Analisi Infinitesimi

[DarkSiDE]

visto che ci sono tanti ing in giro, magari qlc è così clemente da darmi una mano e risolvere questo limite..

Dire se la seguente funzione è un infinitesimo in x=0:

(tan^3*sqrt(x)+sqrt(x^5))/( (e^x^2)-1+sqrt(sin(sqrt(x))) )

[motogpdesmo16]

risolvendo il limite per x-->0, ottieni appunto 0.

[Dr. Death]

mamma mia... :D

[ciriccio]

sì è 0, lo sai risolvere il limite?

tan^3(sqrt(x)) è asintotica a x^(3/2) (perchè sin(x) è asintotico a x) se x->0

e^(x^2)-1 è asintotico a x^2 perchè (a^x-1)/x con x->0 tende a ln(a).

quindi (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^(2) + x^(1/4)) essendo il numeratore asintotico a x^(3/2) e il denominatore asintotico a x^(1/4) tende a 0 in quanto x^(3/2-1/4)= x^(5/4) ->0

spero di non aver scritto cazzate per la troppa birra bevuta
:D

comunque che venga zero l'ho controllato in partenza;)

[RiccardoS]

scusate l'OT ma ... devo dirlo :D ... avevo letto come titolo del thread "anali infinitesimi" :sofico: :mbe:

[DarkSiDE]

Originariamente inviato da ciriccio
sì è 0, lo sai risolvere il limite?

tan^3(sqrt(x)) è asintotica a x^(3/2) (perchè sin(x) è asintotico a x) se x->0

e^(x^2)-1 è asintotico a x^2 perchè (a^x-1)/x con x->0 tende a ln(a).

quindi (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^(2) + x^(1/4)) essendo il numeratore asintotico a x^(3/2) e il denominatore asintotico a x^(1/4) tende a 0 in quanto x^(3/2-1/4)= x^(5/4) ->0

spero di non aver scritto cazzate per la troppa birra bevuta
:D

comunque che venga zero l'ho controllato in partenza;)
ovviamente che usciva 0 lo sapevo ;)
ma nn ho ben capito come l'hai risolto, ti sei calcolato l'ordine che sapevo già,ma nn dovrei dimostrare che è n infinitesimo con x-->0 e che quindi il limite tende a 0?

grazie :)

[ciriccio]

sì, ma forse non ti è chiaro il concetto di asintoticità:)
Il limite non è zero perchè sostituendo viene zero (infatti non viene zero me viene zero su zero che è una forma indeterminata;) )

ok, andiamo per gradi:

cominciamo da tan^3(sqrt(x)).

Tu sai che sin(x)/x ->1 se x->0 no?

Beh, tanx = sinx/cosx moltiplico e divido per x e ottengo:

(sinx/x) *(x/cosx) ok?

ora sinx/x è 1 per il limite notevole che ti ho ricordato no?

Quindi (sinx/x)*(x/cosx) -> 1*(x/cosx)->x no?

ok solo che qui abbiamo tan(sqrt(x)) che a sua volta è elevata al cubo e succede esattamente lo stesso solo che invece di x hai sqrt(x).-Potevi anche avere pippo e se pippo->0 allora era lo stesso:)

tan^3(sqrt(x)) per semplicità scomponilo in tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x)) e moltipcila e dividi per sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt (x).
Cosa ottieni?

I coseni dei denominatori non si considerano perchè son tutti 1 (in quanto tan(sqrt(x) = sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) e per x->0vien fuori che tan(sqrt(x))->sin(sqrt(x)) che come abbiam detto prima ->sqrt(x)).

Ma qui ne abbiamo tre quindi il prodotto dei tre limiti viene sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt(x)=x^(3/2).
Chiaro adesso?
Il secondo termine del numeratore è x^(5/2).

Al denominatore si tratta sempre di capire a cosa è asintotico il termine qualora "ricordi" un limite notevole.
Qui ci si ricorda che (a^x-1)/x->ln(a) se x->0 no?

Qui la x è x^2 (nel senso che ci deve essere un pippo ->0 e che sia x o x^2 non cambia nulla)

La a del limite è e nel nostro caso e viene che

(e^(x^2)-1) moltiplicato e diviso per quello che manca affinchè diventi un limite notevole (cioè x^2) diventa ((e^(x^2)-1)*(x^2)/(x^2) -> ln(e) *(x^2) = 1*(x^2) = x^2 no?

Ok quindi il primo termine del denominatore abbiamo visto che "è asintotico" cioè "tende" a x^2 (lo so che è sempre zero... ma questo serve per calcolare il limite in quanto è diverso dire che tende a zero invece che tende a x^2)

Infine il secondo termine del denominatore è sqrt(sin(sqrt(x))) e torniamo al primo caso in quanto sin(sqrt(x)) -> sqrt(x) e quindi sqrt(sqrt(x)) = (x^1/4).
ok?

Quindi alla fine rimane da calcolare il limite di (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^2) + x^(1/4)) ok?

Ok allora al numeratore x^(3/2) non è confrontabile con x^(5/2) perchè quest'ultimo è molto più piccolo del primo e quindi abbiamo un'asintoticità -> x^(3/2)

Al denominatore succede lo stesso per x^(1/4) rispetto a x^2 e quindi si arriva a calcolare lim x^(3/2) / x^(1/4) con x->0 che fa x^(5/4) ->0.

Anche questa volta spero di non aver sparato ... perchè per scrivere tutto ci ho messo così tanto tempo che mi rompe troppo rileggere :p

ciauz

p.s.

il teorema di de l'hopital è scomodo per via della mancanza di esponenti interi ma si poteva invece anche vedere così:

metti in evidenza al numeratore x^(3/2) e al denominatore x^(1/4) e viene (x^(3/2) * (1+x)) / (x^(1/4) * (1 + x^(7/4)) che viene x^(3^2 - 1/4) * ((1+x) / (1+x^7/4)) e quindi x^(5/4) * 1 che ->0 in quanto numeratore e denominatore del secondo fattore tendono a 1;)

[DarkSiDE]

ti ringrazio, stampo tutto e leggo con calma ;)