Calcolo prob. e statistica: varianza e variabili aleatorie

[dooka]

Assunto che la variabile random X prenda solo i valori 0,2,3. Dato anche E(X)=1.
Dimostrare che 1<=Var(X)<=2.

come mi muovo?

io so che Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 però non conoscende le 3 probabilità (p1, p2, p3) non posso calcolare E(X^2)

chi mi helpa? :)

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da dooka
come mi muovo?

io so che Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 però non conoscende le 3 probabilità (p1, p2, p3) non posso calcolare E(X^2)

chi mi helpa? :)
Allora: chiama le tre probabilità p0, p2 e p3.
Dalla definizione di probabilità segue che p0+p2+p3=1.
Dalla definizione di valore atteso segue che 0*p0+2*p2+3*p3=1.
Dalle richieste segue che 0*p0+4*p2+9*p3 dovrebbe (devi dimostrarlo) essere compreso fra 2 e 3.

Non può essere p0=1 altrimenti il valore atteso sarebbe 0; inoltre deve essere p2<=1/2 (altrimenti sarebbe E(X)>1) e anche p3<=1/3 (per lo stesso motivo).

A questo punto si tratterebbe di trovare minimo e massimo della funzione f(x,y)=4x+9y con le condizioni 0<=x<=1/2, 0<=y<=1/3, x+y>0.

Scusa se per ora non mi viene in mente altro, ma ho appena finito di pranzare e il mio cervello è in standby.

[dooka]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Dalle richieste segue che 0*p0+4*p2+9*p3 dovrebbe (devi dimostrarlo) essere compreso fra 2 e 3.


nn mi torna questo passaggio :\

[Ziosilvio]

Se ci pensi un attimo, 0*p0+4*p2+9*p3 è E(X^2).
Dato che E(X) è 1, dire che Var(X) è tra 1 e 2, è lo stesso che dire che E(X^2) è tra 2 e 3.

[checcot]

Vediamo un po':


Chiamiamo le tre probabilità a, b, e c

Dal testo sappiamo che:

a*0 + b*2 + c*3 =1 (E[X] = 1)

Inolte dalla definizione di probabilità sappiamo che:

a + b + c = 1

Risoviamo il sistema in funzione di c:

a = 0*5*c + 0.5

b = (-3/2*c) + 0.5

c = c

Dobbiamo imporre che a e b siano >= 0 per c compreso tra 0 e 1:

a è sempre positiva mentre b è maggiore o uguale a zero solo per c compreso tra 0 e 1/3.

Possiamo scivere la varianza come:

Sommatoria[(x(j)-E[X])^2]*Px(j) dove Px(j) sono le probabilità a, b, c e j è un indice che va da 1 a 3.

La varianza appena scritta è in funzione di c e può essere scritta come:

Var(c) = 3*c + 1

Poiche sapiamo che c deve essere compreso tra 0 e 1/3 la varianza è compresa tra Var(0) = 1 e Var(1/3) = 2


Spero di essere stato chiaro.

Ciao

[nascimentos]

Originariamente inviato da checcot
Sommatoria[(x(j)-E[X])^2]*Px(j) dove Px(j) sono le probabilità a, b, c e j è un indice che va da 1 a 3.

Scusami, dove l'hai presa questa formula? :confused:

Io so che Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2

[checcot]

http://www-zeus.roma1.infn.it/~agostini/PRO/node110.html

[nascimentos]

Originariamente inviato da checcot
http://www-zeus.roma1.infn.it/~agostini/PRO/node110.html
Ho letto. Grazie.

Dunque che dire: complimenti!:p

Sei un esperto di statistica?

[checcot]

Originariamente inviato da nascimentos
Ho letto. Grazie.

Dunque che dire: complimenti!:p

Sei un esperto di statistica?

Assolutamente no.

Ho solo un esame di statistica che incombe e sto lentamente recuperando le lacune.

[nascimentos]

Originariamente inviato da checcot
Assolutamente no.

