Domande di matematica discreta [Archivio]

misterx

01-09-2004, 13:27

dati i seguenti insiemi

X={1,2,3,4,5} Y={a,b,c}

e le seguenti relazioni

phi=|1 2 3 4 5| psi=|1 2 3 4 5| ro=|(1),(2),(3)| sigma=|1 2 3 4 5|
|a a b a b| |2 3 4 3 4| |(3),(4),(2)| |1 3 2 4 5|

a) ro è una funzione da X a Y (vero o falso ?)

penso sia falso in quanto per essere vera la si dovrebbe definire come

ro=|(1),(2),(3)|
|(a),(a),(b)|

e cioè sarebbero dovuto apparire nella seconda riga di definizione degli elementi dell'insieme Y!

giusto ?

b) psi è una funzione suriettiva (vero o falso ?)

falso in quanto vi sono elementi non relazionati
e non è nemmeno iniettiva

giusto ?:confused:

misterx

01-09-2004, 20:06

dai pigroni :D

marco5

01-09-2004, 20:50

:confused:

misterx

01-09-2004, 22:40

Originariamente inviato da marco5
:confused:

che ti succede ?

marco5

01-09-2004, 23:22

Originariamente inviato da misterx
che ti succede ?

:confused: = azzo è stà roba ? :D

Ziosilvio

02-09-2004, 11:24

Originariamente inviato da misterx

dati i seguenti insiemi

X={1,2,3,4,5} Y={a,b,c}

e le seguenti relazioni

phi=|1 2 3 4 5| psi=|1 2 3 4 5| ro=|(1),(2),(3)| sigma=|1 2 3 4 5|
|a a b a b| |2 3 4 3 4| |(3),(4),(2)| |1 3 2 4 5|

a) ro è una funzione da X a Y (vero o falso ?)

penso sia falso in quanto per essere vera la si dovrebbe definire come

ro=|(1),(2),(3)|
|(a),(a),(b)|

e cioè sarebbero dovuto apparire nella seconda riga di definizione degli elementi dell'insieme Y!

giusto ?

Per caso, (x) e' il singoletto di x (l'insieme che contiene solo x)?
In questo caso, la risposta e' sempre no, ma il motivo non e' quello che hai detto, bensi' che rho e' una funzione da un sottoinsieme dell'insieme dei singoletti di X (il quale non e' X) in un altro sottoinsieme dell'insieme dei singoletti di X, quindi non e' una mappa da X a Y.
b) psi è una funzione suriettiva (vero o falso ?)

falso in quanto vi sono elementi non relazionati
e non è nemmeno iniettiva

giusto ?:confused:
Giusto.

misterx

02-09-2004, 16:25

cosa intendi per "singoletto" ?

per caso un elemento di X ?

misterx

02-09-2004, 16:52

e poi....

phi • psi (appartiene) a F(X,Y) ?

Ziosilvio

03-09-2004, 10:53

Originariamente inviato da misterx
cosa intendi per "singoletto" ?

per caso un elemento di X ?
No.
Un singoletto e' un insieme che contiene un solo elemento.
Se x (piccolo) e' un elemento di X (grande), il singoletto di x (piccolo) e' il sottoinsieme di X (grande) che contiene solo x (piccolo).
In particolare, un singoletto NON e' il proprio (unico) elemento.
e poi....

phi • psi (appartiene) a F(X,Y) ?
Con F(X,Y) indichi l'insieme delle funzioni da X ad Y?
Se e' cosi', allora la risposta e' si'.
(Esercizio: dimostrare che, se f e' in F(X,Y) e g e' in F(Y,Z), allora g-dopo-f e' in F(X,Z).)

misterx

03-09-2004, 18:08

scusa ma "f" e "g" sono 2 relazioni ?

/\/\@®¢Ø

05-09-2004, 20:16

Il testo e' un po' confusionario perche' a rigore un insieme di relazioni non e' una funzione :eek:
Dovresti chiarire cosa indichi con (1).
a) No, per esserlo dovresti avere il dominio sottoinsieme di X (qualsiasi cosa voglia dire (1) , non sta in X). Idem per il codominio che non sta in Y
b) No, psi(X) = {a,b} e non Y

c)
psi : X -> X
phi : X -> Y

phi * psi :
X -> X -> Y

...

d) In bocca al lupo per l'esame :p :)

misterx

05-09-2004, 20:19

marco, non ci ho capito molto del tuo intervento :(

una relazione è per definizione una funzione

/\/\@®¢Ø

05-09-2004, 20:52

Basta che procedi di definizioni

a) ro è una funzione da X a Y (vero o falso ?)

