Quesito matemetico

[Mezzetti0903]

data
| xquadro + 2x per x <= 0
F(x) =(segno di sistema) |
| ax + b per x > 0

dire se è continua o derivabile in XconZero = 0

Che mi dite??
Era oggi nel mio primo compito di 5° superiore...

[crashd]

:huh:

[Ziosilvio]

Non male.

Ovviamente, continuità e derivabilità dipendono dai valori di a e b.

Suggerimento: se la derivata esiste in un intorno destro e uno sinistro del punto, e i limiti destro e sinistro della derivata nel punto esistono e sono uguali, allora...

[Mezzetti0903]

mmmmmmmmmmmmmmmmmm......:mc: :mc:

:D :D ....cavolo...ormai ci devo pensare domani...sono in coma!

[thotgor]

continua è continua, per vedere se è derivabile non bisogna fare il rapporto incrementale? Se questo esiste per x=0 a deriva esiste.

o no?

[thotgor]

perchè è così! La ma x può avere un punto di discontinuità nello 0...

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Che io sappia non è ammesso alcun punto di discontinuità da nessuna parte, ma ormai analisi 1 l'ho data da un pezzo :D

ah, bene bene....

cos'è una funzione, anzi.....quando una funzione si dice iniettiva o suriettiva ? :sofico:

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Iniettiva quando ad un valore del dominio corrisponde un solo valore del codominio, suriettiva quando il codominio non ha valori esclusi dal campo di esistenza di f(x) :p :p :p


iniettiva l'hai spiegata bene; ma suriettiva non ho capito niente

ripeti :D

sai anche chi ha inventato tali termini ? :sofico:

[misterx]

Originariamente inviato da filippom

y=x^2 NON è una funzione suriettiva, perchè la y non può assumere valori negativi, che quindi sono esclusi dal campo di esistenza della funzione.



uhm...

è come dire che la funzione è suriettiva negli R se e solo se può spaziare sui 4 quadranti del diagramma cartesiano ?

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Ora che ci penso, diciamo che questa definizione può essere corretta se si precisa che sia il dominio che il codominio sono TUTTO R. In caso contrario non è per forza vero (vedi log).


cosa ti ha fatto ripensare che potrebbe essere corretta ?

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Ma sono domande serie o mi prendi in giro? :D
Ho detto che potrebbe essere (è) corretta se il dominio è tutto l'asse reale. In caso contrario la tua definizione non è corretta perchè non tutti i quadranti vengono occupati dalla funzione ;)


la domanda era serissima :)

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Figo di solito non so mai una mazza di ciò che mi chiedono :D


ma non ti montare la testa :O

mi si dice che la parabola non è una funzione: perchè ?

[ciriccio]

LOL ci ho mezzo più a capire la traccia che a risolverla :asd:

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Una funzione lo è :D
Però a seconda delle caratteristiche può non essere suriettiva, come ho scritto un paio di post fa nell'esempio, o iniettiva ;)
y=x^2 non è suriettiva
y=x^(1/2) dovrebbe essere non iniettiva (prova a disegnarla)
Poi dico, se negli studi di funzione lasciano pure le parabole, devono per forza essere una funzione :p



infatti ho sbagliato: dovevo scrivere iperbole :)

[jonnino2004]

non ci capisco niente...

è grave?!?!?! :D

[jonnino2004]

non è la mia data di nascita :cry:
sono del 1974 :cry:
e non ho capito niente :cry:

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
E perchè non dovrebbe essere una funzione? Non da una motivazione? Fammi un esempio di eq di iperbole :)


ops, eccomi....

se non ricordo male non è una funzione perchè l'iperbole tende a zero ma non ci arriva mai


p.s.
ma non si potrebbe correggere il titolo del 3D ?:)

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
ops, eccomi....

se non ricordo male non è una funzione perchè l'iperbole tende a zero ma non ci arriva mai


p.s.
ma non si potrebbe correggere il titolo del 3D ?:)

