View Full Version : Attrattori strani
E' da un paio d'anni che questo argomento (e più in generale l'analisi frattale) mi incuriosisce.
Ho cercato in internet e letto alcuni libri tra cui "Caos" di Gleick, ma nessuno finora è riuscito a saziare la mia sete di conoscenza :D
Tale libro forsisce solo una breve (brevissima) sintesi sulla computazionalità dell'attrattore di Hénon, cui mi sono divertito un sacco ad implementare (se interessa magari posto qualche screenshot :P).
Mi chiedevo se sapete consigliarmi qualche testo rigorosamente scientifico su Attrattori e matematica frattale in generale... vi prego: niente testi divulativi, ormai mi capita di leggere sempre le stesse cose :D
Baci & abbracci
Originariamente inviato da Zhurlo
E' da un paio d'anni che questo argomento (e più in generale l'analisi frattale) mi incuriosisce.
Proprio un sito che fa per te ;)
http://www.emba.uvm.edu/~jyang/teaching/Math266new/index.htm
Soprattutto il capitolo 7 mostra i profondi collegamenti fra Mandelbrot Set, Julia Set e logistic map. Mostra anche la relazione fra Mandelbrot e diagramma delle biforcazioni, e osservando da vicino il frattale si vedono le zone corrispondenti alle periodicità 3,5,7 e così via :eek:
Due libri che potrebbero essere utili (non li ho letti, ti avverto :p):
http://www.nbi.dk/ChaosBook/stable/index.shtml
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0471545716/qid=1106263712/sr=8-2/ref=sr_8_xs_ap_i2_xgl14/102-1754481-9820133?v=glance&s=books&n=507846
Il primo è disponibile via web e a un'occhiata veloce sembra abbastanza tecnico. Il secondo non so dire visto che amazon mi lascia vedere solo l'introduzione :p
Ziosilvio
21-01-2005, 09:24
Bello il Chaos Book. Me lo segno!
Tra l'altro, sta sul sito del Niels Bohr Institute (http://www.nbi.dk/)... che dire, un nome, una garanzia...
Potrebbe essere interessante anche An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd Edition (http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0813340853/qid=1106299252/sr=2-1/ref=pd_ka_b_2_1/102-2188962-1544151).
L'autore, Robert Devaney (http://math.bu.edu/people/bob/), è l'ideatore della definizione di caos che ha avuto l'accoglienza migliore.
Lo conoscete l'attrattore strano di LoWenz? :D :D :D
Originariamente inviato da Ziosilvio
Tra l'altro, sta sul sito del Niels Bohr Institute (http://www.nbi.dk/)... che dire, un nome, una garanzia...
Non me ne sono accorto! :D
Adesso capisco perchè dava così peso al "quantum chaos", cioè quello che emerge dalle equazioni della meccanica quantistica.
Queste cose hanno ricadute interessanti perchè per ora in meccanica quantistica i calcoli si fanno con il metodo perturbativo, cioè linearizzi il sistema e fai i calcoli, poi aggiungi i termini di secondo ordine, poi terzo e così via, incrociando le dita e sperando che tutto converga :p
Però funziona solo quando il sistema è abbastanza "lineare", cioè in genere quando le interazioni non sono molto forti. Altrimenti è un casino... infatti un problema importante, il confinamento dei quark nelle particelle, è ancora aperto nonostante si abbiano tutte le equazioni :p
Anche nella teoria delle stringhe non si sono fatti molti progressi finchè non si sono scoperte delle dualità che permettono di cambiare scala, e quindi di studiare il sistema più facile, cioè lineare...
spinbird
22-01-2005, 23:23
cos'è un attrattore?
di cosa state parlando?:stordita:
Originariamente inviato da spinbird
cos'è un attrattore?
di cosa state parlando?:stordita:
sistemi dinamici non lineari caotici ;)
oggetti molto carini :D
Originariamente inviato da spinbird
cos'è un attrattore?