"Si ha una funzione f di X in Y se e' data una regola che ad ogni elemento di X associa un unico elemento di Y".
In questo caso la risposta e' no perche ro assegna elementi NON di X ad elementi NON di Y.
Poi magari tu hai una definizione un po' differente ma il discorso e' quello

b)

"Sia f : X -> Y una funzione da X (dominio) in Y(codominio). Se Z e' sottoinfieme di X, si indicia con f(Z) l'insieme degli elementi di T che sono immagine di qualche elemento z di Z. In particolare f(X) si chiama immagine di f"
"Una applicazione f: X -> Y si dice suriettiva se f(X) = Y"

Nel nostro caso f(X) non coincide con tutto Y (manca 3) e quindi non e' suriettiva

c)
"Date due applicazione f: X->Y e g: Y->Z si definisce l'applicazione composta g*f: X->Z ponendo (g*f)(x) = g(f(x)) per ogni x in X"
In particolare si puo' notare che (g*f) ha lo stesso dominio di f e lo stesso codominio di g.
Nel nostro caso al posto di f,g abbiamo psi,ro e quindi otteniamo
(psi*ro) : X -> Y.
Se con F(X,Y) intendi le funzioni di X in Y allora la risposta e' si'.

d)
A meno che non usiamo definizioni diverse una relazione non e' una funzione. Sono le funzioni ad essere (particolari tipi di) relazioni. Una relazione di equivalenza ad esempio, che tipo di funzione e' :p. ?

misterx

05-09-2004, 21:28

Definizione

Dati due insiemi non vuoti A e B (anche coincidenti), si chiama applicazione o funzione di A in B una qualunque relazione tra A e B che associa ad ogni elemento x€A uno ed un solo elemento y€B

poi perchè dici che in (a) la relazione rho contiene elementi NON di X e non di Y ?

ok, non è una funzione da X a Y ma a me sembra una funzione da X a X, ti pare ?

/\/\@®¢Ø

05-09-2004, 22:20

Originariamente inviato da misterx
Definizione

Dati due insiemi non vuoti A e B (anche coincidenti), si chiama applicazione o funzione di A in B una qualunque relazione tra A e B che associa ad ogni elemento x€A uno ed un solo elemento y€B

Appunto, una funzione e' una relazione, ma una relazione non e' necessariamente una funzione
(Socrate e' un uomo ma non tutti gli uomini sono Socrate :D)

poi perchè dici che in (a) la relazione rho contiene elementi NON di X e non di Y ?

Perche' finche non mi spieghi cosa vuol dire (1) :p, devo considerarlo diverso da 1 (e da 2,3,4,5). Quindi la funzione non ha dominio in X. Similmente (3) non e' ne' a ne' b ne' c. La relazione ro che mi manda (1) in (3) non puo' quindi essere da X in Y.

ok, non è una funzione da X a Y ma a me sembra una funzione da X a X, ti pare ?
No, in generale (1) non e' 1 (perlomeno finche non mi spieghi cosa intendi con quella notazione...)

misterx

05-09-2004, 22:37

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø

Poi magari tu hai una definizione un po' differente ma il discorso e' quello

quello sopra lo avevi scritto tu...

io ti ho postato la definizione che ho in testa (che mi hanno insegnato) e che dovrebbe essere quella universalmente riconosciuta :D

vabbè, fammi leggere quanto scrivi

misterx

06-09-2004, 08:07

cmq marco, l'esercizio viene fornito così com'è

ma a te sembra che manchino delle informazioni per procedere ?

se si, quali ?

/\/\@®¢Ø

06-09-2004, 11:04

Originariamente inviato da misterx
cmq marco, l'esercizio viene fornito così com'è

ma a te sembra che manchino delle informazioni per procedere ?

se si, quali ?

Beh, quella che ti ho chiesto tre volte :D :p ( che si intende con (1) ? Lo stesso di 1 ?). A prescindere da questo comunque il risultato non cambia sostanzialmente

misterx

06-09-2004, 11:44

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
Beh, quella che ti ho chiesto tre volte :D :p ( che si intende con (1) ? Lo stesso di 1 ?). A prescindere da questo comunque il risultato non cambia sostanzialmente

ahhhh

ora ho capito! @#@sasaalf@#@#@ :D

si, (1) nella rho è la stessa cosa di 1

mò lo scrivo a mano :D

/\/\@®¢Ø

06-09-2004, 12:23

Originariamente inviato da misterx
ahhhh

ora ho capito! @#@sasaalf@#@#@ :D

si, (1) nella rho è la stessa cosa di 1

mò lo scrivo a mano :D
:ncomment:

:D

Allora sul a) hai ragione, e' una funzione di X -> X

misterx

01-10-2004, 20:37

domanda

data una proposizione del tipo:

2^n−1 > 6n + 1 (per ogni "n" appartenente ai "N", e n>=7

supponete che desiderate conoscere se la proposizione è vera per qualsiasi numero (>=7), che metodo usate ?

misterx

02-10-2004, 21:02

up:)

/\/\@®¢Ø

04-10-2004, 00:24

Originariamente inviato da misterx
domanda

data una proposizione del tipo:

2^n−1 > 6n + 1 (per ogni "n" appartenente ai "N", e n>=7

supponete che desiderate conoscere se la proposizione è vera per qualsiasi numero (>=7), che metodo usate ?