Il 90% delle funzioni tende a un numero senza mai arrivarci :D

Una funzione è una particolare relazione tale che per ogni tupla X1...Xn-1 vi sia un elemento Xn univocamente identificato (nel senso che la tupla, maneggiata in qualche modo, dà soltanto quell'elemento, e non un altro). L'iperbole rientra in questa definizione, dato che è

y = (ax+b)/(cx+d) e per ogni x è univocamente determinato l'y

La circonferenza non è una funzione: le circonferenze semplici sono del tipo

x*x + y*y = raggio.

se per esempio abbiamo x*x + y*y = 25 allora, fissando un x (ad esempio 3) avremo che y*y = 25 - 3*3 = 25-9= 16

questo vuol dire che y*y = 16; esistono 2 numeri che elevati al quadrato danno 16: 4 e -4.
Quindi nella circonferenza ad ogni x sono associati 2 y: questo non la rende una funzione.

Per estensione, anche le ellissi non lo sono.

Ah, be tempi quando facevo ste cose e non c'erano convoluzioni e trasformate di Fourier a rompere le palle :D

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Ma scusa il problema di cui parli dovrebbe riguardare l'iniettività, non la definizione di "funzione". Quella è una cosa più teorica che pratica, alla fine tutto ciò che è nella forma y=... è una funzione, compresa la circonferenza ;)



sicuro sicuro che è così ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da filippom
Ma scusa il problema di cui parli dovrebbe riguardare l'iniettività, non la definizione di "funzione". Quella è una cosa più teorica che pratica, alla fine tutto ciò che è nella forma y=... è una funzione, compresa la circonferenza ;)

Definizione di funzione reale di variabile reale

Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti dell'insieme dei numeri reali R

Si chiama funzione di X in Y

una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x di X uno e uno solo elemento y di Y.


L'iniettività è img(f) = Y, che è una condizione diversa ;)

Una espressione che dato un valore di X mi dia più di un valore di Y, rientra nella più generale categoria delle relazioni.

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
img(f)=Y è la suriettività :)

Cmq ora mi sono ricordato, l'iniettività riguarda le applicazioni, una applicazione non iniettiva non può essere una funzione, hai ragione ;)


una applicazione è ancora una relazione ?

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Cosa intendi per relazione? Una applicazione è costituita da due insiemi con le freccette ( :sofico: :sofico: )



X={1,2,3}

Y={a,b,c}

questa è una relazione
r={(1,a),(2,b)}

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
una applicazione è ancora una relazione ?

sono sinonimi :D

Una relazione (o applicazione) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore
sono sinonimi :D

Una relazione (o applicazione) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi


concordo, ma non è detto che sia una funzione vero ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
concordo, ma non è detto che sia una funzione vero ?

Esatto, le funzioni sono particolari relazioni in cui n-1 elementi della ennupla individuano univocamente l'n-esimo elemento.

Dato che è così, si cambia la notazione, e invece di scrivere <x1,x2,...,xn-1,xn> si scrive f(x1,x2,...,xn-1) = xn , ma è solo per comodità

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Ah, la geometria :sofico:


pensa ad un insieme delle relazioni da X a Y e dimmi come lo scriveresti :muro:

X={1,2,3,4,5}
Y={a,b,c,d,e}

dalla definizione dei due insiemi (X,Y) si possono ottenere n*m relazioni (e non tutte sono funzioni :)) come ad esempio:

r = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)}

s = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,d),(5,e)}

g = {(1,a),(2,b),(3,c)}

etc.....

se volessi ragruppare tutte le relazioni in un unico insieme di relazioni si scrive:

R(X) = {r,s,g,......} ???

