzione aveva in mente il prof...:boh:
Dato
x(t)=exp[(-t^2)/(2*sigma^2)]
Se vuoi una forma algebrica dell'integrale indefinito di una gaussiana non so aiutarti, ma se ti serve il valore dell'integrale definito fra -oo e +oo è facile, in quanto equivale al valore nell'origine della sua trasformata di Fourier cioè:
sigma*sqrt(2*pi)
Originariamente inviato da lowenz
Dato
x(t)=exp[(-t^2)/(2*sigma^2)]
Se vuoi una forma algebrica dell'integrale indefinito di una gaussiana non so aiutarti, ma se ti serve il valore dell'integrale definito fra -oo e +oo è facile, in quanto equivale al valore nell'origine della sua trasformata di Fourier cioè:
sigma*sqrt(2*pi)
ahahahahahah stai parlando con una matricola che fa Calcolo I
;)
cmq ke bastardo quel prof...
Materiale utile per calcolare (non è difficile per nulla)
http://mathworld.wolfram.com/eimg2619.gif
http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
Buon divertimento :)
Posto il collage :)
http://mathworld.wolfram.com/eimg2619.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2620.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2621.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2622.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2623.gif
Contenti? Vi risparmio la fusione del cervello :D
Originariamente inviato da lowenz
Se vuoi una forma algebrica dell'integrale indefinito di una gaussiana non so aiutarti, ma se ti serve il valore dell'integrale definito fra -oo e +oo è facile, in quanto equivale al valore nell'origine della sua trasformata di Fourier cioè:
E' quello che Christina ha dimostrato con tutti i conti ;)
Il problema c'è quando consideri integrali con estremi generici.
x Christina:
sicuramente la serie darà qualcosa di strano. Altrimenti significa che si può trovare la primitiva in forma chiusa. Ovviamente per forma chiusa non intendo funzioni tipo erf(x) :p
Originariamente inviato da dedde Penso che quest'ultimo integrale non sia risolubile in forma chiusa ma solo tramite una serie di questo tipo
Ho riprovato e ho trovato una soluzione "umana". Effettuando la sostituzione x = sin(a) si ottiene:
S [ln(sin(a)) (cos(a))^2 da]
integro per parti prendendo f'(a) = ln(sin(a))cos(a) e come g(a) = cos(a). Dopo un po' di manovalanza, ricordando che S[ln(x)]=x(ln(x) - 1):
(ln(sin(a))-1) sin(a) cos(a) - (ln(sin(a)) - 1) sin(a)
che portato in x diventa:
(ln(x) - 1) x (Sqrt(1-x^2) - 1)
Ho provato a derivare e non torna, quindi probabilmente è sbagliato.
Originariamente inviato da Banus
E' quello che Christina ha dimostrato con tutti i conti ;)
Il problema c'è quando consideri integrali con estremi generici.
Guarda sopra, con x generico diverso da 0 dovrebbe funzionare quello che ho riportato dal link :)
Originariamente inviato da lowenz
Guarda sopra, con x generico diverso da 0 dovrebbe funzionare quello che ho riportato dal link :)
Sì ma definisce una serie, e siamo a capo :)
Concordo con dedde, probabilmente l'integrale della prima pagina non è elementare. Ho provato a dare in pasto l'integranda con sostituzione all'integrator e mi ha sputato fuori una PolyLog :eek:
Per parti è inattaccabile perchè ricompare l'integranda dopo un passaggio e non si può nemmeno portare all'altro membro perchè si elide tutto :(
Originariamente inviato da Banus
Sì ma definisce una serie, e siamo a capo :)
Ma non c'è una forma chiusa per erf(x), almeno così mi pare, altrimenti non l'avrebbero inventata "erf(x)" :D
Originariamente inviato da lowenz
Posto il collage :)
http://mathworld.wolfram.com/eimg2619.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2620.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2621.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2622.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2623.gif
Contenti? Vi risparmio la fusione del cervello :D
sì ma sec te io ad Analisi I faccio ste cose...?:D
e poi cos'è "erf"?
Originariamente inviato da Nukles
sì ma sec te io ad Analisi I faccio ste cose...?:D
e poi cos'è "erf"?