di cosa state parlando?:stordita:
guardati questo sito :D
http://mathworld.wolfram.com/HenonMap.html
che fra l'altro riporta un sacco di libri specifici sull'argomento, ma tutti acquistabili da amazon.com :rolleyes:
L'attrattore di Hénon non è altro che l'orbita dell'iterazione
H(x, y) = (1 - ax² + y, bx)
Con a = 1,4 e b = 0,3 ti viene fuori quella specie di boomerang che vedi nella prima figura :D
Originariamente inviato da Banus
http://www.nbi.dk/ChaosBook/stable/index.shtml
molto interessante :eek:
adesso devo solo trovare il modo per stamparlo :D
spinbird
23-01-2005, 10:50
Originariamente inviato da Zhurlo
guardati questo sito :D
http://mathworld.wolfram.com/HenonMap.html
che fra l'altro riporta un sacco di libri specifici sull'argomento, ma tutti acquistabili da amazon.com :rolleyes:
L'attrattore di Hénon non è altro che l'orbita dell'iterazione
H(x, y) = (1 - ax² + y, bx)
Con a = 1,4 e b = 0,3 ti viene fuori quella specie di boomerang che vedi nella prima figura :D
dall'equazione sembrerebbe una normale funzione di due variabili nello spazio ma c'è quel termine"bx" che mi lascia perplesso:confused:
Originariamente inviato da spinbird
dall'equazione sembrerebbe una normale funzione di due variabili nello spazio ma c'è quel termine"bx" che mi lascia perplesso:confused:
Infatti è una normalissima funzione di secondo grado, la novità è che viene iterata più e più volte, secondo lo schema:
x' <- 1 - a*x^2 + y
y' <- b*x
Prendi dei valori a caso per x e y e poi applichi la trasformazione continuamente disegnando ogni volta il punto ottenuto. Dopo un pò ti esce il grafico dell'attrattore.
Con formule più generali si ottengono attrattori con le forme più disparate:
http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html
Originariamente inviato da spinbird
dall'equazione sembrerebbe una normale funzione di due variabili nello spazio ma c'è quel termine"bx" che mi lascia perplesso:confused:
è una mappa, non una funzione :D
si può scrivere anche come relazione di ricorrenza:
{ x[n+1] = 1 - a*x[n]² + y[n]
{ y[n+1] = b*x[n]
double x = 0;
double y = 0;
for (n = 0; n < 100000; n++)
{
double tmp_x = x;
double tmp_y = y;
x = 1 - 1.4 * tmp_x * tmp_x + tmp_y;
y = 0.3 * tmp_x;
putpixel ((unsigned int)x * 100, (unsigned int)y * 100);
}
La cosa interessante è che puoi inizializzare le variabili x e y a qualsiasi valore. L'attrattore attrarrà (si chiama così apposta :sofico: ) a sè la successiva coppia (x, y).
Inoltre è un oggetto frattale, se provi a zoommare su qualche ramo della mappa noterai nuove curve dove prima ne vedevi una sola :D e così via :muro:
Originariamente inviato da Zhurlo
Inoltre è un oggetto frattale, se provi a zoommare su qualche ramo della mappa noterai nuove curve dove prima ne vedevi una sola :D e così via :muro:
Frattali e attrattori strani infatti hanno molte parentele..
L'insieme di Mandelbrot rappresenta le condizioni iniziali che portano l'equazione della logistica discreta alla stabilità:
http://www.emba.uvm.edu/~jyang/teaching/Math266new/section_7_4.htm
Inoltre con mappe iterate si riescono a ottenere frattali. C'è dietro tutta una teoria, quella degli Iterated Function System, usati anche in compressione frattale (con una variante ancora più complessa).