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
pensa ad un insieme delle relazioni da X a Y e dimmi come lo scriveresti :muro:

X={1,2,3,4,5}
Y={a,b,c,d,e}

dalla definizione dei due insiemi (X,Y) si possono ottenere n*m relazioni (e non tutte sono funzioni :)) come ad esempio:

r = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)}

s = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,d),(5,e)}

g = {(1,a),(2,b),(3,c)}

etc.....

se volessi ragruppare tutte le relazioni in un unico insieme di relazioni si scrive:

R(X) = {r,s,g,......} ???

Ne fai l'unione:

r U s U g = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e), (2,a),(3,a),(5,e)}

La definizione di unione è proprio questa: tutte le coppie dell'una e dell'altra, cancellando le coppie "doppioni".

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore
Ne fai l'unione:

r U s U g = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e), (2,a),(3,a),(5,e)}

La definizione di unione è proprio questa: tutte le coppie dell'una e dell'altra, cancellando le coppie "doppioni".


ci credi se ti dico che nn ci avevo pensato ? :muro:

quindi è corretto scrivere:

p(x)=...... per una delle tante relazioni e, P(X)=..... l'insieme di tutte le relazioni ottenibili ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
ci credi se ti dico che nn ci avevo pensato ? :muro:

quindi è corretto scrivere:

p(x)=...... per una delle tante relazioni e, P(X)=..... l'insieme di tutte le relazioni ottenibili ?

L'insieme delle parti di un insieme (P(x)) è diverso dall'insieme di tutte le possibili relazioni.

Cioè: l'insieme delle parti lo ottieni combinando tutti gli elementi di un insieme fra di loro, quindi se l'insieme aveva 5 elementi, l'insieme delle parti ne ha 2 alla 5 (32).

Una relazione per definizione è fra due insiemi, non può coinvolgere solo un insieme.

Al massimo puoi avere una relazione che coinvolga 2 volte lo stesso insieme (da R a R)

Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due (o più) insiemi: il prodotto cartesiano prende a coppie (o triple, a seconda del numero di insiemi) ordinate gli elementi dell'uno e dell'altro (o degli altri):

ad esempio se A = {1,2} e B = {a,b,c} il prodotto cartesiano A x B (diverso da B x A) è A x B = { (1,a) , (1,b) , (1,c) , (2,a) , (2,b) , (2,c)}

Ogni relazione esprimibile (anche le funzioni) che va da A in B prende alcune (al più tutte) quelle coppie.

Il prodotto cartesiano fra A (2 elementi) e B (3 elementi) ha 6 elementi.

Il prodotto cartesiano di B per se stesso ha 9 elementi, mentre il suo insieme delle parti ha 8 (2 alla 3) elementi. Sono cose diverse, insomma.

Ma era questo che volevi sapere, perchè non credo di aver capito il senso della domanda :D

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore

Ma era questo che volevi sapere, perchè non credo di aver capito il senso della domanda :D

hai aggiunto anche dell'altro ma tutto molto interessante, abbonda pure finchè vuoi :)


ma.....

Originariamente inviato da Scoperchiatore
L'insieme delle parti di un insieme (P(x)) è diverso dall'insieme di tutte le possibili relazioni.

questo era ciò che ti chiedevo ma che non ho ancora ben compreso; riesci a spiegarmelo in modo un po più chiaro ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
hai aggiunto anche dell'altro ma tutto molto interessante, abbonda pure finchè vuoi :)


ma.....



questo era ciò che ti chiedevo ma che non ho ancora ben compreso; riesci a spiegarmelo in modo un po più chiaro ?

Esemplifico, che è meglio:

prendere l'insieme delle parti di un insieme equivale a costuire tutti i possibili sottoinsiemi delle combinazioni dei suoi elementi, MA SOLO I SUOI.

Mentre costruire una relazione fra insiemi equivale a prendere UN UNICO insieme formato da n-uple degli elementi degli insiemi presi combinati in qualche modo.

