ChriD
17-06-2004, 23:54
mi permetto di dire, alla faccia e di studenti.it... questa mattina mi sono messo e ci ho dato, se volete confrontare i vostri elaborati ecco qua il problema n°1
il suddetto compito è stato svolto personalmente da me, quindi non deriva da nessun sito...
per qualsiasi chiarimento non avete che da chiedere!
Procedo con una veloce analisi della funzione che a dire il vero è abbastanza semplice da studiare!
f(x)= 2x-3x^3
il dominio della funzione è chiaramente tutto l'insieme dei numeri reali dato che la funzione è un semplicissimo polinomio di terzo grado....
la prossima cosa che bisogna fare è vedere se la funzione è positiva o negativa f(-x)=3x^3-2x la funzione è chiaramente dispari il che indica che la funzione si ripeterà simetricamente ribaltata nel 3° e 4° quadrante.
La prossima cosa che si procede a fare e vedere i punti d'intersezione con gli assi.
Si mette la funzione y=2x-3x^3 con y=o
se ne deriva l'equazione 2x-3x^3=0 da cui x(2-3x^2)=0
procedendo con i calcoli ne viene x=0 per cui la funzione passerà per l'origine (questo fatto costituisce la consizione che poi successivamente ci permetterà di evitare di verificare il sistema con x=0)
l'altra equaione precedente è -3x^2+2=0 da cui si hanno due soluzioni e cioè x=+/- radical(2/3)
La funzione quindi passerà per l'origine e per +/- radical 2/3
La prossima cosa che si procede a fare è di verificare come la funzione si mantiene per y>0 e quindi studiare le sue positività
attraverso il sitema si troverà che la funzione si mantiene >0 e ancora assume valori compresi tra +/- radical(2/3)
attraverso un semplice schema rappresentativo dei segni se ne ricava che la funzione è positiva per ]-oo;-radical2/3] e [0; radical 2/3] negativa per [-radical 2/3;0[ e ]radical 2/3; +oo[
Se s'iniziano a tracciare questi parametri si potrà iniziare a capire qualcosa del grafico (io purtroppo non posso farlo su questo forum)
La prossima cosa che si deve fare è verificare se esistono asintoti orizzontali o altrimenti obliqui (verticali no perchè il dominio è tutto R)
facendo un semplice limite che tende a infinito (tenuto in considerazione solo il coefficiente di grado massimo) si scopre che la funzione continua a tendere a infinito e quindi asintoti orizzontali non esistono al limite solo obliqui....
adesso lo verifichiamo....
apllicando la semplice formula per calcolare il coefficiente angolare m dell'eventuale asintoto ne deriva (2x-3x^3)/x e anche in questo caso facendo le dovute semplificazioni nulla se ne deriva.... e neanche asintoti obliqui esistono... menomale
Adesso si procede a calcolare i punti stazionari calcolando la derivata prima che è 2-9x^2
per calcolare i punti stazionari bisogna prendere la funzione e porla = a 0
da cui 2-9x^2=0 e facendo i calcoli si ha +/-(radical2)/3
adesso però occorre vedere quali di questi punti stazionari sono i massimi o i minimi per la funzione e quindi bisogna riconsiderare la derivata prima ma porla maggiore di 0
quindi se ne deriva che 2-9x^2>0 allora x>-(radical2)/3 e x<(radical2)/3
il primo punto (-radical2 etc...) è chiaramente (attraverso il grafico dei segni) un punto di minimo relativo, il secondo punto è di massimo relativo!
L'analisi semplicistica della funzione però non finisce qui, bisogna analizzare la presenza dei flessi....
Ci dirigiamo quindi verso la derivata seconda dove ƒ''(x)=-18x
allora quindi ponendo la funzione =0 avremo che essa ha nel punto x=0 un flesso e per divertirci un pò vediamo anche dove sono rivolte le concavità della funzione....
ponendo -18x>0 avremo x<0 che indica che la funzione per X<0 rivolge la concavità verso l'alto e x>0 verso il basso!
allora passiamo al secondo quesito dove le cose non risultano essere ancora complesse....
come bisogna fare per calcolare l'area R delimitata dall'ordinata dalla funzione e da y=c
la cosa impiegava un leggero ragionamento...
bisognava tenere in considerazione i punti in cui s'incontava la retta con la funzione....
chiamiamo il primo punto a e il successivo b
la prima cosa da fare è quella di calcolare l'area di tutto il rettangolo di cordinate (a;c) (considerando c appunto la retta e cioè il punto in cui essa s'incontra con l'ordinata)
essendo l'area del rettangolo base per altezza ne abbiamo che essa è ac
poi a quest'area dobbiamo calcolare qulla sottesa dalla funzione sempre limitatamente al punto a e quindi bisogna fare l'integrale definito della funzione iniziale (2x-3x^3) dal punto 0 al punto a e quindi....