Porta i termini a sinistra e poi procedi per maggiorazioni. Oltre a quelle ovvie non dimenticarti di quelle "classiche" che si fanno sempre a lezione.

Ad esempio se non ricordo male per n >= 1 si ha 2^n >= n^2 (dimostrazione: esercizio :D)
e quindi possiamo scrivere

2^n - 1 > 6n + 1
(*) 2^n - 6n - 2 > 0

2^n > n^2 + 2=> (*) vero se vale la seguente
(**) n^2 +2 -6n -2 >0
ovvero
n^2 - 6n >0

n( n - 6 ) > 0

il primo termine e' sempre maggiore di 0, il secondo lo e se n >= 7 e quindi (**) e' vera. Di conseguenza e' vera pure (*)
Ti resta da dimostrare la disuguaglianza chiave, ma se prendi il tuo libro di testo trovi sicuramente qualcosa di simile.

misterx

04-10-2004, 20:14

cavolo Marco, ma il metodo che hai usato come si chiama ? :?

e poi: secondo te se suppongo che una P(k) è vera, e dimostro che è vera anche la P(k+1), significa che la mia supposizione (vedi esempio al primo post) lo è all'infinito ?

p.s.
ovviamente stiamo parlando dell'induzione :)

cavolo, spero di essermi fatto capire :muro:

/\/\@®¢Ø

05-10-2004, 00:24

Originariamente inviato da misterx
cavolo Marco, ma il metodo che hai usato come si chiama ? :?

:mbe: Matematica ?

No ok scherzo :D
Piu' seriamente. In questo caso si trattava di dimostrare che la funzione era sempre positiva, ergo problema equivalente allo studio del segno di una funzione. Capito questo si tratta solo di applicare le solite regole per risolvere questi casi: si porta tutto da una parte e si raccoglie. L'unico problema e' che quando si hanno termini di "tipo diverso" (un esponenziale ed un polinomio nel nostro caso) farlo non e' facile e bisogna ricorrere alle "formule tattiche" (intese come quelle formule la cui utilita' durante la lezione appare prossima allo zero e che tipicamente sono le ultime che ci si ricorda :D) per cambiare o maggiorare/minorare l'equazione .

e poi: secondo te se suppongo che una P(k) è vera, e dimostro che è vera anche la P(k+1), significa che la mia supposizione (vedi esempio al primo post) lo è all'infinito ?

Si', se dimostri anche che P(k0) vale per un valore iniziale k0.

misterx

05-10-2004, 21:33

ho capito che è matematica :D ma i metodo da te usato è l'induzione dell'omonimo Peano ?

/\/\@®¢Ø

06-10-2004, 00:12

Originariamente inviato da misterx
ho capito che è matematica :D ma i metodo da te usato è l'induzione dell'omonimo Peano ?
Da le mie parti lo chiamano "spannometro" , dalle tue non so :mbe: :D

misterx

11-10-2004, 11:19

Marco, semplice ma ingannevole :D

A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C

è sempre vera ?:)

/\/\@®¢Ø

11-10-2004, 14:59

Originariamente inviato da misterx
Marco, semplice ma ingannevole :D

A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C

è sempre vera ?:)
No. Controesempio:

A = { 2 , 3 } , B = { 1 , 2 } , X = { 3 , 4 }

misterx

14-10-2004, 22:36

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
No. Controesempio:

A = { 2 , 3 } , B = { 1 , 2 } , X = { 3 , 4 }

A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C

ma si può che mi imbrano su sti cavolo di insiemi ? :muro:

stavo pensando che se si osserva con molta attenzione (caratteristica che a me sta mancando) l'ipotesi, posso dire che la tesi è vera "solo se A è contenuto in (B U X)" , ed in caso contrario non ha senso come hai poi dimostrato tu col tuo contro esempio ?

non sogghignare che ti vedo :D

/\/\@®¢Ø

15-10-2004, 11:11

Originariamente inviato da misterx
stavo pensando che se si osserva con molta attenzione (caratteristica che a me sta mancando) l'ipotesi, posso dire che la tesi è vera "solo se A è contenuto in (B U X)" , ed in caso contrario non ha senso come hai poi dimostrato tu col tuo contro esempio ?

non sogghignare che ti vedo :D

Mi spiego piu' chiaramente:
quel che hai scritto vuol dire "Se A e' contenuto nell'unione dei dui insiemi allora e' contenuto in uno dei due".
Viene poi chiesto se e' _sempre_ vero.

Non e' cosi', perche' il mio controesempio mostra che in almeno un caso non succede, anche se ci sono poi dei casi in cui e' vero
(esempio: A = {1} , B={1} , X={1}),

misterx

17-10-2004, 13:13

ok grazie, ora mi è tutto chiarissimo :)

misterx

17-10-2004, 14:29

se chiamiamo X tutto ciò che non è contenuto in A e in B e scriviamo:

C "contenuto" (AUB)complementato

significa che C sta in X ?