Un altro modo per chiamare la gaussiana :p
Originariamente inviato da Banus
Un altro modo per chiamare la gaussiana :p
comunque in ogni caso, mi sembra di non riconoscere in quello che ha fatto lowenz uno dei metodi più pedestri per calcolare un integrale, o mi sbaglio? Non è roba da Analisi I...
non c'è mica un modo per decomposizione?
Originariamente inviato da Nukles
comunque in ogni caso, mi sembra di non riconoscere in quello che ha fatto lowenz uno dei metodi più pedestri per calcolare un integrale, o mi sbaglio? Non è roba da Analisi I...
Non è difficile, non è altro che l'applicazione dell'integrazione da qui all'infinito :D
d(e^(-t^2)) = -2t e^(-t^2)
prendi sempre 1/t, 1/t^3 etc. come g(t) e d(e^-(-t^2)) come f'(t)dt e iteri ;)
Rigurado al calcolo dell'integrale non c'è scampo, si deve usare il calcolo numerico. Guarda in fondo a questa pagina:
http://www.vialattea.net/esperti/mat/prgauss/prgauss.htm
Spiega un paio di metodi che possono essere utili. Si possono interpolare i punti con dei segmenti e calcolare l'area dei trapezi ottenuti (metodo dei trapezi). Si possono costruire delle parabole che interpolano i punti due a due, con la condizione che il raccordo sia C1 (continuo assieme alla derivata, cioè le derivate sono uguali nel raccordo.
In generale si può prendere un polinomio di grado n, ma salendo di grado il polinomio interpolante inizia a oscillare e va a finire che l'approssimazione peggiora :p
Se proprio non vuoi scrivere il programma che fa tutto questo c'è sempre Excel:
=RADQ(2*PI.GRECO())*DISTRIB.NORM.ST($A$1*RADQ(2))
in A1 c'è l'estremo x; la formula calcola l'integrale di e^(-t^2) da 0 a x. I vari coefficienti servono per passare dalla distribuzione normale all'integrale voluto :p
Originariamente inviato da Nukles
comunque in ogni caso, mi sembra di non riconoscere in quello che ha fatto lowenz uno dei metodi più pedestri per calcolare un integrale, o mi sbaglio? Non è roba da Analisi I...
non c'è mica un modo per decomposizione?
E' risolto per parti, solo che si ripete il metodo all'infinito, tutto qui.
L'unica cosa che può stupire un po' è appunto quella che ha spiegato Banus, ovvero scrivere al contrario il differenziale
-2t e^(-t^2) = d(e^(-t^2))
Ma non è difficile concepire che 4=2+2 invece che 2+2=4 :D ;)
Originariamente inviato da Banus
Un altro modo per chiamare la gaussiana :p
Piccolo errore :D
erf(x) è la funzione integrale della gaussiana, non la gaussiana ;)
Originariamente inviato da lowenz
Piccolo errore :D
erf(x) è la funzione integrale della gaussiana, non la gaussiana ;)
Volutamente vaga :D
Non ho voglia di dire tutte le volte "funzione di distribuzione di probabilità (o cumulativa) normale" :p
In questo caso è evidente che parliamo della cumulativa, per la densità basta una calcolatrice :p
E comunque hai riportato un mio errore :p
d(e^(-t^2)) = -2t e^(-t^2) dt
Originariamente inviato da Banus
d(e^(-t^2)) = -2t e^(-t^2) dt
:D
beh, un integrale per parti portato all'infinito, noi non l'abbiamo mai fatto...
mah, che strano, saprò dirvi di più quando avrò visto il compito corretto...