Un algoritmo (chiamato Chaos Game :D) permette di disegnare il frattale scegliendo valori a caso.. iterando si ottiene misteriosamente la figura voluta:
http://math.bu.edu/DYSYS/applets/fractalina.html
Con varianti più sofisticate si ottengono disegni molto belli, che assomigliano alle orbite di alcuni attattori strani:
http://flam3.com/index.cgi?&menu=galleries
ChristinaAemiliana
23-01-2005, 15:16
Che bell'argomento! :)
Adesso devo scappare e non ho il tempo di spulciare i link...avete messo anche qualche sito semplice da leggere? Intendo qualcosa che fornisca le basi...insomma le caratteristiche più intuitive dei sistemi caotici, come la sensibilità alle condizioni iniziali, la divergenza delle traiettorie vicine...senza andare per forza a sfoderare definizioni di alta matematica con esponenti di Lyapunov e tutto quanto! :p :D
Qualche link che conosco...ma purtroppo non è roba semplicissima ;)
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsisno/node35.html
http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node60.html
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Qualche link che conosco...ma purtroppo non è roba semplicissima ;)
Il corso di dinamica dell'università di Pisa :D
Ho trovato questo in italiano, sembra completo e accessibile:
http://utenti.lycos.it/solitoni/file52.htm
Ho scoperto che pure in neurologia ci si sta interessando parecchio all'argomento:
http://66.102.9.104/search?q=cache:mB-jQPIk-L4J:www.deltacomweb.it/caos/casati.htm+chaos+attrattori+strani&hl=en
Un approccio che piacerà di più agli ingegneri :p
http://www.ingrm.it/geomag/NONLINEARE/non_anh.htm
Sito carino però dedicato più ai frattali e Iterated Function System:
http://www.webfract.it/FRATTALI/indice0.htm
Originariamente inviato da Banus
Il corso di dinamica dell'università di Pisa :D
Ho trovato questo in italiano, sembra completo e accessibile:
http://utenti.lycos.it/solitoni/file52.htm
Ho scoperto che pure in neurologia ci si sta interessando parecchio all'argomento:
http://66.102.9.104/search?q=cache:mB-jQPIk-L4J:www.deltacomweb.it/caos/casati.htm+chaos+attrattori+strani&hl=en
Un approccio che piacerà di più agli ingegneri :p
http://www.ingrm.it/geomag/NONLINEARE/non_anh.htm
Sito carino però dedicato più ai frattali e Iterated Function System:http://www.webfract.it/FRATTALI/indice0.htm
Banus.....ti dimentichi del "Dottor Breen" del Politecnico.....il Sergione vive di 'ste cose :D :D :D
http://www.elet.polimi.it/upload/rinaldi/teoria_dei_sistemi_laurea_specialistica/index.html
Esiste anche un bel programmino per disegnare frattali, Ultra Fractal...
L'ho usato a suo tempo per la mia "tesina" di maturità il cui argomento era appunto il "Caos"
:)
http://www.ultrafractal.com/
Originariamente inviato da lowenz
Banus.....ti dimentichi del "Dottor Breen" del Politecnico.....il Sergione vive di 'ste cose :D :D :D
Il professor Rinaldi, è vero!! :D :D
La sua analisi della love story nel film di Truffaut è memorabile :D
Questo thread mi piace, ma si stanno mettendo assieme due cose in generale differenti: il caos e i frattali (diciamo la geometria frattale).
Il caos non implica presenza di frattalità, ugualmente il viceversa.
Comunque sotto il termine di "Complessità" rientrano il caos, i frattali, la superconduttività i sistemi autorganizzati (SOC), ecc. insomma tutti quei sistemi composti da un grande numero di gradi di libertà che assumono un comportamento collettivo sotto certe condizioni.
Originariamente inviato da Zhurlo
E' da un paio d'anni che questo argomento (e più in generale l'analisi frattale) mi incuriosisce.
Ho cercato in internet e letto alcuni libri tra cui "Caos" di Gleick, ma nessuno finora è riuscito a saziare la mia sete di conoscenza :D
Tale libro forsisce solo una breve (brevissima) sintesi sulla computazionalità dell'attrattore di Hénon, cui mi sono divertito un sacco ad implementare (se interessa magari posto qualche screenshot :P).
Mi chiedevo se sapete consigliarmi qualche testo rigorosamente scientifico su Attrattori e matematica frattale in generale... vi prego: niente testi divulativi, ormai mi capita di leggere sempre le stesse cose :D
Baci & abbracci Per quanto riguarda il caos non posso ricorrere a conoscenze specifiche, ma sui frattali posso dire la mia :sofico: .
Però sui libri darò un'occhiata da lunedì.
Se v'interessa posso elencare tutti i più disparati ed incredibili ambiti in cui si applica un'analisi frattale. Per di più se a qualcuno interessa posso anche fare un copia-incolla di qualche pezzo introduttivo o meno che ho sul caos ed i frattali :sofico:
Te ne saremmo grati :D
Dato che non esiste il "Frattalogo", tu di che ti occupi?
:sofico:
Originariamente inviato da LASCO
Questo thread mi piace, ma si stanno mettendo assieme due cose in generale differenti: il caos e i frattali (diciamo la geometria frattale).
Il caos non implica presenza di frattalità, ugualmente il viceversa.
Nessuno li ha messi assieme ;)
Abbiamo semplicemente sottolineato che sono due insiemi a intersezione non nulla, anzi non numerabile :D
Inoltre collegata ad entrambi c'è tutta l'analisi non lineare, con la storia delle biforcazioni, orbite stabili, teoremi di stabilità, sistemi subcritici etc.