/\/\@®¢Ø

17-10-2004, 19:28

Originariamente inviato da misterx
1- se chiamiamo X tutto ciò che non è contenuto in A e in B e scriviamo:

2- C "contenuto" (AUB)complementato

significa che C sta in X ?
Certo, perche' AuB complementato non e' altro che X
Per capirlo meglio basta trascrivelo in formule:

la 1 si traduce in
a) X ^ (A u B) = 0 (dove ^ sta per intersezione e 0 sta per insieme vuot)
b) X u A u B = Z (per qualche insieme Z)

mentre la 2 si puo' riscrivere nel seguente modo:

C c Z \ (AuB) , che pero' altro non e' che X

misterx

23-10-2004, 08:54

grazie Marco :)

un dubbio, QUI (http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Nov_03/ProdottoCartesiano.htm) si dice che il prodotto cartesiano è ...(bla, bla, bla)....e poi arriva al punto dove dice che: pertanto il prodotto B×A è diverso da A×B che significa ?

io l'ho interpretato come se avessi axb=bxa (proprietà commutativa) ma ho idea che intedessero altro

help

Scoperchiatore

23-10-2004, 12:02

Originariamente inviato da misterx
grazie Marco :)

un dubbio, QUI (http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Nov_03/ProdottoCartesiano.htm) si dice che il prodotto cartesiano è ...(bla, bla, bla)....e poi arriva al punto dove dice che: pertanto il prodotto B×A è diverso da A×B che significa ?

io l'ho interpretato come se avessi axb=bxa (proprietà commutativa) ma ho idea che intedessero altro

help

Se A = {1,2}
B = {a,b,c}

AXB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
BXA = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Le coppie nell'insieme del prodotto cartesiano devono essere formate prendendo gli elementi dei sue insiemi in modo ordinato (il primo elemento della coppia appartiene al primo insieme del prodotto cartesiano, il secondo elemento al secondo insieme...) qundi il prodotto cartesiano non è commutativo.

misterx

23-10-2004, 12:52

Originariamente inviato da Scoperchiatore
Se A = {1,2}
B = {a,b,c}

AXB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
BXA = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Le coppie nell'insieme del prodotto cartesiano devono essere formate prendendo gli elementi dei sue insiemi in modo ordinato (il primo elemento della coppia appartiene al primo insieme del prodotto cartesiano, il secondo elemento al secondo insieme...) qundi il prodotto cartesiano non è commutativo.

una finezza...

mi sfugge il perchè lo abbiano chiamato prodotto che a me fa mensare alla moltiplicazione

/\/\@®¢Ø

23-10-2004, 17:45

Originariamente inviato da misterx
una finezza...

mi sfugge il perchè lo abbiano chiamato prodotto che a me fa mensare alla moltiplicazione
Perche' piu' o meno e' cosi': se A ha 4 elementi e B ne ha 3 AxB ne avra' 4x3=12

misterx

23-10-2004, 18:38

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
Perche' piu' o meno e' cosi': se A ha 4 elementi e B ne ha 3 AxB ne avra' 4x3=12

intendi questo ?

A={1,2,3,4}
B={a,b,c}

AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)}

p.s.
se mi metti sempre l'esempio chiarificatore te ne sarei grato, tanto per non scambiar, da parte mia, lucciole per lanterne :)

misterx

25-10-2004, 20:26

domanda:

una relazione è definita transitiva quando ?

non mandatemi al diavolo ma fatico a trovare esempi chiari in rete:muro:

/\/\@®¢Ø

26-10-2004, 21:38

Non devi guardare in internet, ma sui libri di testo :p :D.

Una relazione R e' transitiva quando
aRb e bRc => aRc.
Esempio e' la relazione di uguaglianza
a=b e b=c => a=c

Lo stesso discorso lo puoi fare con altri operatori di confronto aritmetici come < , > , <= etc.

L'esempio che hai fatto sul prodotto cartesiano va benissimo, comunque nessuno verra' mai a domandarti perche' si chiama cosi' :p, vai tranquillo.

misterx

26-10-2004, 22:01

ho letto tonnellate di esempi in rete e devo ammettere che più che imparare, ci si confonde le idee :muro:

noi non studiamo su di un libro ma su lucidi :( ecco il perchè di tanti dubbi

so che anche graficamente (diagramma sagittale) si possono rappresentare le relazioni in modo da mettere in evidenza alcune delle loro proprità

per farti un esempio:

ar b <=> a²+b = 1

dire se:

è riflessiva
è simmetrica
è antisimmetrica
è transitiva

usando anche dei controesempi

Scoperchiatore

27-10-2004, 15:04

Originariamente inviato da misterx
ho letto tonnellate di esempi in rete e devo ammettere che più che imparare, ci si confonde le idee :muro:

noi non studiamo su di un libro ma su lucidi :( ecco il perchè di tanti dubbi

so che anche graficamente (diagramma sagittale) si possono rappresentare le relazioni in modo da mettere in evidenza alcune delle loro proprità

per farti un esempio:

ar b <=> a²+b = 1

dire se:

è riflessiva
è simmetrica
è antisimmetrica
è transitiva

usando anche dei controesempi

riflessività : a r a ? a² + a² = 1 no, è impossibile.