Ho solo un esame di statistica che incombe e sto lentamente recuperando le lacune.
Bene. In bocca al lupo! :)

[Espinado]

Originariamente inviato da checcot
Assolutamente no.

Ho solo un esame di statistica che incombe e sto lentamente recuperando le lacune.

complimenti, vedo che recuperi alla grande! ;)

(per la cronaca, è roba dovremmo saper fare da tempo giusto?)

[checcot]

Originariamente inviato da Espinado
complimenti, vedo che recuperi alla grande! ;)

(per la cronaca, è roba dovremmo saper fare da tempo giusto?)


Dovrebbe essere l'ABC

[Espinado]

e mi sa che lo sia, ma abc e statistica mal si conciliano. (cmq da domani comincio pure io)

[dooka]

eh pure a me l'esame di calcolo probabilità e statistica incombe :(


thx dell'aiuto ;)

[dooka]

ti chiedo un ultimo favore :)

Dato che P(X=a)=P(Y=a)=0 a meno che a sia uno dei tre numeri dati.
Dato anche che X e Y hanno la stessa media e la stessa varianza. Dimostrare che P(X=a)=P(Y=a) per tutti i valori di a.

testo originale: Suppose P(X=a)=P(Y=a)=0 unless a is one of three given numbers. Suppose also X and Y have the same mean
and the same variance. Show that P(X=a)=P(Y=a) for all numbers a.

guarda nn ci sto proprio saltando fuori

:muro:

[checcot]

Con tre numeri dati intendi i numeri del primo esercizio: 0, 2, 3 ?

[Espinado]

Originariamente inviato da checcot
Con tre numeri dati intendi i numeri del primo esercizio: 0, 2, 3 ?

come va mate?

[checcot]

Va a gennaio :muro:

[Espinado]

Originariamente inviato da checcot
Va a gennaio :muro:

così dice anche il tuo collega.

io cmq lo darei, lo scritto basta scrivere qualcosa (qualunque cosa) cerca solo di sapere bene le ipotesi, poi paradossalmente va tutto liscio, se le azzecchi le ipotesi si rilassa e si può arrivare alla fine con i trial&error. ;)

[dooka]

Originariamente inviato da checcot
Con tre numeri dati intendi i numeri del primo esercizio: 0, 2, 3 ?


immagino di si... ti ho messo il testo originale proprio x evitare strane incomprensioni :D

[checcot]

Allora la dimostrazione è un po' lfastidiosa da scrivere sul forum. Ti do un suggerimento:

Sappiamo che E[X] = E[Y] ed inoltre sappiamo che Var(X) = Var(Y).

Poichè la varianza può essere scritta come:

E[X^2] - E[X]^2 allora l'uguaglianza delle varianze si riduce a:

E[X^2] = E[Y^2]

Ora esplicita l'operatore di valore atteso e risolvi il sistema:

E[X] = E[Y]

E[X^2] = E[Y^2]


Spero di non aver scritto abnormi cazzate.

[dooka]

effettivamente è piu semplice di quanto immaginassi, solo che ormai ho la testa che rotola -.-" :D

thx dell'aiuto :)

[nascimentos]

Originariamente inviato da dooka
ti chiedo un ultimo favore :)

Dato che P(X=a)=P(Y=a)=0 a meno che a sia uno dei tre numeri dati.
Dato anche che X e Y hanno la stessa media e la stessa varianza. Dimostrare che P(X=a)=P(Y=a) per tutti i valori di a.

testo originale: Suppose P(X=a)=P(Y=a)=0 unless a is one of three given numbers. Suppose also X and Y have the same mean
and the same variance. Show that P(X=a)=P(Y=a) for all numbers a.

guarda nn ci sto proprio saltando fuori

:muro:
Quindi X può assumere anche valori diversi da 0, 2 e 3?
Si sa qualcosa circa Y?

In altre parole, che collegamento c'è tra questo esercizio e quello precedente?

[dooka]

il primo era l'esercizio 8, questo il 9, quindi uno di seguito l'altro

xò cmq nn mi è chiara la faccenda dei 3 valori :(