ChristinaAemiliana
14-02-2005, 15:44
Originariamente inviato da Banus
x Christina:
sicuramente la serie darà qualcosa di strano. Altrimenti significa che si può trovare la primitiva in forma chiusa. Ovviamente per forma chiusa non intendo funzioni tipo erf(x) :p
Hai ragione anche tu. Quello che speravo è che, nel caso particolare tra 1 e +oo, si riuscisse con qualche escamotage ad arrivare a una primitiva sfruttando chissà quale semplificazione che intervenisse solo in quel caso particolare. Ma non mi viene in mente niente, nè ho mai sentito parlare di una roba simile. Anche io ho sempre visto i valori tabulati e le soluzioni numeriche. :boh:
Ormai cmq è diventata una questione di prinipio...se Nukles a compito corretto non ci svela l'arcano, scrivo direttamente al suo prof! :sofico:
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Hai ragione anche tu. Quello che speravo è che, nel caso particolare tra 1 e +oo, si riuscisse con qualche escamotage ad arrivare a una primitiva sfruttando chissà quale semplificazione che intervenisse solo in quel caso particolare. Ma non mi viene in mente niente, nè ho mai sentito parlare di una roba simile. Anche io ho sempre visto i valori tabulati e le soluzioni numeriche. :boh:
Ormai cmq è diventata una questione di prinipio...se Nukles a compito corretto non ci svela l'arcano, scrivo direttamente al suo prof! :sofico:
e chi lo sa...
una cosa però dovreste saper dirmela: se io dovessi disegnare F(x) = INTEGALEdi( e^-t^2 dt), ammesso che io conosca l'andamento della funzione, se l'integrale va da t=1 a +oo, il grafico da dove lo devo far partire? Nel senso, devo farlo partire da F(1) = 0, oppure disegnare la funzione solo da 1 a +oo? non so se mi sono spiegato... :D
Goldrake_xyz
14-02-2005, 19:32
Originariamente inviato da lowenz
Posto il collage :)
http://mathworld.wolfram.com/eimg2619.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2620.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2621.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2622.gif=
http://mathworld.wolfram.com/eimg2623.gif
Contenti? Vi risparmio la fusione del cervello :D
TNX !
Scopiazzare gli esercizi di matematica, cosa c'è di più bello ? :D
Appropos, penso che si potrebbe fare una bella collezione
di integrali di cui non si conosce la primitiva....
Sono sicuro che voi ne conoscete molti più di mè !
:sofico:
Io x questo tipo di integrali, nel mio piccolo, provo prima a
vedere dove la funzione è reale, poi valuto sè può esistere
un integrale definito in quello spazio e dopo dò in pasto il
tutto ad un programma di integrazione numerica che mi fà
anche il grafico della primitiva.
Almeno ho la soddisfazione di vedere la curva :huh:
.... ..
Originariamente inviato da Goldrake_xyz
Appropos, penso che si potrebbe fare una bella collezione
di integrali di cui non si conosce la primitiva....
Sono sicuro che voi ne conoscete molti più di mè !
e^x/x
e^(x^2)
quindi anche:
sin(x)/x
cos(x)/x
sin(x^2)
cos(x^2)
e tutti gli integrali che possono essere ridotti a quella forma con sostituzione di variabile.
In particolare la funzione gamma, che è l'integrale di:
t^(z-1) e^(-t)
al variare di z, si riconduce a uno di questi casi ;)
ChristinaAemiliana
14-02-2005, 20:46
Già solo quel "quindi anche" contiene un paio di capitoli di analisi...:D
Cmq non capisco perchè vi stupiate così tanto per queste cose :D
Semplicemente in questi casi si ritorna alla vecchia definizione di integrale e non a quella di antiderivata (teorema fondamentale del calcolo integrale). E' un po' come quando si calcolano le derivate.....tutti abituati a farlo con le formuline e nessuno che lo fa più con la definizione.....:mad: :D
Nukles nel link che ho dato c'è anche la forma della erf(x), all'inizio ;)
Originariamente inviato da lowenz
Cmq non capisco perchè vi stupiate così tanto per queste cose :D
Semplicemente in questi casi si ritorna alla vecchia definizione di integrale e non a quella di antiderivata (teorema fondamentale del calcolo integrale). E' un po' come quando si calcolano le derivate.....tutti abituati a farlo con le formuline e nessuno che lo fa più con la definizione.....:mad: :D
Nukles nel link che ho dato c'è anche la forma della erf(x), all'inizio ;)
sì ma il ragionamento che hai fatto nn è mica da Analisi I..
:)
Originariamente inviato da Nukles
sì ma il ragionamento che hai fatto nn è mica da Analisi I..
