principio di indeterminazione

[CioKKoBaMBuZzo]

qulacuno mi saprebbe spiegare da quali basi è partito heisemberg per risalire al principio di indeterminazione? :D

avevo sentito a superquark che aveva fatto qualcosa con le matrici, tipo sostituito le orbite elettroniche degli atomi con delle matrici o qualcosa del genere...ma non riesco a ritrovare questa cosa su internet

[djtux]

http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg

[CioKKoBaMBuZzo]

ho già guardato su wikipedia...mi è sembrato di capire che la formulazione come teorema a partire dai postulati della meccanica quantistica sia posteriore alla sua enunciazione come principio...a me interessa più che altro sapere da che presupposti è partito e come ci è arrivato

[lowenz]

ho già guardato su wikipedia...mi è sembrato di capire che la formulazione come teorema a partire dai postulati della meccanica quantistica sia posteriore alla sua enunciazione come principio...a me interessa più che altro sapere da che presupposti è partito e come ci è arrivato
Esatto, "aggiustando" i postulati è deducibile come teorema.
La questione di fondo sta nel fatto che se misuri una grandezza fisica altre ti sfuggono, non per problemi di misura, ma per un limite intrinseco.

Lo stesso, tanto per fare un banale paragone che magari possa mostrarti un ambito più "semplice" dove c'è questo tipo di intrinseca indeterminazione, avviene con la risoluzione temporale/spettrale quando fai l'analisi di un segnale audio: o aumenti la risoluzione spettrale e perdi in quella temporale o viceversa, non c'è scampo.

[Lucrezio]

Occhio che è viceversa: la formulazione più moderna della meccanica quantistica (quella con le C* algebre e altra robaccia di cui so poco o niente, più niente che poco) parte dal principio di indeterminazione come unico postulato!

Comunque l'intuizione viene dal dualismo onda-particella: per descrivere un qualcosa di localizzato in modo ondulatorio è necessario usare la sovrapposizione di diverse onde a frequenza diversa... utilizzando la relazione di De Broglie e l'analisi di Fourier viene fuori il principio di indeterminazione :D

[Yakko]

Non si può misurare con precisione arbitraria due osservabili fisiche che fanno riferimento a operatori incompatibili come x o px (la posizione lungo x e il momento lungo x) poichè la loro incertezza è legata da delta.x*delta.px=h.tagliato/2.

[CioKKoBaMBuZzo]

Occhio che è viceversa: la formulazione più moderna della meccanica quantistica (quella con le C* algebre e altra robaccia di cui so poco o niente, più niente che poco) parte dal principio di indeterminazione come unico postulato!
ma wiki dice che:

"Nonostante fosse inizialmente stato formulato come principio, ed il nome sia rimasto tale, nella meccanica quantistica contemporanea si preferisce far discendere il principio di indeterminazione dai postulati. In questo senso il principio di indeterminazione è in realtà un teorema."


comunque il principio l'ho capito non ho bisogno di sapere cosa dice, ho bisogno di sapere come ci è arrivato

Comunque l'intuizione viene dal dualismo onda-particella: per descrivere un qualcosa di localizzato in modo ondulatorio è necessario usare la sovrapposizione di diverse onde a frequenza diversa... utilizzando la relazione di De Broglie e l'analisi di Fourier viene fuori il principio di indeterminazione
sai dirmi se c'è un sito in cui sono spiegati anche sommariamente questi vari passaggi e il loro significato?

[lowenz]

Comunque l'intuizione viene dal dualismo onda-particella: per descrivere un qualcosa di localizzato in modo ondulatorio è necessario usare la sovrapposizione di diverse onde a frequenza diversa... utilizzando la relazione di De Broglie e l'analisi di Fourier viene fuori il principio di indeterminazione :D
Quello che dicevo io :D

[Yakko]

sai dirmi se c'è un sito in cui sono spiegati anche sommariamente questi vari passaggi e il loro significato?

Ti interessano degli appunti di un corso di introduzione alla fisica quantistica?
http://www.cs.infn.it/appunti/appunti.pdf

[lowenz]

Ti interessano degli appunti di un corso di introduzione alla fisica quantistica?
http://www.cs.infn.it/appunti/appunti.pdf
Alla faccia :D

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Occhio che è viceversa: la formulazione più moderna della meccanica quantistica (quella con le C* algebre e altra robaccia di cui so poco o niente, più niente che poco) parte dal principio di indeterminazione come unico postulato!