simmetria: se a r b è anche vero che b r a ?
a r b => a² + b = 1
b r a => b² + a = 1
eistono 2 reali che possono soddisfare questa condizione? basta risolvere il sistema.
b = a² -1 (dalla prima)
sostituendo nella seconda: (a² -1)² + a = 1 ==> a²a² - 2a² + a = 0
==> si deve scomporre o risolvere con ruffini. Intuitivamente mi sembra impossibile, ma non so. Se lo scomponi con ruffini (ora non ho tempo, sto aspettando l'upload di PHPNuke :D ) otterrai o tutte soluzioni complesse (allora era impossibile) oppure almeno una reale (allora è possibile)
Se è possibile, allora la relazione è simmetrica.

transitività:
a r b e b r c IMPLICANO che anche a r c. E' vero?
a² + b = 1 e b² + c = 1 implicano che a² + c = 1?
Equivale a trovare una soluzione per il sistema di queste tre equazioni. Puoi procedere esattamente come prima, oppure metterlo direttamente su un programma di matematica (shilab è gratis) e vedere il risultato.
Se il sistema ammette soluzioni reali allora è transitiva.

La tecnica è sempre la stessa per dimostrare queste 3 proprietà.
L'antisimmetria dice che se a r b e b r a è SOLO E SOLTANTO perchè a = b. Con la stessa tecnica si dimostra anche questa.

Tieni presente che io ho supposto che la relazione sia definita sui reali. Se era definita sui naturali era ovviamente una relazione impossibile (insieme vuoto) perchè affinchè a + b = 1 allora o uno dei due è negativo o frazionario. Col quadrato, tanto peggio :D

misterx

27-10-2004, 20:24

hai ragione, ho omesso di scrivere

X=Z :muro:

cmq, mi hai dato informazioni utilissime e ti dico anche il perchè

a me è stato insegnato il metodo grafico per vedere se una data relazione è riflessiva, simmetrica e/o antisimmetrica; per la transitiva, mi hanno consigliato il diagramma a frecce (o sagittale)

il tuo è un metodo più matematico ma molto più comprensibile in quanto mette subito in evidenza cosa si intende per:

a rho a
a rho b => b rho a
etc....

un'altra domanda anzi, un mega dubbio mi sovviene: può una relazione essere simmetrica ed antisimmetrica allo stesso tempo ?

scusa ma continuando a leggere a destra ed a manca ho creato nella mia testa una gran confusione

misterx

27-10-2004, 20:46

vediamo se ho capito

X=Z (lavoriamo coi numeri relativi)

a r b <=> a-b dispari

1) proprietà riflessiva

a r a ? a - a

non è riflessiva in quanto è sempre uguale a zero che se non erro lo zero è considerato pari

2) proprietà simmetrica

a r b => b r a

a r b => a-b dispari
b r a => b-a dispari

è simmetrica perche:

3-2 = 2-3 (a meno del segno)

3) proprietà antisimmetrica

a r b e b r a => a=b

questa mi sfigge :muro:

4) proprietà transitiva

a-b=dispari 3-2=1
b-c=dispari 2-1=1
a-c=dispari 3-1=2

non è transitiva

nin

27-10-2004, 21:59

Originariamente inviato da misterx
cavolo Marco, ma il metodo che hai usato come si chiama ? :?

Posso dirti che non è induzione di sicuro, la si applica nel caso degli Interi partendo appunto dal termine iniziale della disuguaglianza (quindi 7) per poi maggiorare di 1 "n" nella tua relazione..cercando di dimostrare che la disuguaglianza si mantiene.
Quindi se è valido per n=7 e poi per n=n+1, allora è valido sempre. (il succo dell'induzione).
Se mi viene un colpo di genio provo a fartela :D

Il suo metodo è più vasto e penso valido per R.

/\/\@®¢Ø

28-10-2004, 00:01

Originariamente inviato da misterx
hai ragione, ho omesso di scrivere

X=Z :muro:

Scoperchiatore ti ha risposto piu' che esaurientemente, aggiungo giusto un paio di osservazioni.
Per simmetria e transitivita' la cosa piu' semplice e' procedere con un paio di controesempi. Basta andare con casi limite (dove peraltro di solito si trovano proprio le eccezioni).

simmetria
aRb => bRa ?
Questo e' vero <=>
a^2 +b = 1 => b^2 + a = 1

no: controesempio : a= -1 , b=0
vale aRb ma non bRa

transitivita'
a^2 + b = 1 , b^2+c=1 => a^2+c=1 ?
no, controesempio: a=1,b=0,c=1

un'altra domanda anzi, un mega dubbio mi sovviene: può una relazione essere simmetrica ed antisimmetrica allo stesso tempo ?

Certo, basta che controlli le definizioni, non dicono nulla che vada in contrasto con l'altra.
Esempio: <= (disuguaglianza larga)
a <= a
ma d'altra parte
se a <= b e b<=a allora a=b

/\/\@®¢Ø

28-10-2004, 00:06

3) proprietà antisimmetrica

a r b e b r a => a=b

Se a-b dispari e b-a dispari, allora a=b ?
no perche' se a=b allora a-b=0 pari.