R= ac-integrale da 0 ad a di 2x-3x^3
da cui ac-[a^2-3/4a^4-0]
da cui ac-a^2+3/4a^4 e poi ordinando 3/4a^4-a^2+ac
ECCO CHE L?AREA DI R è CALCOLATA!!!!!!!!!!!!!!!!!
passiamo al calcolo dell'area che il problema chiama S
in questo caso dobbiamo tenere presente la sezione sottesa dalla funzione dal punto a a quello b
una volta calcolata quest'area poi gli va sottratta quella del rettangolino che si viene a formare sotto la cui area si calcola facendo [(b-a)c]
faccimo l'integrale da a a b della funzione 2x-3x^3 e poi gli sottraiamo [(b-a)c]
[(b^2-3/4b^4)-(a^2-3/4b^a)]-[(b-a)c]
da cui b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac
il gioco è fatto è stata calcolata anche l'area S
adesso non dobbiamo fare altro che uguagliarle per ottenere che siano uguali!
quindi R=S
da cui 3/4a^4-a^2+ac=b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac
effettuando le dovute semplificazioni ne abbiamo che....
3/4b^4-b^2+bc=0
l'equazione si è semplificata di molto...
c'è bisogno tuttavia di una condizione fondamentale per poter proseguire....
la condizione:
ƒ(a)=ƒ(b)=c
se quindi ƒ(b)=c allora riprendendo la funzione iniziale avremo 2b-3b^3=c
riprendendo la funzione che ci era venuto prima uguagliando le due aree
3/4b^4-b^2+bc=0
faccio il minimo comune multiplo e poi metto in evidenza la b ottenendo un'equazione di terzo grado (poi capirete perchè è meglio)
b(3b^3-4b+4c)=0
b=0 è impossibile (si può vedere anche dal grafico che avrete fatto)
quindi abbiamo soltanto da considerare 3b^3-4b+4c=0
allora adesso bisogna fare un sistema considerando la funzione travata precedentemente
e otteniamo
2b-3b^3-c=0
3b^3-4b+4c=0
riscrivo in forma più corretta in modo da poter procedere anche con la tecnica della somma ( e qui capiamo perchè prima avevo messo in evidenza):
-b^3+2b-c=0
3b^3-4b+4c=0
----------------------------- (applico il teorema della somma)
/////-2b+3c=0
da cui c=2/3b e da cui b=3/2c
sostituendo b nell'equazione 3b^3-4b+4c=0
otteniamo
-3(27/8c^3)+3c-c=0
da cui
-81/8c^3+2c=0
da cui mettendo c in evidenza
c(2-81/8c^2)=0
c=0 e impossibile (visibile anche dal grafico che avrete fatto)
quindi si considera solo 2-81/8c^2=0
da cui
c^2=2*8/81 ---------> c^2=16/81 -------> c=+/- 4/9
prendiamo in considerazione solo i valori positivi perchè lo studio viene fatto nel 1° quadrante quindi c=4/9
ECCO COME VOLEVASI DIMOSTRARE LA RETTA y=c DIVENTA y=4/9
il punto 3 è stato pienamente risolto!!!!!
allora ecco come calcolare i punti d'intersezione....
bisogna fare un sistema tra la funzione originaria
y=2x-3x^3
e la retta y=4/9
quindi ne otteniamo 2x-3x^3-4/9=0
da cui dopo aver fatto l'm.c.m e dopo aver messo un pò in ordine il tutto abbiamo:
27x^3-18x+4=0
alcuni hanno detto che la funzione non era risolvibile con ruffini (quindi si potevano solo ipotizzare le tre intersezioni visibili dall'equazione di 3° grado), io non mi sono arreso però e ho provato con alcuni numeri razionali fratti tra cui 2/3 e guarda caso dopo aver apllicato ruffini la funzione è così composta:
(27x^2+18x-6)(x-2/3)
quindi la prima soluzione è x=2/3
poi bisogna risolvere 27x^2+18x-6=0
semplifichiamo tutta l'equazione per 3
e otteniamo: 9x^2+6x-2=0
risolvendo abbiamo le seguenti soluzioni: [(-6+/-radical 108)/18]
a questo punto bisogna semplificare e tirare fuori da quella radice qualcosa....