Nella complessità poi entrano talmente tanti concetti che bisogna avere coraggio per avventurarsi nel campo :D
Ho trovato questa FAQ sui SOS (self-organizing systems) che da un'idea della vastità dell'argomento:
http://www.calresco.org/sos/sosfaq.htm
Se v'interessa posso elencare tutti i più disparati ed incredibili ambiti in cui si applica un'analisi frattale. Per di più se a qualcuno interessa posso anche fare un copia-incolla di qualche pezzo introduttivo o meno che ho sul caos ed i frattali :sofico:
Mi interessa. Per ora conosco solo i metodi di trasformate frattali (IFS e varianti) e l'analisi multirisoluzione (wavelet). Oltre naturalmente al calcolo della dimensione frattale alla Hausdorff ;)
Più che con i frattali mi cimento con i processi stocastici su reticolo, ma spesso si ha a che fare con la frattalità.
I modelli reticolari sono molto interessanti perché permettono di schematizzare sistemi complessi attraverso un modello con poche regole dinamiche locali stocastiche che riesca comunque a riprodurre il comportamento critico del sistema schematizzato. Così oltre a fare un'analisi teorica si può anche simulare il modello reticolare al calcolatore.
Modelli reticolari stocastici possono descrivere fenomeni come la crescita di una colonia batterica, il modo in cui si ramificano i fulmini, la distribuzione della materia nello spazio (ma qui c'è forte dibattito se tale distribuzione sia frattale o meno), la distribuzione del petrolio nel sottosuolo, la relazione tra la frequenza e l'intensità dei terremoti, la corrosione chimica di un materiale, la formazione delle coste rocciose, l'attività celebrale (ovviamente alcune funzioni), la diffusione di epidemie, la propagazione degli incendi in un bosco, la dinamica del traffico stradale, reazioni chimiche (utili soprattutto nei casi in cui non si può usare la legge dell'azione di massa), le linee di flusso magnetiche nei superconduttori di tipo II, la crescita polinucleare delle superfici, ecc. ecc..
Se poi si considerano anche le reti complesse, di cui non so molto, i fenomi a cui si applicano tali metodi non si finiscono più di elencare: dalla struttura di internet, alla struttura delle comunicazioni sociali, alle differenze tra i vari linguaggi, all'econofisica ecc.. Se infine si considerano i fenomi in cui è presente una struttura frattale il panorama aumenta: i polmoni (la cui superficie è circa 100 metri quadrati), il canale urinario, il sistema vascolare, il bordo dei nei, le nuvole, gli alberi, le coste dei continenti, e chi più ne ha più ne metta. Se infine si considera la categoria dei fenomeni complessi non saprei più da dove cominciare.
Nei casi reali ovviamente non si ha un frattale esatto poiché c'è sempre un cut-off ovvero una scala oltre la quale non si può più iterare il meccanismo di base, ma per stabilire se un oggetto è frattale si ricorre alla definizione, ed in particolare al computo della dimensione frattale, solitamente quella di Hausdorff, ma ci sono diversi modi di definirla, e quella più comda per i calcoli al computer è il metodo del "box counting" anche se quella basata sulle correlazioni spaziali è più precisa.
Ultimamente hanno provato a dedurre la presenza attuale o passata di acqua o altro liquido su marte analizzando la dimensione frattale delle curve di livello che ha mandato la sonda europea (non ricordo il nome) confrontandole con quelle misurate sulla terra. Sulla terra la relazione tra dimensione frattale di un profilo roccioso ed origine di quel profilo è significativa, ovvero formazioni rocciose dovute all'azione dell'acqua hanno una dimensione frattale compresa tra valori ben definiti.
La conclusione in base all'analisi della dimensione frattale delle curve di livello di Marte non è stata univoca poiché è possibile che in passato l'acqua abbia modellato alcune zone del pianeta, ma adesso queste zone potrebbero essere coperte da detriti o altro, quindi una conclusione è stata che probabilmente in passato c'era l'acqua, ma ora probabilmente no.
Per quanto riguarda i copressori so che alcuni usano metodi frattali.