Ti interessano degli appunti di un corso di introduzione alla fisica quantistica?
http://www.cs.infn.it/appunti/appunti.pdf

piu che l'introduzione ad un libro di quantistica prima dovresti fare un po di teoria dei gruppi e strutture algebriche.

Una mazzata... se vuoi ti passo un buon manuale su cui ho studiato anche io.

[stbarlet]

piu che l'introduzione ad un libro di quantistica prima dovresti fare un po di teoria dei gruppi e strutture algebriche.

Una mazzata... se vuoi ti passo un buon manuale su cui ho studiato anche io.

passalo anche a me :stordita:

[fsdfdsddijsdfsdfo]

passalo anche a me :stordita:

io ti consiglio questo che si trova in molte biblioteche scientifiche. Una pietra miliare.

http://www.amazon.com/Fields-Groups-Introduction-Abstract-Algebra/dp/0340544406

In italiano si trova poco perchè la materia ha meno di 50 anni (in italia si insegna da una ventina)... se vuoi le dispense della mia prof te le mando

[Yakko]

Alla faccia :D

Puoi dirlo forte, devo dare un'esame su sta roba...

[stbarlet]

io ti consiglio questo che si trova in molte biblioteche scientifiche. Una pietra miliare.

http://www.amazon.com/Fields-Groups-Introduction-Abstract-Algebra/dp/0340544406

In italiano si trova poco perchè la materia ha meno di 50 anni (in italia si insegna da una ventina)... se vuoi le dispense della mia prof te le mando




Se non ti disturba la cosa

[email protected]

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Se non ti disturba la cosa

[email protected]

ho fatto di meglio:

http://files-upload.com/311944/algebra1.pdf.html

Questa è la prima parte.

Se percaso desideri anche la seconda parte e temi d'esame (non svolti) hai due possibilità:
a) ti rivolgi alla fotocopisteria di piazzale gorini, a Milano
b) chiedi a me che te le scannerizzi, ma magari prima leggiti la prima parte.


Secondo me l'algebra (teoria dei gruppi, non lineare) è la parte piu bella della matematica.

[stbarlet]

ho fatto di meglio:

http://files-upload.com/311944/algebra1.pdf.html

Questa è la prima parte.

Se percaso desideri anche la seconda parte e temi d'esame (non svolti) hai due possibilità:
a) ti rivolgi alla fotocopisteria di piazzale gorini, a Milano
b) chiedi a me che te le scannerizzi, ma magari prima leggiti la prima parte.


Secondo me l'algebra (teoria dei gruppi, non lineare) è la parte piu bella della matematica.



Grazie, la leggo subito..

Passo dalla copisteria se mi vien voglia, tanto e` in centro. ;)

[Lucrezio]

ma wiki dice che:

"Nonostante fosse inizialmente stato formulato come principio, ed il nome sia rimasto tale, nella meccanica quantistica contemporanea si preferisce far discendere il principio di indeterminazione dai postulati. In questo senso il principio di indeterminazione è in realtà un teorema."


comunque il principio l'ho capito non ho bisogno di sapere cosa dice, ho bisogno di sapere come ci è arrivato


sai dirmi se c'è un sito in cui sono spiegati anche sommariamente questi vari passaggi e il loro significato?


Esistono diverse formulazioni della meccanica quantistica: quella assiomatica, che si basa sui postulati di Dirac - Von Neumann è una delle prime ad essere matematicamente curata; tuttavia nell'ultimo ventennio del novecento è stato dimostrato che il principio di indeterminazione implica la non commutatività dell'algebra degli osservabili e che a partire da questo e dalla struttura algebrica di tale oggetto (se non mi sbaglio dovrebbe essere una C* Algebra) si può ricavare completamente l'intera meccanica quantistica.
Come ho già detto non ne so di più!
Comunque a partire dai postulati è facile far vedere che indeterminazione e non commutatività sono equivalenti... se voleto questo pomeriggio ve lo faccio ;)

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Grazie, la leggo subito..