quella che cmq c'interessa è solo la soluzione positiva in quanto ricordo stiamo lavorando nel 1° quadrante e il resto poco c'interessa
fatte le dovute semplificazioni ne otteniamo [(-1+/-radical3)/3]
ECCO TROVATE LE INTERSEZIONI
_________________________________________
prima di passare allo svolgimento del 4° e ultimo punto, vorrei ricordare che per una precisione grafica, nonchè di sviluppo del problema, precedentemente quando sono stati calcolati il massimo relativo e il minimo relativo, oltre a calcolare la loro locazione sull'asse delle ascisse, bisognava anche calcolare il corrispettivo sull'asse delle ordinate.... semplicemendo mettendo a sistema il valore di x nel massimo e nel minimo con la funzione iniziale!
calcolo solo il valore di y positivo, l'altro negativo sarà l'opposto...
svolgiamo il sistema
y=(radical2)/3
y=2x-3x^3
ne deriva che y=(2radical2)/3-(2radical2)/9
dopo aver fatto l'm.c.m.
abbiamo come risultato (4radical2)/9
passiamo al 4° e ultimo punto con cui vorrei concludere l'analisi
in questo caso bisogna ragionare sul grafico e disegnare il simmetrico di G rispetto alla retta y=4/9
la cosa importante da fare è capire quale relazione lega le due funzioni G e g....
bisogna tener conto delle regole di traslazione e poi graficamente si visualizza che appunto la funzione e simmetrica rispetto a y=4/9 e quindi sarà all'opposto di G e cioè a 2*4/9
...in definitiva, tenendo conto anche del resto dei punti la formula è 2*4/9-y che deve essere sostituita alla y della funzione originari y=2x-3x^3
quindi ne avremo che 8/9-y=2x-3x^3
da cui y=27x^3-18x+8
il problema è così definitivamente risolto....
esso è stato svolto da me questa mattina all'esame, non si tratta di una copia fasulla presa da internet, ma di un elaborato estremamente preciso....
se qualcuno ha dei dubbi o ho fatto degli errori di forma o di altro... siete pregati di avvertirmi...
per ciò che concerne i quesiti dico solo che ho optato per il 1°, il 4°, il 6°,7° e 9°
non li svogerò per questione di tempo, ma se qualcuno è realmente interessato, vedrò cosa si può fare
Saluti
Christian
il suddetto compito è stato svolto personalmente da me, quindi non deriva da nessun sito...
per qualsiasi chiarimento non avete che da chiedere!
Procedo con una veloce analisi della funzione che a dire il vero è abbastanza semplice da studiare!
f(x)= 2x-3x^3
il dominio della funzione è chiaramente tutto l'insieme dei numeri reali dato che la funzione è un semplicissimo polinomio di terzo grado....
la prossima cosa che bisogna fare è vedere se la funzione è positiva o negativa f(-x)=3x^3-2x la funzione è chiaramente dispari il che indica che la funzione si ripeterà simetricamente ribaltata nel 3° e 4° quadrante.
La prossima cosa che si procede a fare e vedere i punti d'intersezione con gli assi.
Si mette la funzione y=2x-3x^3 con y=o
se ne deriva l'equazione 2x-3x^3=0 da cui x(2-3x^2)=0
procedendo con i calcoli ne viene x=0 per cui la funzione passerà per l'origine (questo fatto costituisce la consizione che poi successivamente ci permetterà di evitare di verificare il sistema con x=0)
l'altra equaione precedente è -3x^2+2=0 da cui si hanno due soluzioni e cioè x=+/- radical(2/3)
La funzione quindi passerà per l'origine e per +/- radical 2/3
La prossima cosa che si procede a fare è di verificare come la funzione si mantiene per y>0 e quindi studiare le sue positività
attraverso il sitema si troverà che la funzione si mantiene >0 e ancora assume valori compresi tra +/- radical(2/3)
attraverso un semplice schema rappresentativo dei segni se ne ricava che la funzione è positiva per ]-oo;-radical2/3] e [0; radical 2/3] negativa per [-radical 2/3;0[ e ]radical 2/3; +oo[
Se s'iniziano a tracciare questi parametri si potrà iniziare a capire qualcosa del grafico (io purtroppo non posso farlo su questo forum)
La prossima cosa che si deve fare è verificare se esistono asintoti orizzontali o altrimenti obliqui (verticali no perchè il dominio è tutto R)
facendo un semplice limite che tende a infinito (tenuto in considerazione solo il coefficiente di grado massimo) si scopre che la funzione continua a tendere a infinito e quindi asintoti orizzontali non esistono al limite solo obliqui....