:)
Meglio dire "di quella che è diventata Analisi I" :D
Cmq gli integrali sono il limite alla quale convergono 2 sommatorie (definizione), non la primitiva di una funzione. La primitiva è un modo per CALCOLARE FACILMENTE l'integrale, non per DEFINIRLO, non mi stancherò mai di ripeterlo :)
Prova a calcolare un po' di integrali (anche semplici) con la definizione....vedrai che bello :asd:
Originariamente inviato da lowenz
Meglio dire "di quella che è diventata Analisi I" :D
Cmq gli integrali sono il limite alla quale convergono 2 sommatorie (definizione), non la primitiva di una funzione. La primitiva è un modo per CALCOLARE FACILMENTE l'integrale, non per DEFINIRLO, non mi stancherò mai di ripeterlo :)
Prova a calcolare un po' di integrali (anche semplici) con la definizione....vedrai che bello :asd:
UFFA BASTA con sto fatto che voi siete Dio e noi siamo degli infami ignoranti stupidi reietti!:)
Originariamente inviato da lowenz
Cmq gli integrali sono il limite alla quale convergono 2 sommatorie (definizione), non la primitiva di una funzione. La primitiva è un modo per CALCOLARE FACILMENTE l'integrale, non per DEFINIRLO, non mi stancherò mai di ripeterlo :)
La storia della primitiva si appoggia sul teorema fondamentale del calcolo integrale, che vuole la funzione integranda continua. In questo caso si applica benissimo, visto che e^(-t^2) è derivabile infinite volte :D
Il problema invece è che non è possibile esprimere la primitiva con le solite funzioni che si incontrano in Analisi I, quindi ci inventiamo erf(x) e buonanotte :p
Poi magari ci divertiamo a trovare 10000 modi per approssimarla, ma la sostanza non cambia :p
PS: nota che le somme integrali possono essere definite in più di un modo. Ad esempio l'integrale di Lebesgue usa somme diverse da quelle di Riemann. Però il teorema fondamentale vale sempre :D
Originariamente inviato da Nukles
UFFA BASTA con sto fatto che voi siete Dio e noi siamo degli infami ignoranti stupidi reietti!
Prova a ricavare la serie postata da lowenz applicando la formula dell'integrale per parti... non è difficile, in fondo sono solo calcoli ;)
Lascia perdere il calcolo dell'integrale secondo la definizione, è roba per computer, non per esseri umani :p
Originariamente inviato da Banus
La storia della primitiva si appoggia sul teorema fondamentale del calcolo integrale, che vuole la funzione integranda continua. In questo caso si applica benissimo, visto che e^(-t^2) è derivabile infinite volte :D
Il problema invece è che non è possibile esprimere la primitiva con le solite funzioni che si incontrano in Analisi I, quindi ci inventiamo erf(x) e buonanotte :p
Poi magari ci divertiamo a trovare 10000 modi per approssimarla, ma la sostanza non cambia :p
PS: nota che le somme integrali possono essere definite in più di un modo. Ad esempio l'integrale di Lebesgue usa somme diverse da quelle di Riemann. Però il teorema fondamentale vale sempre :D
Prova a ricavare la serie postata da lowenz applicando la formula dell'integrale per parti... non è difficile, in fondo sono solo calcoli ;)
Lascia perdere il calcolo dell'integrale secondo la definizione, è roba per computer, non per esseri umani :p
grandissimo! Grazie per l'apologia :D
cmq senti, ma se vado a fare una serie, poi dunque dovrò fare un limite per calcolarne l'integrale vero?
Originariamente inviato da Nukles
cmq senti, ma se vado a fare una serie, poi dunque dovrò fare un limite per calcolarne l'integrale vero?
Il limite è l'integrale, ma ovviamente non riesci a trovare quanto vale perchè altrimenti potresti calcolarlo direttamente...
Puoi invece sommare un po' di termini fino a quando la somma non converge verso un determinato valore. L'errore nella stima è sicuramente minore dell'ultimo termine che hai sommato, visto che la serie è oscillante.
In calcolo numerico si fa spesso così ;) però si cerca il metodo che ti fare meno somme :D
Originariamente inviato da Banus
Il limite è l'integrale, ma ovviamente non riesci a trovare quanto vale perchè altrimenti potresti calcolarlo direttamente...
Puoi invece sommare un po' di termini fino a quando la somma non converge verso un determinato valore. L'errore nella stima è sicuramente minore dell'ultimo termine che hai sommato, visto che la serie è oscillante.