In alternativa con controesempio:
a=1,b=0 : 1-0 e 0-1 son dispari, ma a e' diverso da b

/\/\@®¢Ø

28-10-2004, 00:10

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
Scoperchiatore ti ha risposto piu' che esaurientemente, aggiungo giusto un paio di osservazioni.
Per simmetria e transitivita' la cosa piu' semplice e' procedere con un paio di controesempi. Basta andare con casi limite (dove peraltro di solito si trovano proprio le eccezioni).

simmetria
aRb => bRa ?
Questo e' vero <=>
a^2 +b = 1 => b^2 + a = 1

no: controesempio : a= -1 , b=0
vale aRb ma non bRa

transitivita'
a^2 + b = 1 , b^2+c=1 => a^2+c=1 ?
no, controesempio: a=1,b=0,c=1

Certo, basta che controlli le definizioni, non dicono nulla che vada in contrasto con l'altra.
Esempio: <= (disuguaglianza larga)
a <= a
ma d'altra parte
se a <= b e b<=a allora a=b

whops errore, ho usato la riflessiva invece che la simmetrica.

Il discorso e' ancora valido comunque, anzi per certi versi e' piu' interessante.
1)aRb => bRa
e' compatibile con
2)se aRb e bRa allora a=b ?
Si' lo e' , e se valgono entrambe allora e' sufficiente dire che aRb per avere che a=b:

Infatti se aRb si ha per la 1) che bRa ma allora per la due (aRb e bRa) si ha che a=b

misterx

28-10-2004, 14:09

caspita, ho un dubbio atroce

se si dovesse rappresentare su di un grafico cartesiano la seguente relazione:

X=Z

a r b <=> a²=b²

sarebbe giusto tracciare una retta a 45° appartenente ai soli assi X+ ed Y+ ?

misterx

28-10-2004, 22:07

lasciate perdere quanto sopra in quanto ne ho sparata una grossa :muro:

Scoperchiatore

28-10-2004, 23:16

Originariamente inviato da misterx
lasciate perdere quanto sopra in quanto ne ho sparata una grossa :muro:

A me sembra giusto :what: o almeno, in parte giusto.

a²=b² se e solo se +-a = +-b

In realtà devi disegnare tutte le bisettrici di tutti i quadranti per rappresentarla completamente. Ma l'andamento è quello.

Almeno credo, ora m'hai messo il dubbio :D

Scoperchiatore

28-10-2004, 23:50

Originariamente inviato da misterx
vediamo se ho capito

X=Z (lavoriamo coi numeri relativi) a r b <=> a-b dispari

2) proprietà simmetrica

a r b => b r a

a r b => a-b dispari
b r a => b-a dispari

è simmetrica perche:

3-2 = 2-3 (a meno del segno)

4) proprietà transitiva

a-b=dispari 3-2=1
b-c=dispari 2-1=1
a-c=dispari 3-1=2

non è transitiva

Queste dimostrazioni non si possono considerare tali.

In matematica vale sempre questo processo di dimostrazione:
- se devi dimostrare che un teorema, asserto, proprietà è FALSA, allora basta trovare UN SOLO controesempio che la rende tale: se dico che tutti i numeri dispari sono divisibili per tre, posso dimostrare che sbaglio prendento 11 che non è divisibile per 3.
- se devi dimostrare che un teorema, asserto, proprietà è VERA lo devi dimostrare per TUTTI I POSSIBILI elementi dell'insieme che consideri. Quindi se devo dimostrare che ogni ogni numero pari maggiore di 2 è uguale alla somma di due numeri primi, devi farlo per TUTTI I NUMERI PARI MAGGIORI DI DUE, e non solo per 6 (3+3).

Se stai pensando di dimostrarlo, non sprecare energie :D E' da quanche secolo che i matematici ci provano :D

Tornando al discorso sulla tua dimostrazione, l'avresti dovuta impostare in modo più generale, ad esempio:

2) proprietà simmetrica

a r b => b r a

a r b => a-b dispari
b r a => b-a dispari

è simmetrica perche:

dividiamo in 4 casi:

1 a pari e b pari
2 a pari b dispari
3 a dispari b pari
4 a dispari b dispari

1 la differenza fra due pari non fa mai un dispari: quindi a e b non possono essere mai in relazione. E dato che non vale a r b e' inutile dimostrare che valga b r a

2 a pari b dispari: a-b è dispari (non te la dimostro perchè non saprei come fare, ma è una proprietà base dei pari e dei dispari: 4-3 = 1, 10-7= 3 etc...)
quindi in questo caso a r b. b r a solo se dispari - pari = dispari. E anche questo è sempre vero, sempre per una proprietà fondamentale dei dispari e pari. (11-4 = 7, 31-28 = 3 etc...)
Quindi in questo caso la relazione è dimostrato che è simmetrica

3 E' uguale al 2, solo che b ed a sono invertiti: a r b perchè dispari - pari = dispari (l'ho detto sopra) e anche b r a perchè pari - dispari = dispari (detto anche questo sopra)

4 entrambi dispari, ultimo caso possibile: dispari - dispari non può mai dare dispari: 3-1 = 2, 77-35 = 32, etc... Quindi a e b non potrebbero essere in relazione e quindi (come nel caso 1) è inutile dimostrare la simmetria (dato che non c'è neanche la relazione :D)

Così hai dimostrato PER TUTTI I NUMERI che la relazione di quel tipo è simmetrica.

