differenziale esatto

[thotgor]

quando è che un differenziale è esatto (matematicamente) ? Su google non riescoa trovare molto...


grazie

[Ziosilvio]

Una forma differenziale definita su un dominio A e' esatta se e' il differenziale di un'altra forma differenziale definita su A.

(Occhio, che le forme differenziali sono un'algebra graduata: le forme differenziali di grado zero sono le funzioni, quelle di grado 1 sono le cose del tipo f(x,y)dx + g(x,y)dy, e cosi' via; il differenziale di una forma differenziale di grado k e' una forma differenziale di grado k+1.)

Una forma differenziale definita su A si dice chiusa se il suo differenziale e' nullo.
Dato che il differenziale di un differenziale e' nullo, ogni forma esatta e' chiusa; il viceversa non e' sempre vero.

[thotgor]

cioè fammi capire bene....

questo come lo risolvo?

[Ziosilvio]

Quello in figura è un differenziale di grado 1; se è esatto, allora c'è un differenziale di grado 0, cioè una funzione, tale che:
f_x(x,y) = 6 x^2 y^4 + 2/(1+x^2)
f_y(x,y) = 8 x^3 y^3 + cos y
Tu devi trovare una funzione f le cui derivate parziali abbiano quella forma.

EDIT: mi sono ricordato il metodo generale, tanto vale postarlo qui.

Tu hai una forma differenziale del tipo u(x,y)dx + v(x,y)dy.

Se integri v rispetto a y, ti ritrovi con la somma di un oggetto V(x,y) la cui derivata rispetto a y è proprio v, e di una Phi(x) che dipende solo da x.

Il gioco è fatto se capisci che forma ha Phi.

Allora fai così: derivi rispetto a x, e imponi che il risultato sia u.
Confrontando, trovi Phi', che integri rispetto a x per trovare Phi.

Allora il differenziale di f(x,y) = V(x,y) + Phi(x) è proprio u(x,y)dx + v(x,y)dy.

ARIEDIT: tanto vale dare un paio di criteri per sapere se una forma differenziale è esatta, senza calcolare una primitiva esplicita.

Se u e v sono derivabili, e u dx + v dy è esatta, allora per la regola di Schwarz le derivate in croce (u_y e v_x) devono essere uguali: se sono diverse, la forma non è esatta.
Se le derivate in croce sono uguali, e se il dominio di definizione è semplicemente connesso --- in pratica, se si può sempre deformare con continuità una curva chiusa in un punto: ad esempio, il piano è semplicemente connesso, ma il piano senza l'origine non lo è --- allora la forma è esatta.