In calcolo numerico si fa spesso così ;) però si cerca il metodo che ti fare meno somme :D
cmq ti ribadisco la mia precedente domanda, che forse non hai visto...;)
se io dovessi disegnare F(x) = INTEGALEdi( e^-t^2 dt), ammesso che io conosca l'andamento della funzione, se l'integrale va da t=1 a +oo, il grafico da dove lo devo far partire? Nel senso, devo farlo partire da F(1) = 0, oppure disegnare la funzione solo da 1 a +oo? non so se mi sono spiegato... :D :D :D :huh:
Originariamente inviato da Nukles
se io dovessi disegnare F(x) = INTEGALEdi( e^-t^2 dt), ammesso che io conosca l'andamento della funzione, se l'integrale va da t=1 a +oo, il grafico da dove lo devo far partire? Nel senso, devo farlo partire da F(1) = 0, oppure disegnare la funzione solo da 1 a +oo? non so se mi sono spiegato... :D :D :D :huh:
Infatti ho evaso la domanda perchè non ero sicuro di aver capito :D
Se ci pensi l'integrale da 1 a x vale 0 se x=1 (integrale da 1 a 1 => 0).
Quindi se sai l'andamento della primitiva (sono tutte uguali a parte una costante) la sposti in verticale in modo che intersechi l'asse x in x=1 ;)
Originariamente inviato da Banus
Infatti ho evaso la domanda perchè non ero sicuro di aver capito :D
Se ci pensi l'integrale da 1 a x vale 0 se x=1 (integrale da 1 a 1 => 0).
Quindi se sai l'andamento della primitiva (sono tutte uguali a parte una costante) la sposti in verticale in modo che intersechi l'asse x in x=1 ;)
che cretino allora, ho sbagliato... ho disegnato la f(x) generica e in 1 non l'ho fatta valere 0... che stupido... ma se conti che NON ABBIAMO MAI FATTO NE' STUDIATO una cosa simile...:rolleyes:
Originariamente inviato da Nukles
che cretino allora, ho sbagliato... ho disegnato la f(x) generica e in 1 non l'ho fatta valere 0... che stupido... ma se conti che NON ABBIAMO MAI FATTO NE' STUDIATO una cosa simile...:rolleyes:
Guarda, allo scritto di Analisi I che ho dato un esercizio era lo studio di una funzione integrale (con primitiva non elementare ovviamente, altrimenti dove era il divertimento? :D). Non solo, aveva un asintoto obbliquo (e si doveva dimostrare che lo era, ci sono tre condizioni da controllare).
Comunque il prof ci aveva spiegato bene la storia delle primitive non elementari (il Liouville me l'ha raccontato lui :D) e durante le esercitazioni avevamo fatto un po' di studi di funzione integrale.
Se adesso i prof sorvolando sperando che gli studenti applichino la stessa procedura per le funzioni normali, senza fargli vedere alcune sottigliezze (tipo la derivata è la funzione integranda, se l'integrale va a infinito allora non è più definito etc.) secondo me fanno un grosso sbaglio...
Originariamente inviato da Banus
Guarda, allo scritto di Analisi I che ho dato un esercizio era lo studio di una funzione integrale (con primitiva non elementare ovviamente, altrimenti dove era il divertimento? :D). Non solo, aveva un asintoto obbliquo (e si doveva dimostrare che lo era, ci sono tre condizioni da controllare).
Comunque il prof ci aveva spiegato bene la storia delle primitive non elementari (il Liouville me l'ha raccontato lui :D) e durante le esercitazioni avevamo fatto un po' di studi di funzione integrale.
Se adesso i prof sorvolando sperando che gli studenti applichino la stessa procedura per le funzioni normali, senza fargli vedere alcune sottigliezze (tipo la derivata è la funzione integranda, se l'integrale va a infinito allora non è più definito etc.) secondo me fanno un grosso sbaglio...
ahahahah!!!! LOLLISSIMO!!! Parlare di "esercitazioni" col mio prof, è come parlare di cucina nella sezione CPU del sito:D :D :D :D :D
cmq il Louville non lo ha spiegato, nè abbiamo mai fatto studi di funzione integrale... dunque dimmi te come 1) sapevo che potevo perdere 200 anni a trovare la primitiva di quella gaussiana 2) come sapevo disegnare una funzione integrale senza sapere la primitiva... mah.... certo ci si poteva arrivare (e qualcuno infatti ci è arrivato!), ma io nn sono brillantissimo in tutto quello che faccio :D
te che fai all'università?