Passo dalla copisteria se mi vien voglia, tanto e` in centro. ;)

se hai qualche dubbio chiedi pure :)

[ChristinaAemiliana]

Se non ricordo male, CioKKoBaMBuZzo è alle prese con una tesina...se così è, credo che possa essere sufficiente illustrare questo:

Comunque l'intuizione viene dal dualismo onda-particella: per descrivere un qualcosa di localizzato in modo ondulatorio è necessario usare la sovrapposizione di diverse onde a frequenza diversa... utilizzando la relazione di De Broglie e l'analisi di Fourier viene fuori il principio di indeterminazione :D

Per altre vie si rischierebbe di mettere troppa carne al fuoco e di generare una grande confusione con l'introduzione di molti concetti nuovi. ;)


Comunque a partire dai postulati è facile far vedere che indeterminazione e non commutatività sono equivalenti... se voleto questo pomeriggio ve lo faccio ;)

Per uno che parte con le tue basi, sicuramente è facile dedurre quel risultato...:D

Prova pure a far vedere questa equivalenza in modo semplice e accessibile, ma conoscendoti ti raccomando di non esordire con qualcosa tipo "il minimo prodotto degli scarti quadratici medi relativi alle misura contemporanea di due osservabili A e B rappresentate da due operatori hermitiani che non commutano è determinato dal valor medio del commutatore di A e B nello stato psi che descrive il sistema su cui si effettua la misura, quindi consideriamo [A,B] o meglio i[A,B] in quanto essendo [A,B] antihermitiano allora i[A,B] è hermitiano e pertanto il suo valor medio è reale..." :stordita:

[Lucrezio]

Se non ricordo male, CioKKoBaMBuZzo è alle prese con una tesina...se così è, credo che possa essere sufficiente illustrare questo:



Per altre vie si rischierebbe di mettere troppa carne al fuoco e di generare una grande confusione con l'introduzione di molti concetti nuovi. ;)



Per uno che parte con le tue basi, sicuramente è facile dedurre quel risultato...:D

Prova pure a far vedere questa equivalenza in modo semplice e accessibile, ma conoscendoti ti raccomando di non esordire con qualcosa tipo "il minimo prodotto degli scarti quadratici medi relativi alle misura contemporanea di due osservabili A e B rappresentate da due operatori hermitiani che non commutano è determinato dal valor medio del commutatore di A e B nello stato psi che descrive il sistema su cui si effettua la misura, quindi consideriamo [A,B] o meglio i[A,B] in quanto essendo [A,B] antihermitiano allora i[A,B] è hermitiano e pertanto il suo valor medio è reale..." :stordita:


:asd:
Ho appena chiesto ad Alexzeta di scatenarsi :asd:
Mo vedi, lui si che fa paura :D

[ChristinaAemiliana]

:asd:
Ho appena chiesto ad Alexzeta di scatenarsi :asd:
Mo vedi, lui si che fa paura :D

Proprio quello che ci voleva...:asd: :sofico:

[Lucrezio]

Ciokkobambuzzo, hai pvt!

[CioKKoBaMBuZzo]

grazie a tutti ragazzi :D

anche se magari saranno cose troppo specialistiche per metterle nella tesina, è sempre bello vedere un pò di fisica fatta bene (e cercare strenuamente di capirla :asd: )

[lowenz]

grazie a tutti ragazzi :D

anche se magari saranno cose troppo specialistiche per metterle nella tesina, è sempre bello vedere un pò di fisica fatta bene (e cercare strenuamente di capirla :asd: )
In bocca al lupo intanto ;)

[Lucrezio]

In bocca al lupo intanto ;)

Quoto!
Se poi queste cose le vuoi vedere fatte davvero bene, ti consiglio di dare un'occhiata al Max Born - Fisica Atomica (che contiene una meravigliosa introduzione alla MQ) e, sempre a livello introduttivo ma con davvero tutte le idee del caso, prova a sfogliare le primissime pagine del Landau 3 (Meccanica quantistica - teoria non relativistica)... ovviamente sono entrambi libri universitari, in particolare il landau è estremamente difficile, quindi cerca di soffermarti sulla parte introduttiva e concettuale, lasciando stare le "formule" :D
Quelle più avanti ;)

[CioKKoBaMBuZzo]

gracias :D

ma dai tempi di born ad oggi non è cambiato niente nell'impostazione e interpretazione della mq? intendo dire, il libro che mi hai consigliato può ancora considerarsi "attuale" o per certi versi è superato?

[Lucrezio]

gracias :D

ma dai tempi di born ad oggi non è cambiato niente nell'impostazione e interpretazione della mq? intendo dire, il libro che mi hai consigliato può ancora considerarsi "attuale" o per certi versi è superato?

Decisamente superato, ma per iniziare va bene ;)
Se riuscissi a convincere alexzeta a scrivere qualcosa sulla nuova formulazione della mq...