adesso lo verifichiamo....
apllicando la semplice formula per calcolare il coefficiente angolare m dell'eventuale asintoto ne deriva (2x-3x^3)/x e anche in questo caso facendo le dovute semplificazioni nulla se ne deriva.... e neanche asintoti obliqui esistono... menomale
Adesso si procede a calcolare i punti stazionari calcolando la derivata prima che è 2-9x^2
per calcolare i punti stazionari bisogna prendere la funzione e porla = a 0
da cui 2-9x^2=0 e facendo i calcoli si ha +/-(radical2)/3
adesso però occorre vedere quali di questi punti stazionari sono i massimi o i minimi per la funzione e quindi bisogna riconsiderare la derivata prima ma porla maggiore di 0
quindi se ne deriva che 2-9x^2>0 allora x>-(radical2)/3 e x<(radical2)/3
il primo punto (-radical2 etc...) è chiaramente (attraverso il grafico dei segni) un punto di minimo relativo, il secondo punto è di massimo relativo!
L'analisi semplicistica della funzione però non finisce qui, bisogna analizzare la presenza dei flessi....
Ci dirigiamo quindi verso la derivata seconda dove ƒ''(x)=-18x
allora quindi ponendo la funzione =0 avremo che essa ha nel punto x=0 un flesso e per divertirci un pò vediamo anche dove sono rivolte le concavità della funzione....
ponendo -18x>0 avremo x<0 che indica che la funzione per X<0 rivolge la concavità verso l'alto e x>0 verso il basso!
allora passiamo al secondo quesito dove le cose non risultano essere ancora complesse....
come bisogna fare per calcolare l'area R delimitata dall'ordinata dalla funzione e da y=c
la cosa impiegava un leggero ragionamento...
bisognava tenere in considerazione i punti in cui s'incontava la retta con la funzione....
chiamiamo il primo punto a e il successivo b
la prima cosa da fare è quella di calcolare l'area di tutto il rettangolo di cordinate (a;c) (considerando c appunto la retta e cioè il punto in cui essa s'incontra con l'ordinata)
essendo l'area del rettangolo base per altezza ne abbiamo che essa è ac
poi a quest'area dobbiamo calcolare qulla sottesa dalla funzione sempre limitatamente al punto a e quindi bisogna fare l'integrale definito della funzione iniziale (2x-3x^3) dal punto 0 al punto a e quindi....
R= ac-integrale da 0 ad a di 2x-3x^3
da cui ac-[a^2-3/4a^4-0]
da cui ac-a^2+3/4a^4 e poi ordinando 3/4a^4-a^2+ac
ECCO CHE L?AREA DI R è CALCOLATA!!!!!!!!!!!!!!!!!
passiamo al calcolo dell'area che il problema chiama S
in questo caso dobbiamo tenere presente la sezione sottesa dalla funzione dal punto a a quello b
una volta calcolata quest'area poi gli va sottratta quella del rettangolino che si viene a formare sotto la cui area si calcola facendo [(b-a)c]
faccimo l'integrale da a a b della funzione 2x-3x^3 e poi gli sottraiamo [(b-a)c]
[(b^2-3/4b^4)-(a^2-3/4b^a)]-[(b-a)c]
da cui b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac
il gioco è fatto è stata calcolata anche l'area S
adesso non dobbiamo fare altro che uguagliarle per ottenere che siano uguali!
quindi R=S
da cui 3/4a^4-a^2+ac=b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac
effettuando le dovute semplificazioni ne abbiamo che....
3/4b^4-b^2+bc=0
l'equazione si è semplificata di molto...
c'è bisogno tuttavia di una condizione fondamentale per poter proseguire....