Originariamente inviato da Nukles
te che fai all'università?
Ingegneria informatica, ma ho il pallino della matematica, infatti ho dato Analisi III tanto per sport :D
Originariamente inviato da Banus
Ingegneria informatica, ma ho il pallino della matematica
non s'era capito
:D
Originariamente inviato da Banus
Ingegneria informatica, ma ho il pallino della matematica, infatti ho dato Analisi III tanto per sport :D
Banus ha il pallino per tutto quello che non è.....umanamente possibile capire :D E' troppo avanti ;)
Te lo dice uno che lo conosce di persona da 10 anni :)
(Banus, son già passati 10 anni :eek: :cry: :) )
Originariamente inviato da Banus
La storia della primitiva si appoggia sul teorema fondamentale del calcolo integrale, che vuole la funzione integranda continua. In questo caso si applica benissimo, visto che e^(-t^2) è derivabile infinite volte :D
Mica ho detto che non si può applicare, ho solo ricordato che non è quella la definizione di integrale.....tutti fissati con 'sta primitiva :D
Che primitivi che siete.....:p
Sarà che io, il calcolo integrale, non l'ho mai sopportato :asd:
Originariamente inviato da lowenz
Semplicemente in questi casi si ritorna alla vecchia definizione di integrale e non a quella di antiderivata (teorema fondamentale del calcolo integrale).
In effetti questa frase era un po' ingannevole: intendevo dire che l'integrale nasce come limite di somme integrali e non deve stupire che non corrisponda per forza ad una primitiva in forma chiusa valutata fra 2 estremi :)
Quello è un lusso :D
Originariamente inviato da lowenz
Banus ha il pallino per tutto quello che non è.....umanamente possibile capire :D E' troppo avanti ;)
Te lo dice uno che lo conosce di persona da 10 anni :)
Perchè mi provochi? :D
http://arxiv.org/abs/physics/9806004
Eggià, sono passati 10 anni...
spinbird
15-02-2005, 18:56
Originariamente inviato da Banus
Guarda, allo scritto di Analisi I che ho dato un esercizio era lo studio di una funzione integrale
in analisi 1 ora non si fanno funzioni integrali, ma solo calcolo di integrali diciamo "semplici" (ovvero di tutti si può trovare una primitiva esprimibile con funzioni elementari)
studiare la convergenza o divergenza di un integrale su un intervallo non limitato lo si fa in analisi2 (almeno io ho fatto così)
curiosità: cosa si studia ad analisi3? anche se non è obbligatoria torna utile poi in altri corsi di informatica?
Originariamente inviato da spinbird
studiare la convergenza o divergenza di un integrale su un intervallo non limitato lo si fa in analisi2 (almeno io ho fatto così)
E suppongo che tutta la parte sulle equazioni differenziali si fa in un corso a parte, altrimenti non ci sono abbastanza ore a disposizione ;)
curiosità: cosa si studia ad analisi3? anche se non è obbligatoria torna utile poi in altri corsi di informatica?
- Analisi complessa (funzioni olomorfe e analitiche, zeri e poli, definizione di integrale complesso). Serve per capire un po' di cose sulle trasformate.
- Spazi funzionali, metriche, spazi di Hilbert. Ti fa capire molte cose sull'analisi dei segnali. Infatti dopo aver dato Analisi III, comunicazioni elettriche è stata una passeggiata :D
- Trasformate di Fourier e Laplace, con tutti i dettagli.
- Equazioni alle derivate parziali. Questa parte non si approfondisce troppo perchè è davvero immensa, ma è molto carina. Si vede l'equazione del calore, delle onde, di Laplace.