[CioKKoBaMBuZzo]

anche se non c'entra direttamente col principio di indeterminazione:
non capisco quale sia la differenza tra la decoerenza quantistica e il collasso della funzione d'onda...mi paiono la stessa cosa...

[Lucrezio]

anche se non c'entra direttamente col principio di indeterminazione:
non capisco quale sia la differenza tra la decoerenza quantistica e il collasso della funzione d'onda...mi paiono la stessa cosa...

Wow!
In quinta superiore non sapevo nemmeno che esistessero queste cose!
Passo la parola a qualcuno che ne sa più di me... ho un certo feeling con la meccanica quantistica ma di scattering non so proprio nulla :stordita:

[Matrixbob]

Mi segno.

[lowenz]

anche se non c'entra direttamente col principio di indeterminazione:
non capisco quale sia la differenza tra la decoerenza quantistica e il collasso della funzione d'onda...mi paiono la stessa cosa...
Questione aperta, a quanto pare:

http://it.wikipedia.org/wiki/Collasso_della_funzione_d%27onda

In fisica, il collasso della funzione d'onda è uno dei due processi attraverso i quali un sistema quantistico si evolve apparentemente secondo le leggi della meccanica quantistica. Si dibatte ancora se il collasso della funzione d'onda sia di per sé un fenomeno fisico fondamentale o se si tratta di una conseguenza di un altro fenomeno, come la decoerenza quantistica.

Penso ci sia un errore, cioè "evolve apparentemente secondo le leggi della meccanica classica".

Il collasso io l'ho sempre collegato all'operazione di misura in particolare.

http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/collasso.html

Ogni sistema quantistico (se si trova in uno stato puro, ovvero quello di cui si possiede la massima informazione possibile) può essere descritto da una funzione d'onda, che contiene tutta l'informazione possibile su di esso. Una particella (supponiamola senza spin per semplicità) può per esempio essere descritta da una funzione y(r,t), a valori complessi, che in assenza di misure evolve - deterministicamente - secondo l'equazione di Schrödinger.

Il modulo quadro di y(r,t) rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in r. Cosa vuol dire? Vuol dire che se al tempo t=0 immaginiamo di effettuare N misure di posizione della particella in N situazioni identiche, la troveremo in un volumetto infinitesimo dV, centrato in r, un numero di volte proporzionale a |y(r,0)|2. Immediatamente dopo la misura noi sappiamo per certo che la particella si trova in dV, pertanto la sua y(r) è cambiata diventando quella che tecnicamente si chiama una "delta di Dirac" (grossolanamente: una funzione infinitamente stretta ed infinitamente alta). Questo mutamento viene chiamato "collasso" perché i valori possibili per la posizione si riducono drasticamente ed istantaneamente ad uno solo, e perché coinvolge tutta la y, non importa quanto estesa.

Il discorso di cui sopra vale, mutatis mutandis, per ogni osservabile, non solo per la posizione.

[CioKKoBaMBuZzo]

da wiki:
Il passaggio dal regime quantistico al regime classico avviene per un fenomeno noto come decoerenza quantistica.

questo passaggio non avviene nel momento della misura (come il collasso della funzione d'onda)? può avvenire anche in altri casi?

[lowenz]

da wiki:
Il passaggio dal regime quantistico al regime classico avviene per un fenomeno noto come decoerenza quantistica.

questo passaggio non avviene nel momento della misura (come il collasso della funzione d'onda)? può avvenire anche in altri casi?
Sì, può avvenire anche in altri casi:

http://it.wikipedia.org/wiki/Decoerenza_quantistica

Ad esempio un elettrone in un cristallo perfetto si comporterebbe come un'onda ma, in presenza di impurezze, subisce dello scattering. . Dato che, molto spesso, gli urti non conservano la fase la porzione di funzione d'onda prima e dopo l'evento di scattering non hanno più una relazione di fase definita e quindi l'interferenza fra le due non è più possibile e l'elettrone inizia a comportarsi come una particella classica.

Esattamente come indicava prima Lucrezio ;)

[CioKKoBaMBuZzo]

ma l'esito dei due fenomeni, a prescindere che la causa sia la misura o lo scattering, è lo stesso o c'è qualche differenza? perchè sembrerebbe che la decoerenza quantistica sia più generale rispetto al collasso della funzione d'onda

[lowenz]

perchè sembrerebbe che la decoerenza quantistica sia più generale rispetto al collasso della funzione d'onda
Appunto, sembra (tanto che si vorrebbe legare il collasso alla decoerenza come detto sopra), solo che la questione è ancora aperta.