la condizione:
ƒ(a)=ƒ(b)=c
se quindi ƒ(b)=c allora riprendendo la funzione iniziale avremo 2b-3b^3=c
riprendendo la funzione che ci era venuto prima uguagliando le due aree
3/4b^4-b^2+bc=0
faccio il minimo comune multiplo e poi metto in evidenza la b ottenendo un'equazione di terzo grado (poi capirete perchè è meglio)
b(3b^3-4b+4c)=0
b=0 è impossibile (si può vedere anche dal grafico che avrete fatto)
quindi abbiamo soltanto da considerare 3b^3-4b+4c=0
allora adesso bisogna fare un sistema considerando la funzione travata precedentemente
e otteniamo
2b-3b^3-c=0
3b^3-4b+4c=0
riscrivo in forma più corretta in modo da poter procedere anche con la tecnica della somma ( e qui capiamo perchè prima avevo messo in evidenza):
-b^3+2b-c=0
3b^3-4b+4c=0
----------------------------- (applico il teorema della somma)
/////-2b+3c=0
da cui c=2/3b e da cui b=3/2c
sostituendo b nell'equazione 3b^3-4b+4c=0
otteniamo
-3(27/8c^3)+3c-c=0
da cui
-81/8c^3+2c=0
da cui mettendo c in evidenza
c(2-81/8c^2)=0
c=0 e impossibile (visibile anche dal grafico che avrete fatto)
quindi si considera solo 2-81/8c^2=0
da cui
c^2=2*8/81 ---------> c^2=16/81 -------> c=+/- 4/9
prendiamo in considerazione solo i valori positivi perchè lo studio viene fatto nel 1° quadrante quindi c=4/9
ECCO COME VOLEVASI DIMOSTRARE LA RETTA y=c DIVENTA y=4/9
il punto 3 è stato pienamente risolto!!!!!
allora ecco come calcolare i punti d'intersezione....
bisogna fare un sistema tra la funzione originaria
y=2x-3x^3
e la retta y=4/9
quindi ne otteniamo 2x-3x^3-4/9=0
da cui dopo aver fatto l'm.c.m e dopo aver messo un pò in ordine il tutto abbiamo:
27x^3-18x+4=0
alcuni hanno detto che la funzione non era risolvibile con ruffini (quindi si potevano solo ipotizzare le tre intersezioni visibili dall'equazione di 3° grado), io non mi sono arreso però e ho provato con alcuni numeri razionali fratti tra cui 2/3 e guarda caso dopo aver apllicato ruffini la funzione è così composta:
(27x^2+18x-6)(x-2/3)
quindi la prima soluzione è x=2/3
poi bisogna risolvere 27x^2+18x-6=0
semplifichiamo tutta l'equazione per 3
e otteniamo: 9x^2+6x-2=0
risolvendo abbiamo le seguenti soluzioni: [(-6+/-radical 108)/18]
a questo punto bisogna semplificare e tirare fuori da quella radice qualcosa....
quella che cmq c'interessa è solo la soluzione positiva in quanto ricordo stiamo lavorando nel 1° quadrante e il resto poco c'interessa
fatte le dovute semplificazioni ne otteniamo [(-1+/-radical3)/3]
ECCO TROVATE LE INTERSEZIONI
_________________________________________
prima di passare allo svolgimento del 4° e ultimo punto, vorrei ricordare che per una precisione grafica, nonchè di sviluppo del problema, precedentemente quando sono stati calcolati il massimo relativo e il minimo relativo, oltre a calcolare la loro locazione sull'asse delle ascisse, bisognava anche calcolare il corrispettivo sull'asse delle ordinate.... semplicemendo mettendo a sistema il valore di x nel massimo e nel minimo con la funzione iniziale!
calcolo solo il valore di y positivo, l'altro negativo sarà l'opposto...
svolgiamo il sistema
y=(radical2)/3
y=2x-3x^3
ne deriva che y=(2radical2)/3-(2radical2)/9
dopo aver fatto l'm.c.m.
abbiamo come risultato (4radical2)/9
passiamo al 4° e ultimo punto con cui vorrei concludere l'analisi
in questo caso bisogna ragionare sul grafico e disegnare il simmetrico di G rispetto alla retta y=4/9
la cosa importante da fare è capire quale relazione lega le due funzioni G e g....
bisogna tener conto delle regole di traslazione e poi graficamente si visualizza che appunto la funzione e simmetrica rispetto a y=4/9 e quindi sarà all'opposto di G e cioè a 2*4/9
...in definitiva, tenendo conto anche del resto dei punti la formula è 2*4/9-y che deve essere sostituita alla y della funzione originari y=2x-3x^3
quindi ne avremo che 8/9-y=2x-3x^3
da cui y=27x^3-18x+8
il problema è così definitivamente risolto....
esso è stato svolto da me questa mattina all'esame, non si tratta di una copia fasulla presa da internet, ma di un elaborato estremamente preciso....
se qualcuno ha dei dubbi o ho fatto degli errori di forma o di altro... siete pregati di avvertirmi...
per ciò che concerne i quesiti dico solo che ho optato per il 1°, il 4°, il 6°,7° e 9°
non li svogerò per questione di tempo, ma se qualcuno è realmente interessato, vedrò cosa si può fare
Saluti
Christian