Dovresti fare lo stesso per la transitività ;)

misterx

29-10-2004, 13:23

Originariamente inviato da misterx

X=Z (lavoriamo coi numeri relativi)

a r b <=> a-b dispari

azz.....mi hai messo un enorme dubbio scoperchiatore :muro:

io di quella roba scritta sopra non devo dimostrare se è vera in quanto lo è già per definizione

devo scoprire solo se ha le 4 proprietà esposte sino ad ora giusto ?

:muro: :muro: :muro: :muro:

Scoperchiatore

29-10-2004, 13:58

Originariamente inviato da misterx
azz.....mi hai messo un enorme dubbio scoperchiatore :muro:

io di quella roba scritta sopra non devo dimostrare se è vera in quanto lo è già per definizione

devo scoprire solo se ha le 4 proprietà esposte sino ad ora giusto ?

:muro: :muro: :muro: :muro:

Quella roba cosa? a in relazione con b se a-b=dispari?

No, non è da dimostrare, è una condizione: cioè, se a e b sono in relazione che hai chiamato r allora la loro differenza è un dispari.

Ma questa cosa non è da dimostrare, a te non interessa che sia vera o falsa, è il tuo punto di partenza.

Logicamente negli esercizi tali punti di partenza sono inutili (la relazione di sopra a che serve?? ) ma dimostrare le proprietà di relazioni note e meno "specifiche" serve a qualche risultato.

Per esempio, di che proprietà gode la relazione di >?

non è riflessiva (a>a è un assurdo)
non è simmetrica (se a>b allora b<a quindi non vale la riflessività)
non è antisimmetrica
è transitiva (se a>b e b>c allora anche a>c, logicamente).

Dimostrando le proprietà di MAGGIORE non è che ho guadagnato molto.

Ti dico che se dimostri le proprietà di MINORE-UGUALE (<=) scopri che è una relazione d'ordine (rifless, antisimmetrica, transitiva) e che grazie ad essa puoi definire insiemi interessanti chiamati reticoli, su cui si fonda l'algebra di boole (l'algebra logica 1 AND 0, NOT 1, b OR c, etc...)

Come al solito, la matematica vista in piccolo è inutile, se si allarga il punto di vista è più utile (a patto di non allargarlo troppo)

misterx

29-10-2004, 14:10

tutta questa

a r b <=> a-b dispari

taci che inizio a vederci qualcosa, mi si sta accendendo l'illuminazione :)

la prossima volta faccio lo scientifico

Scoperchiatore

29-10-2004, 21:07

Originariamente inviato da misterx
tutta questa

a r b <=> a-b dispari

taci che inizio a vederci qualcosa, mi si sta accendendo l'illuminazione :)

la prossima volta faccio lo scientifico

oppure chiedi lavoro all'ENEL :D

Tutta quella non è da dimostrare ;)

misterx

29-10-2004, 21:34

Originariamente inviato da Scoperchiatore
oppure chiedi lavoro all'ENEL :D

Tutta quella non è da dimostrare ;)

cosa intendi ?

misterx

29-10-2004, 21:41

a r b <=> a-b dispari

io ci ho messo un pò a a capire che la frase? che appare sopra è la fotografia della relazione

mi dice che ogni elemento 'a' è associato ad un elemento 'b' nella roh sottratti tra loro mi danno sempre un numero dispari

quindi già di primo acchito posso dire che lo zero non è presente nella relazione data, in quanto mi viene già detto che la relazione stessa che è fatta di soli numeri dispari giusto ?

pardon se mi sono spiegato da cani

Scoperchiatore

29-10-2004, 23:28

Originariamente inviato da misterx
a r b <=> a-b dispari

io ci ho messo un pò a a capire che la frase? che appare sopra è la fotografia della relazione

mi dice che ogni elemento 'a' è associato ad un elemento 'b' nella roh sottratti tra loro mi danno sempre un numero dispari

pardon se mi sono spiegato da cani

No, non mi sembra che tu abbia capito.

Ricorda che una relazione è SEMPRE UN INSIEME.
quella cosa in grassetto la puoi leggere così.

a e b sono in relazione fra di loro se a-b è dispari. La relazione cos'è? L'insieme di tutte le COPPIE di numeri la cui differenza è dispari, non i numeri dispari!

Questa relazione è definita su Z².
Essendo la relazione un insieme, come sarà fatto?