Andata bene la seconda prova? :D

[CioKKoBaMBuZzo]

bene bene :D

il problema di analisi era facile (per quest'anno è andata meglio al pni rispetto al tradizionale), i quesiti erano particolari..uno soprattutto mi è piaciuto, su un solido avete come superficie di base l'area della regione di piano del primo quadrante sottesa dalla funzione ln(x) tra 1 ed e

[CioKKoBaMBuZzo]

ormai non serve più per la tesina, ma dato che ci siamo addentrati nei meandri nella fisica quantistica...

l'equazione di schroedinger ha al primo e secondo membro il segno di derivata parziale (almeno credo), prima e seconda.
premetto che non abbiamo mai fatto a sucola le derivate parziali, però so cosa sono intuitivamente.
ora, nell'equazione al primo membro appare una derivata parziale seconda: al denominatore appare il segno di differenziale parziale di x^2, ma al numeratore non c'è il differenziale parziale quadrato di pincopallo, c'è solo differenziale parziale quadrato...a quale variabile si riferisce quel differenziale?

così come al secondo membro: al denominatore differenziale parziale del tempo, al numeratore differenziale parziale e basta

(l'equazione l'ho presa di wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Schr%C3%B6dinger)

[Giusnico]

ormai non serve più per la tesina, ma dato che ci siamo addentrati nei meandri nella fisica quantistica...

l'equazione di schroedinger ha al primo e secondo membro il segno di derivata parziale (almeno credo), prima e seconda.
premetto che non abbiamo mai fatto a sucola le derivate parziali, però so cosa sono intuitivamente.
ora, nell'equazione al primo membro appare una derivata parziale seconda: al denominatore appare il segno di differenziale parziale di x^2, ma al numeratore non c'è il differenziale parziale quadrato di pincopallo, c'è solo differenziale parziale quadrato...a quale variabile si riferisce quel differenziale?

così come al secondo membro: al denominatore differenziale parziale del tempo, al numeratore differenziale parziale e basta

(l'equazione l'ho presa di wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Schr%C3%B6dinger)

Al primo membro c'è la derivata parziale rispetto al tempo della funzione d'onda, al secondo membro c'è l'operatore Laplaciano della funzione d'onda. L'operatore Laplaciano non è altro che la somma delle derivate parziali seconde rispetto a x, y e z.

[CioKKoBaMBuZzo]

ma perchè in wikipedia hanno messo quella forma? se è la derivata parziale della funzione d'onda, la funzione d'onda non dovrebbe stare "attaccata" al segno di differenziale parziale?

[ChristinaAemiliana]

No, si può scrivere anche così...lo si fa anche per evidenziare gli operatori.

[Giusnico]

ma perchè in wikipedia hanno messo quella forma? se è la derivata parziale della funzione d'onda, la funzione d'onda non dovrebbe stare "attaccata" al segno di differenziale parziale?

Perché i h tagliato derivata parziale rispetto al tempo è un operatore, in particolare è l'operatore energia, applicato alla funzione d'onda. In meccanica quantistica le grandezze fisiche osservabili sono descritte da operatori lineari e autoaggiunti. Quindi si tratta solo di una questione di formalismo. In parole povere è scritto in quel modo per fare vedere che è un operatore quantistico :)

[CioKKoBaMBuZzo]

ahhhh capito, grazie :D

[Lucrezio]

Perché i h tagliato derivata parziale rispetto al tempo è un operatore, in particolare è l'operatore energia, applicato alla funzione d'onda. In meccanica quantistica le grandezze fisiche osservabili sono descritte da operatori lineari e autoaggiunti. Quindi si tratta solo di una questione di formalismo. In parole povere è scritto in quel modo per fare vedere che è un operatore quantistico :)

:stordita: non è esattamente così... l'operatore Energia è comunque l'Hamiltoniano, ih tagliato d/dx è - nello schema di Schroedinger - il termine diffusivo dell'equazione, non è associato ad un osservabile fisico!
Però qui stiamo andando parecchio OT... se a qualcuno interessa l'evoluzione temporale mi faccia sapere :D

[CioKKoBaMBuZzo]

a me a me :D

magari si potrebbe cambiare il titolo del thread e chiamarlo meccanica quantistica o amenità del genere, così non andiamo OT :D

[Alexhwoc]

qulacuno mi saprebbe spiegare da quali basi è partito heisemberg per risalire al principio di indeterminazione? :D

avevo sentito a superquark che aveva fatto qualcosa con le matrici, tipo sostituito le orbite elettroniche degli atomi con delle matrici o qualcosa del genere...ma non riesco a ritrovare questa cosa su internet