ChristinaAemiliana
15-02-2005, 19:40
Anche noi abbiamo fatto tutte quelle cose in Analisi 3. :D
In più un ciclo di lezioni sulla trasformata Zeta sulla quale il prof (Sua Maestà Matematica Edoardo Vesentini, Presidente dell'Accademia dei Lincei :ave: :p) stava preparando un saggio. :eek: :eekk: :ops:
spinbird
15-02-2005, 20:34
Originariamente inviato da Banus
E suppongo che tutta la parte sulle equazioni differenziali si fa in un corso a parte, altrimenti non ci sono abbastanza ore a disposizione ;)
equazioni differenziali (almeno abbastanza semplici) le ho fatte in analisi2
solo dal punto di vista "pratico" però
la teoria è stata molto leggera: si trattava più che altro di esempi teorici
quando parli di analisi complessa si intende analisi di funzioni come può essere la funzione di trasferimento di un circuito?
una delle più grandi difficoltà in fondamenti di elettronica per me è stata questa: capire cos'è la funzione di trasferimento in-out di un circuito è abbastanza semplice, studiarla mica tanto
nel trovare gli zeri e poli di una funzione di trasferimento (che è complessa ovviamente per la presenza di capacità e induttanze) spesso lo si fa per ispezione, ovvero guardando il circuito e trovando che la tal capacità vede una certa resistenza, da li si calcolava la costante di tempo del circuito (per quanto riguardava quel singolo condensatore) e questo originava un polo e forse uno zero nella funzione generale
andare a scrivere la funzione completa e studiarla lo si fa poche volte e per circuiti spesso semplici
difatti all'inizio vedendo la funzione di trasferimento capivo poco dell'andamento del grafico, mentre guardando il circuito è facile vedere un passabasso qui, un passalto di la, e cosi "costruire" il grafico a pezzi
anche per quanto riguarda l'analisi della stabilità si procedeva in maniera più intuitiva che rigorosa: del tipo vedere che all'uscita di un amplificatore con la retroazione il segnale torna in fase e si somma all'ingresso, che quindi aumenta ancora, ecc...
un po di concetti del tipo "se il guadagno di anello attraversa l'asse zero con pendenza di -20db/decade allora è sicuramente stabile" sono stati buttati un po li e non ho ben capito da dove escano:wtf:
analisi 3 è molto pesante? quanti crediti?
Originariamente inviato da spinbird
quando parli di analisi complessa si intende analisi di funzioni come può essere la funzione di trasferimento di un circuito?
Sì, ma anche altre tipo sin(z) o e^z
nel trovare gli zeri e poli di una funzione di trasferimento (che è complessa ovviamente per la presenza di capacità e induttanze) spesso lo si fa per ispezione, ovvero guardando il circuito e trovando che la tal capacità vede una certa resistenza, da li si calcolava la costante di tempo del circuito (per quanto riguardava quel singolo condensatore) e questo originava un polo e forse uno zero nella funzione generale
Le funzioni di trasferimento dei circuiti elettronici in genere sono lineari, quindi in teoria si può calcolare la f.d.t. totale e poi smazzarsi il polinomio che compare al denominatore, ma nei casi reali si fa poca strada in quel modo.
La costante di tempo calcolata come dici l'ha spiegata anche il nostro prof (Ripamonti :D), ma considera che è approssimata. Inoltre se ci sono degli induttori è un casino davvero, perchè possono esserci poli complessi (quindi oscillazioni). Però per noi informatici esistono solo i condensatori, perciò ci salviamo :D
analisi 3 è molto pesante? quanti crediti?
Io l'ho fatta con il VO, corso semestrale equivalente ai 10 punti. Credo che sia lo stesso anche ora, e come impegno li vale tutti :p
Originariamente inviato da Banus
Però per noi informatici esistono solo i condensatori, perciò ci salviamo :D
Parla per te :D
Le induttanze hanno moooooooooltissimo peso nell'hardware reale.
Provate a pensare a quanti piedini di un integrato complesso (Athlon64 o Pentium4) sono dedicati all'alimentazione solo per diminuire l'induttanza totale....siamo nell'ordine delle decine se non ancora delle centinaia.
Poi c'è il fenomeno del Vdd Bounce o del GND Bounce (livelli di alimentazione e massa non stabili a causa delle induttanze), per non parlare poi del fenomeno delle mutue induttanze fra fili di un bus parallelo.
Non si finisce più :D
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