Elementi di r =
{
(1,0)
(0,1)
(2,1)
(1,2)
(3,2)
(2,3)
(5,2)
(2,5)
...
...
(17,10)
(10,17)
...
...
(99,1000)
...
...
}

Logicamente l'insieme degli elementi appartenenti alla relazione è infinito.
Come vedi l'insieme è composto da coppie (questo vuol dire che è definito su Z quadro).
Di ogni coppia, se fai il primo elemento meno il secondo, ottieni sempre un dispari.

Una relazione è un modo veloce per scrivere un insieme di infiniti elementi. Niente di più.

La relazione, come dimostrato, è simmetrica, perchè come vedi ogni coppia è presente in entrambi i "versi" [ (5,1,) e (1,5) ] e è anche transitiva (non si vede a occhio). Si vede anche ad occhio che non è riflessiva, dato che non esiste una coppia che ha due elementi uguali (come avevi dimostrato tu, darebbe 0 la loro differenza, e 0 non è dispari).

quindi già di primo acchito posso dire che lo zero non è presente nella relazione data, in quanto mi viene già detto che la relazione stessa che è fatta di soli numeri dispari giusto ?

La relazione è definita su Z², questo è importante. Un elemento di Z (lo zero per esempio) NON E' CONFRONTABILE con un elemento di Z² (una coppia di 3, per esempio). E' come confrontare una pera con un cesto di frutta.

Quindi dire se lo zero appartiene o no alla relazione non ha senso, ci si può chiedere se lo zero compare almeno una volta come elemento di una coppia. Come vedi lo zero compare in alcune coppie, e precisamente in compagnia di tutti i numeri dispari, perchè ovviamente numero dispari - 0 = numero dispari ;)

Io ho paura che tu non abbia ancora capito chiaramente il concetto di relazione matematica, o almeno cosa rappresenti realmente quell'insieme di simboli. Spero che questo esempio abbia in qualche modo chiarito :D

misterx

30-10-2004, 08:37

Scusa se insisto ed anzi, siete voi che dovete avere pazienza nel rileggere ogni volta le medesime cose; io considero importantissimo verificare se ho capito cosa vuol dirmi la relazione sotto. :muro:

a r b <=> a-b dispari

Significato

se dalla relazione sopra, prendo un elemento 'a' associato ad un elemento 'b' della roh e li sottraggo tra loro, devo ottenere sempre un numero dispari; se ciò avviene, significa che tali valori appartengono alla relazione.

Esempio:
1-0 (appartiene alla relazione)
0-1 (appartiene alla relazione)
3-0 (appartiene alla relazione)
17-10 (appartiene alla relazione)

Ed aggiungo: se a-b forniscono come risultato un numero pari, significa che tale coppia di a-b non appartengono alla relazione.

10-6 (non appartiene alla relazione)

e così via.....

La storia dello zero l'ho cannata in pieno :muro:

Spero tanto di aver capito ora :(

Scoperchiatore

30-10-2004, 18:14

Originariamente inviato da misterx
Scusa se insisto ed anzi, siete voi che dovete avere pazienza nel rileggere ogni volta le medesime cose; io considero importantissimo verificare se ho capito cosa vuol dirmi la relazione sotto. :muro:

non ti preoccupare,quando faccio una pausa fra PHPNuke e JSP ti rispondo volentieri :D

a r b <=> a-b dispari
Significato

se dalla relazione sopra, prendo un elemento 'a' associato ad un elemento 'b' della roh e li sottraggo tra loro, devo ottenere sempre un numero dispari; se ciò avviene, significa che tali valori appartengono alla relazione.

NO! E' quo che sbagli! Devi ricordarti sempre che la relazione è definita su ZxZ!

se prendi un elemento QUALUNQUE di Z, chiamalo a, e prendi un altro ELEMENTO QUALUNQUE di Z, chiamalo b (eventualmente b=a), allora, se a-b è un dispari, allora la COPPIA (a,b) appartiene alla relazione.

Nel definire una relazione si parte da un insieme maggiore, in questo caso ZxZ, difatti prendi due numeri da Z, e la regola roh ti dà un modo per creare un sottoinsieme di ZxZ, che in questo caso è fatto da tutti i relativi che sottratti danno un dispari.

Esempio:
1-0 (appartiene alla relazione)
0-1 (appartiene alla relazione)
3-0 (appartiene alla relazione)
17-10 (appartiene alla relazione)

No :D

non è 1-0 (1 meno 0) ad appartenere all'insieme definito dalla relazione, ma la COPPIA (1,0). Anche se ti sembra la stessa cosa non lo è.

Ed aggiungo: se a-b forniscono come risultato un numero pari, significa che tale coppia di a-b non appartengono alla relazione.

Giusto ;)
Ora mi viene il dubbio che sopra con a-b intendevi la coppia a,b. Comunque sia, a questa relazione appartengono coppie di elementi, questo è l'importante. Poi in generale, una coppia è indicata con (a,b)

10-6 (non appartiene alla relazione)

(10,6) non appartiene all'insieme della relazione.
4 non è un elemento di ZxZ :D