Il principio di indeterminazione è quello che si applica quando non si riesce a complilare il 730 :D

[Lucrezio]

a me a me :D

magari si potrebbe cambiare il titolo del thread e chiamarlo meccanica quantistica o amenità del genere, così non andiamo OT :D

Domani, che oggi torno a casuccia!
Preparati perché sono un botto di conti :D

[Yakko]

:doh: Non sai cosa t'aspetta... :read:

[AleX_ZeTa]

Visto che mi è stato chiesto scrivo qualcosa... al massimo prendetevela con Lucrezio :p

A grandi linee: Heisenberg fece i primi passi verso una formulazione assiomatica della meccanica quantistica, oggi nota come Dirac-Von Neumann. Era un giovane studente quando il suo professore (credo fosse Bohr) gli diede una grande quantità di dati di spettroscopia atomica da studiare. Heisenberg notò che tali dati potevano essere raggruppati in matrici, ognuna connessa ad un determinato tipo di grandezza, e gli venne in mente che gli osservabili, anziché funzioni (reali o complesse), potessero essere operatori su un qualche spazio vettoriale. L'idea fu quindi quella di costruire una meccanica, ispirata al formalismo Hamiltoniano, nella quale gli osservabili fossero operatori.

Un cenno su cos'è il formalismo Hamiltoniano (o "canonico"): non voglio entrare nei dettagli, ci sono tanti bei libri che lo fanno meglio di come potrei (ad esempio il Goldstein, "Classical mechanics" oppure, se si vuole vedere bene la matematica che c'è dietro, l'Arnold, "Mathematical methods for classical mechanics" - attenzione, non raccomandato ai non "addetti ai lavori"). In ogni caso... in meccanica abbiamo le nostre variabili di posizione, chiamiamole "q" (intendo il vettore posizione); associate ad esse abbiamo le variabili date dalle quantità di moto, chiamiamole "p" (ancora, intendo il vettore quantità di moto)... questa idea si può estendere a variabili generiche: ad ogni variabile "canonica" q si può associare una "variabile coniugata" p, che avrà il ruolo della quantità di moto relativa a quella variabile: ad esempio, se q è un angolo, p sarà un momento angolare etc... Hamilton e Lagrange dimostrarono che tutta la meccanica classica si può formulare in termini di "variabili canoniche", e che l'evoluzione temporale è completamente determinata da una funzione delle variabili canoniche, chiamata Hamiltoniana (che, nella maggior parte dei casi, coincide con l'energia). Ad esempio per una particella in un potenziale V(q) l'Hamiltoniana, cioè l'energia, sarà
http://operaez.net/mimetex/H = {p^2\over 2m} + V(q)

Torniamo ora alla meccanica quantistica. La formulazione definitiva che derivò anche dal lavoro di Heisenberg, nota come Dirac-Von Neumann, fu la prima formulazione assiomatica della meccanica quantistica; per entrare nei dettagli sarebbe necessario che chi legge avesse determinate conoscenze di analisi funzionale che non sono per nulla scontate, quindi evito. In ogni caso provo, a grandi linee, a descrivere le idee che ne sono alla base. Una trattazione più completa si può trovare su libri come il Sakurai o il Dirac (in generale su un qualunque libro di meccanica quantistica).

Un dettaglio matematico devo però premetterlo: mi serve definire cos'è un'algebra... un'algebra è uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno (cioè è defninito un prodotto che da due vettori ne da un terzo) associativo e distributivo rispetto alla somma. Nota: in R^3 credo che tutti abbiano presente il prodotto vettoriale... bene, questo rende effettivamente R^3 un'algebra, ma è un caso, nel senso che non funziona in R^n per n diverso da 3, quindi non pensate al prodotto di un'algebra come ad un prodotto vettore, non è l'esempio migliore. Analogamente il prodotto scalare non rende R^n un'algebra (a parte che per n=1) perchè da due vettori restituisce uno scalare e non un vettore. Ora però che mi viene in mente mi serve anche definire cos'è un prodotto scalare :p Ok, un prodotto scalare è una funzione bilineare (cioè lineare in ognuna dei due argomenti) che da due vettori restituisce un numero (reale o complesso... in generale assumeremo complesso)... nel seguito, perchè quello che dico abbia senso, assumete che il prodotto scalare di un vettore con se stesso sia sempre >0 e sia uguale a 0 se e solo se il vettore è nullo.