Forse con l'esempio è più chiaro:

Prendiamo l'insieme A = {1,2,3}

P(A) = {{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{1,2,3}}

mentre per definire una relazione, inanzitutto non basta dire "definisco una relazione su A", in quanto non vuol dire nulla: devo definire il "tipo" della relazione (equivalente al tipo delle variabili nei linguaggi di programmazione, se la cosa può aiutarti)

Il tipo lo definisco dicendo a che insieme apparterranno le n-uple della relazione. Parlo di n-uple perchè decido IO stesso di fare coppie, terne, quaterne, etc... mentre nell'insieme delle parti, la scelta degli elementi e del loro tipo è obbligata.

Tornando alla relazione potrei decidere di fare una relazione in A x A x A: una relazione definita sul prodotto cartesiano di A per se stesso 3 volte sarebbe un sottoinsieme (una relazione è pur sempre un insieme) del prodotto cartesiano di A per se stesso 3 volte, ovvero:

AxAxA =
{(1,1,1) (1,1,2)(1,1,3),(1,2,1) (1,2,2)(1,2,3),(1,3,1) (1,3,2)(1,3,3),
(2,1,1) (2,1,2)(2,1,3),(2,2,1) (2,2,2)(2,2,3),(2,3,1) (2,3,2)(2,3,3),
(3,1,1) (3,1,2)(3,1,3),(3,2,1) (3,2,2)(3,2,3),(3,3,1) (3,3,2)(3,3,3) }

Anche se sembra una cosa complicata, in realtà il prodotto cartesiano l'ho costruito in questo modo: ho preso tutte le possibili combinazioni di tre elementi di A.
Posso anche fare un prodotto cartesiano di AxBxC (dove B e C sono due altri insiemi), RxR (dove R sono i numeri reali, ottenendo così l'insieme dei numeri complessi), RxRxR (ottenendo così i vettori a tre dimensioni, cioè qualunque segmento nello spazio tridimensionale), etc...

Fatto il prodotto cartesiano, è come se avessi stabilito il limite della tua relazione: oltre lì non può andare (logicamente lasciando definito il tipo: se da AxAxA passi a AxAxAxA, cambia tutto).
Ora la relazione la decidi tu prendendo alcune n-uple di quel prodotto cartesiano: ad esempio, tornando all'esempio di A posso chiamare una relazione k = {(1,1,1,),(2,2,2),(3,3,3)}. Quella è una relazione definita su AxAxA.

K è anche una funzione: la posso vedere anche in questo modo:
a 1 associa (1,1)
a 2 associa (2,2)
a 3 associa (3,3)
quindi ad ogni elemento di A è associato un altro elemento (di AxA, se la metto così).

Quindi posso scrivere che K è una funzione che va da A a AxA definendo il tipo della funzione (analogo a quello della relazione, solo che stavolta ci metto la freccina, per indicare dominio, a sinistra, e codominio, a destra della freccia)
K: A -> AxA

Quindi P(A) e relazioni su AxAx...xA sono cose decisamente diverse.

Le funzioni sono una sottoclasse interessantissima delle relazioni, ma vi sono molte relazioni interessantissime per l'algebra che non sono funzioni: ad esempio la relazione di congruenza modulo n.

Due numeri sono congruenti modulo 5, ad esempio, se il loro resto della divisione per 5 è lo stesso. 13 e 18 sono congruenti modulo 5:
difatti
13 : 5 = 10 con resto 3
18 : 5 = 15 con resto 3.

Questa relazione, così innocua, è parente strettissima della relazione alla base di tutte le transazioni sicure su internet :D

Ora mi fermo perchè sennò mi bannano :D

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore

Prendiamo l'insieme A = {1,2,3}

P(A) = {{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{1,2,3}}



quelli che hai scritto sopra e contenuti in P(A) sono sottoinsiemi di A?

Se penso a P(A) come ad un array di "n" elementi, si può pensare ai suoi sottoinsiemi come a dei sotto-array ?

In definitiva P(A) diverrebbe un array che contiene altri array; sbaglio ?