Un ricercatore è partito con l'elaborazione di un programma per la compressione dei dati, da lì è passato ad usare il programma per il riconoscimento delle immagini convertendo le linee in vettori di dati, ed ora sta usando quel programma per confrontare gli ammassi celesti perché pare che possa essere più efficace quel tipo di confronto piuttosto che analizzare le rispettive distribuzioni di materia.
Argh..mi stò per cimentare anche io nei reticoli, simulazione di percolazione con c++..:D
Grazie per le info
Originariamente inviato da nin
Argh..mi stò per cimentare anche io nei reticoli, simulazione di percolazione con c++..:D
Grazie per le info Ma pensa tu, è la prima cosa che ho simulato, percolazione isotropa, percolazione diretta, gradient percolation, etching gradient percolation in fortran 77 (quanto prima passerò al c++).
Originariamente inviato da Zhurlo
E' da un paio d'anni che questo argomento (e più in generale l'analisi frattale) mi incuriosisce.
Ho cercato in internet e letto alcuni libri tra cui "Caos" di Gleick, ma nessuno finora è riuscito a saziare la mia sete di conoscenza :D
Tale libro forsisce solo una breve (brevissima) sintesi sulla computazionalità dell'attrattore di Hénon, cui mi sono divertito un sacco ad implementare (se interessa magari posto qualche screenshot :P).
Mi chiedevo se sapete consigliarmi qualche testo rigorosamente scientifico su Attrattori e matematica frattale in generale... vi prego: niente testi divulativi, ormai mi capita di leggere sempre le stesse cose :D
Baci & abbracci Per quanto riguarda i frattali di libri ne sono stati scritti un numero indefinito. Se praticamente vai in un biblioteca, possibilmente di una facoltà di fisica, ne dovresti trovare molti.
Comunque di seguito alcuni riferimenti:
- B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" 1982 (WH Freeman, San Francisco)
Un classico. Ha il merito (anche se lui stesso ci ha scritto diverse cose anni prima) di aver diffuso l'idea che la natura è piena di manifestazioni frattali. (E per chi sa poco di queste cose rappresenta anche colui che ha "creato" i frattai, ma noi che lo sappiamo riconosciamo il dovuto merito a Julia, Peano, Cantor, von Koch, Sierpinski, ecc.)
- Michael F. Barnsley "Fractals Everywhere" 1988 (Academic Press)
Aspetti matematici dei frattali.
- Kenneth Falconer "Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications" 1990 (Wiley & Sons)
Un classico. Come si può intuire dal titolo tratta i frattali con rigore matematico.
I seguenti trattano i frattali più da un punto di vista fisico.
- J. Feder "Fractals" 1988 (Plenum Press, New York)
- T. Vicsek "Fractal Growth Phenomena" 1989 (Singapore: World Scientific)
- H. Takayasu "Fractals in the Physical Sciences" 1990 (Manchester, England: Manchester University Press)
- A. Bunde and S. Havlin "Fractals in Science" 1994 (New York: Springer-Verlag)
- A. Le Méhaute "Fractal Geometries: Theory and Applications" 1992 (Boca Raton, FL: CRC Press)
Ci sono anche riedizioni di alcuni dei precedenti libri.
Ce ne sono molti altri altrettanto validi. Inoltre ci sono anche libri più specifici che trattano alcuni argomenti in particolare.
Originariamente inviato da Banus
Il professor Rinaldi, è vero!! :D :D
La sua analisi della love story nel film di Truffaut è memorabile :D
Mitico Rinaldi! Me lo ricordo anch'io...
Originariamente inviato da Mixmar
Mitico Rinaldi! Me lo ricordo anch'io...
Noooooooooooooo :D :D :D Fantastico :)
Ho trovato questo ebook sugli attrattori strani, a mio avviso molto interessante :D
http://sprott.physics.wisc.edu/fractals/booktext/SABOOK.PDF
Originariamente inviato da Zhurlo
Ho trovato questo ebook sugli attrattori strani, a mio avviso molto interessante :D
500 pagine :eek:
E' molto discorsivo e si concentra sull'aspetto visivo. Ha anche molti esempi di programmi. Ci sono poche formule, e tutte comprensibili a livello delle superiori... direi che è perfetto per chi vuole sapere qualcosa su questi oggetti senza doversi fare una laurea in matematica :D
http://m0219684.kuleuven.be/Chaos2.pdf altro link di sole 19 pagine, per chi è interessato :D
http://physics.clarku.edu/courses/125/gtcdraft/ notevole :O
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