Ok, sappiamo cos'è un'algebra, ora veniamo alla nostra meccanica quantistica. L'idea di Heisenber, Dirac e compagni fu quella di definire gli osservabili come gli elementi di un'algebra di operatori su uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare (più precisamente su uno spazio di Hilbert, ma non complichiamoci la vita). Mettiamoci per comodità in una sola dimensione: vogliamo quantizzare le nostre "variabili canoniche" q e p e quindi considereremo l'algebra da essi generata... lo spazio vettoriale sarà C^2 (C = campo complesso) dato che ogni vettore si scriverà come
http://operaez.net/mimetex/v = \alpha q + \beta p. Manca da definire il prodotto... L'idea, che in realtà è strettamente legata ad un risultato di meccanica classica (vedi parentesi di Poisson) fu quella di rendere non commutativa l'algebra degli osservabili, definendo il prodotto di q per p come

http://operaez.net/mimetex/[q,p] \equiv qp - pq = i\hbar con http://operaez.net/mimetex/\hbar la costante di Planck diviso due pigreco. Ora abbiamo i nostri osservabili... che saranno operatori su un qualche spazio di Hilbert! (cioè spazio vettoriale con prodotto scalare etc...) Beh, senza entrare nei dettagli, si possono definire come operatori sullo spazio delle funzioni il cui modulo quadro sia integrabile... e come operatori q diventa la moltiplicazione per x, p diventa http://operaez.net/mimetex/-i{d\over dx}. Ma questo non ci interessa più di tanto, dato che il principio di indeterminazione non dipende dalla scelta dello spazio di Hilbert (per chi può capire, dalla scelta della rappresentazione dell'algebra di Heisenberg)

Ora dobbiamo definire cos'è uno stato del sistema... beh si può definire (sto semplificando in modo indecente) come un vettore di quello spazio di Hilbert... la misura di un osservabile A su uno stato v viene allora definita come il prodotto scalare di v con Av. Indichiamo il prodotto scalare di v per w come http://operaez.net/mimetex/\langle v, w \rangle. Ora vogliamo dimostrare il nostro principio di indeterminazione... per chi sa un po' di statistica diciamo che interpretiamo i nostri osservabili come variabili aleatorie, e quindi l'errore sarà dato dalla deviazione standard: fissato uno stato http://operaez.net/mimetex/v la media di q e p sara
http://operaez.net/mimetex/q_0 = \langle v, qv \rangle
http://operaez.net/mimetex/p_0 = \langle v, pv \rangle
quindi le deviazioni standard saranno le radici delle medie di http://operaez.net/mimetex/(q - q_0)^2, (p - p_0)^2:
http://operaez.net/mimetex/\Delta q^2 = \langle v, (q - q_0)^2v \rangle
http://operaez.net/mimetex/\Delta p^2 = \langle v, (p - p_0)^2v \rangle
Se ora si fanno i conti, sfruttando la relazione http://operaez.net/mimetex/[q,p] = i\hbar e utilizzando la disuguaglianza triangolare si ottiene esattamente la disuguaglianza del principio di indeterminazione.

Riassumendo: l'assunzione fisica rilevante che distingue in modo fondamentale la meccanica classica dalla meccanica quantistica è che l'algebra degli osservabili NON è commutativa. Se stiamo descrivendo un sistema in termini delle variabili canoniche q e p allora questo si traduce nel principio di indeterminazione grazie alla relazione http://operaez.net/mimetex/[q,p] = i\hbar . Dal punto di vista formale è molto meglio prendere come assioma la non commutatività piuttosto che la disuguaglianza di Heisenberg, e quindi si può dire che il principio di indeterminazione si domostra a partire dagli assiomi, benché uno di essi, cioè la definizione del prodotto di q per p, sia in pratica equivalente ad esso.


Qualche commento finale su alcune cose che Lucrezio ha appena accennato: ha parlato di formulazione in termini di algebre C* etc... quello a cui si riferiva è l'ultima riformulazione della meccanica quantistica, di gran lunga la più soddisfacente finora trovata, sviluppata dalla fine degli anni sessanta ad oggi. Si fonda sul fatto che l'algebra degli osservabili debba avere particolari caratteristiche di regolarità (cioè che debbe essere una C* algebra, vedi wikipedia per la definizione o un libro serio, ad esempio i Rudin "Real and complex analysis" e "Functional analysis"). L'algebra di Heisenberg NON è una C* algebra; questo deriva direttamente dalle regole di commutazione... chi ha fatto un po' di meccanica quantistica saprà che q e p sono operatori non limitati, mentre una C* algebra (teorema di Gel'fand-Naimark, fidatevi :p) è sempre isomorfa ad un'algebra di operatori LIMITATI su uno spazio di Hilbert. Il vantaggio di tale formulazione è proprio quello di trattare solo con operatori limitati, il che semplifica enormemente le cose. Dobbiamo però sempre quantizzare le variabili canoniche: in generale si considerano i loro esponenziali http://operaez.net/mimetex/e^{i\alpha q}, e^{i\beta p} (che a chi ha fatto un po' di meccanica quantistica saranno ben noti, soprattutto il secondo che è l'operatore di traslazione della posizione... anche se definirli non è così banale come in genere fanno credere) che possono essere "rappresentati" (cioè esiste un omomorfismo dall'algebra degli osservabili ad un'algebra di operatori su uno spazio di Hilbert etc...) come operatori limitati. Tale formalismo ha un sacco di vantaggi, dato che permette di eliminare tutti quei problemi di stati con aspettazioni divergenti che compaiono mantenendo gli assiomi di Dirac-Von Neumann (ad esempio per i potenziali periodici o per gli stati gauge invarianti... ma più semplicemente anche per una particella libera), solo che si perde la capacità di "misurare" almeno una delle variabili canoniche, nel senso che il suo spettro non sarà più osservabile. Solo nel caso di stati localizzabili in posizione e momento (cioè descrivibili in termini di funzioni d'onda quadrato integrabili) si ritorna alla descrizione data dagli assiomi di Dirac-Von neumann, ma in generale la formulazione C* algebrica è di gran lunga preferibile (a mio parere anche come semplicità concettuale, benché si tiri dietro un po' di matematica in più). In ogni caso con questo formalismo il principio di indeterminazione diventa qualcosa di più generale, nel senso che nei casi "belli" si riottiene quello che tutti conosciamo, ma anche in presenza di qualche "singolarità" non si viola mai il fatto che posizione e momento NON possono essere simultaneamente misurabili con precisione arbitraria.
Se volete approfondire questi argomenti potete guardare (consiglio una buona preparazione di analisi funzionale) testi come il "Local fields" di Haag, oppure il "Operator algebras and quantum statistical mechanics" di Bratteli-Robinson. Avviso subito che NON sono testi di facile lettura e richiedono una buona preparazione matemarica (per intenderci: toeria degli operatori non limitati su spazi di Hilbert, algebre di Banach, algebre e gruppi di Lie, un po' di analisi complessa e quanto basta di analisi funzionale, cio+ tipo metà del "Functional Analysis")

[ho aggiunto quest'ultima parte sia perchè Lucrezio l'aveva accennata e poi perchè nei corsi e nei testi standard di meccanica quantistica non viene nemmeno accennata, mentre penso che sia interessante sapere che tutte quelle volte che si vedono vettori di stato periodici, non normalizzabili, normalizzati a delta, a scatola etc. vi sia invece una formalizzazione che non soffre di questi problemi e nella quale certi giochini un po' sporchi - Landua style diciamo - non sono assolutamente necessari. Certo, ci vuole un po' di matematica in più, ma che gusto c'è altrimenti? :p]

[Lucrezio]

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Doppio :fagiano:

[Lucrezio]

:mano:
Grande Alex!
Eccezionale come sempre ;)
Mi spiace solo che posti solo se ti costringo a farlo :D

[CioKKoBaMBuZzo]

non ci ho capito quasi niente ma è bellissimo :sbav:

alex studi/hai studiato fisica? l'anno prossimo inizio...credo a pavia...non vedo l'ora :D

[Lucrezio]

non ci ho capito quasi niente ma è bellissimo :sbav:

alex studi/hai studiato fisica? l'anno prossimo inizio...credo a pavia...non vedo l'ora :D

Alex è un maledetto normalista (di questi: www.sns.it ) e fa fisica, con pericolose inclinazioni verso la matematica :D
E' pure un ottimo bevitore :O

[lowenz]

Alex è un maledetto normalista (di questi: www.sns.it ) e fa fisica, con pericolose inclinazioni verso la matematica :D
E' pure un ottimo bevitore :O
Basta che non abbia pericolose inclinazioni alla Los Alamos :O :sofico: :D

P.S.: me ne accorgo solo ora.....Los (S)alamos.....ci si può fare una battuta :asd: