Aiuto per analisi matematica LA

[zephyr83]

Spero qualcuno riesca ad aiutarmi seriamente. Forse riesco a togliermi sto cavolo di esame (anche se poi c'è LB :muro: ). Ho passato lo scritto però nn ho fatto questi 3 esercizi e sicuramente uno lunedì all'orale me lo chiede (ma se nn l'ho fatto allo scritto un motivo ci sarà :mc: )
Voglio sapere come si risolvono, il procedimento, visto che il risultato già lo so.

1) f è una funzione di domino R a volori in R
http://utenti.lycos.it/Zii/ana1.jpg

f è concava in ]-inf,0] e convessa in [0,+inf[
Vorrei sapere come ci si arriva a questo risultato

2) http://utenti.lycos.it/Zii/ana2.jpg

La successione http://utenti.lycos.it/Zii/succ.jpg non è limitata
Sulle successioni proprio nn ho capito un cavolo!!

3) http://utenti.lycos.it/Zii/ana3.jpg

il risultato è 4/15 ma come si svolge? sul libro di analisi prova a spiegare come si svolgono integrali di questo tipo ma nn si capisce niente!!! :muro: Ho un prof del cavolo che ha scritto un libro incomprensibile che se lo vedesse una professoressa di italiano si metterebbe le mani nei capelli :doh:

Spero qualcuno abbia la voglia di darmi una mano! :(

[Frank1962]

se vuoi avere un risposta veloce, e forse anche più, posta su forum.matematicamente.it ;)

ps: io sinceramente non saprei da dove iniziare :(

[wanblee]

Spero qualcuno riesca ad aiutarmi seriamente.

1) f è una funzione di domino R a volori in R

f è concava in ]-inf,0] e convessa in [0,+inf[
Vorrei sapere come ci si arriva a questo risultato


Allora, io proverei così: come prima cosa noto che la funzione è continua (anzi, dopo aver fatto la prima derivata noterò che è almeno di classe C1), quindi voglio dimostrare che la derivata seconda è <0 per valori di x<0 e >0 per x>0.

Studio i due casi con x>0 e x<0.

1: x>0

Aiutandomi col teorema fondamentale del calcolo integrale (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale) trovo la derivata prima e seconda. f''(x)= 1-Exp(3x^2)(3x^2+1) -- a meno di errori di sbaglio--.
Ora mi chiedo: quand'è che f''(x)>0 ? Ricordando che x>0 vedo che f''(x)>0 per ogni x (qui vanno fatte alcune considerazioni sulla positività delle varie componenti della funzione).

2: x<0

Faccio un cambio di variabile per andare liscio e mando x-->-y, con y positiva.
La mia funzione diventa quindi: f(-y)=-y*(Int[-y,0]Exp(3t^2) dt).
Trovo f' e trovo f''=-2(Exp-(3y^2)(-1+3y^2)+1), che vedo che è <0 per ogni y>0 (e quindi per ogni x<0). Che era ciò che volevamo dimostrare.


2) La successione non è limitata


Qui risolvi l'integrale (che vale 2), e distingui i due casi con n pari ( (2^n)/n ) e n dispari ( -(2^n)/n ) e vedi che le due successioni divergono a +inf e a -inf rispettivamente. Quindi non c'è nessuna costante fissata che possa limitare la successione.


3) il risultato è 4/15 ma come si svolge?

Non ho fatto i conti...hai provato per parti a vedere se ti salta fuori qualcosa? Così ad occhio, integrando per parti due o tre volte dovrebbe venirti fuori qualcosa...

Occhio, non è detto che ti abbia dato le soluzioni correte, è da qualche anno che non tocco più questa roba quindi è possibilissimo che abbia sparato delle stupidaggini... :)

[++CERO++]

il 3) è una 'zzata

http://img373.imageshack.us/img373/9222/bubueq1.gif

guarda quì ;)
http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/eg1006/notes/node90.html

[zephyr83]

scusate ma il primo integrale come si svolge? io nn riesco a svolgerlo!!!
Il terzo effettivamente era una cazzata ci sn mille modi anche se sicuramente lui alla lavagna vorrà vedere il metodo che è ne libro (poco chiaro) che si può applicare anche a casi in cui gli esponenti sn ben maggiori di 2 e 3.
Per il secondo dovrei aver capito e avevo già fatto.
Il primo però nn riesco a svolgere l'integrale. Dopo quando è concava e convessa dovrei riuscire a farlo ma prima devo fare qual cavolo di integrale :muro:

[wanblee]

scusate ma il primo integrale come si svolge? io nn riesco a svolgerlo!!!

Beh effettivamente ci credo che non riesci a risolverlo l'integrale con i metodi classici...ma qui non ti serve risolvere l'integrale, ti basta derivarlo e per farlo usi il teorema fondamentale del calcolo.

Se ho una funzione definita come f(x)=Int[a,x] g(t)dt (con g continua) e voglio calcolare f'(x) avrò che f'(x)=g(x), il che mi permette di derivare la funzione senza dover risolvere l'integrale. E qui mi accorgo di aver sbagliato i conti perché mi portavo dietro una costante che non c'era...proverò a rifarli e ti dico.

[zephyr83]

Beh effettivamente ci credo che non riesci a risolverlo l'integrale con i metodi classici...ma qui non ti serve risolvere l'integrale, ti basta derivarlo e per farlo usi il teorema fondamentale del calcolo.

Se ho una funzione definita come f(x)=Int[a,x] g(t)dt (con g continua) e voglio calcolare f'(x) avrò che f'(x)=g(x), il che mi permette di derivare la funzione senza dover risolvere l'integrale. E qui mi accorgo di aver sbagliato i conti perché mi portavo dietro una costante che non c'era...proverò a rifarli e ti dico.
wow è vero mi hai aperto un mondo. Appena finiesce la moto gp vedo se riesco a farlo

[zephyr83]

Beh effettivamente ci credo che non riesci a risolverlo l'integrale con i metodi classici...ma qui non ti serve risolvere l'integrale, ti basta derivarlo e per farlo usi il teorema fondamentale del calcolo.

Se ho una funzione definita come f(x)=Int[a,x] g(t)dt (con g continua) e voglio calcolare f'(x) avrò che f'(x)=g(x), il che mi permette di derivare la funzione senza dover risolvere l'integrale. E qui mi accorgo di aver sbagliato i conti perché mi portavo dietro una costante che non c'era...proverò a rifarli e ti dico.
ancora una cosa.......e quel -x che moltiplica l'integrale? :stordita: nn posso considerare solo la derivata dentro l'integrale visto che quel -x moltiplica tutto.

[wanblee]

ancora una cosa.......e quel -x che moltiplica l'integrale? :stordita: nn posso considerare solo la derivata dentro l'integrale visto che quel -x moltiplica tutto.

E' la derivata di un prodotto di funzioni. f(x)=h(x)g(x). f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) e poi derivi di nuovo così ti sparisce l'ultimo integrale rimasto.

[zephyr83]

E' la derivata di un prodotto di funzioni. f(x)=h(x)g(x). f'(x)=h'(x)g(x)+h(x)g'(x) e poi derivi di nuovo così ti sparisce l'ultimo integrale rimasto.
ok scusa tanto ma dopo 150 teoremi imparati a memoria inizio a fondere. Quindi devo fare la derivata considerato l'integrale che mi sparisce del tutto derivando la seconda volta. Ok ho fatto e viene, spero però vada bene,
f''(x)=-e^(3x^2)*(2+6x^2) è corretto? a te prima era venuto un altro risultato.
Se nn ti è troppo disturbo mi faresti per bene tutto l'esercizio (compreso anche le considerazioni sull aconcavità e convessità) su un foglio e poi lo scansioneresti (oppure anche una foto cn il cellulare va bene) e la metteresti qui?? vorrei proprio sbagliare domani mattina. te ne sarei davvero grato. In ogni caso davvero grazie tantissimo, mi sei stato di grande aiuto :)

[wanblee]

ok scusa tanto ma dopo 150 teoremi imparati a memoria inizio a fondere. Quindi devo fare la derivata considerato l'integrale che mi sparisce del tutto derivando la seconda volta. Ok ho fatto e viene, spero però vada bene,
f''(x)=-e^(3x^2)*(2+6x^2) è corretto? a te prima era venuto un altro risultato.
Se nn ti è troppo disturbo mi faresti per bene tutto l'esercizio (compreso anche le considerazioni sull aconcavità e convessità) su un foglio e poi lo scansioneresti (oppure anche una foto cn il cellulare va bene) e la metteresti qui?? vorrei proprio sbagliare domani mattina. te ne sarei davvero grato. In ogni caso davvero grazie tantissimo, mi sei stato di grande aiuto :)

Si, anche a me viene così, mi sono accorto che mi ero tirato dietro delle costanti in più...:D

Mi rimane però un dubbio, infatti la f'' sembra essere sempre negativa mentre dovrebbe essere positiva in [0,+inf[ per essere convessa come richiesto...quindi prova a darci un'occhiata...magari c'è ancora qualcosa da sistemare.

Mi dispiace davvero, la scansione la farei volentieri credimi, ma purtroppo sto andando via (devo prendere il treno e sono già in ritardo...) e non potrò accedere a internet prima di domani, e se l'esame è proprio domani...mi servirebbe un po' di tempo per essere ragionevolmente sicuro di non dirti stupidaggini, ma in questo momento proprio non ce la faccio...sorry

In ogni caso, bocca al lupo ;)...e facci sapere com'è andata

[zephyr83]

Si, anche a me viene così, mi sono accorto che mi ero tirato dietro delle costanti in più...:D

Mi rimane però un dubbio, infatti la f'' sembra essere sempre negativa mentre dovrebbe essere positiva in [0,+inf[ per essere convessa come richiesto...quindi prova a darci un'occhiata...magari c'è ancora qualcosa da sistemare.

Mi dispiace davvero, la scansione la farei volentieri credimi, ma purtroppo sto andando via (devo prendere il treno e sono già in ritardo...) e non potrò accedere a internet prima di domani, e se l'esame è proprio domani...mi servirebbe un po' di tempo per essere ragionevolmente sicuro di non dirti stupidaggini, ma in questo momento proprio non ce la faccio...sorry

In ogni caso, bocca al lupo ;)...e facci sapere com'è andata
Crepi! Si l'esame è proprio domattina, grazie lo stesso, mi hai aiuto davvero tanto, più tardi ci do' un'occhiata e provo a chiedere aiuto magari anche in altri forum. Speriamo però mi chieda magari uno degli altri due esercizi che è meglio :D

[Ziosilvio]

Ma perché non postate nel thread in rilievo (http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1221191)?

[zephyr83]

Ma perché non postate nel thread in rilievo (http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1221191)?
nn l'avevo neanche notato :sofico: ora posto anche di la

[Ziosilvio]

EDIT: risposta spostata nel thread in rilievo.

[zephyr83]

Non è possibile: la funzione è evidentemente pari, e una funzione pari non può essere concava a sinistra dell'origine e convessa a destra a meno che non sia costante.

Deriva una volta:

http://operaez.net/mimetex/f'(x)=-\int_0^x\,e^{3t^2}\,dt-xe^{3x^2}

Deriva un'altra volta:

http://operaez.net/mimetex/f''(x)=-e^{3x^2}-e^{3x^2}-6x^2e^{3x^2}=-2(1+3x^2)e^{3x^2}

Tale derivata seconda è evidentemente ovunque negativa, quindi la funzione è concava in tutto IR.

Certo che no: l'integrale tra parentesi tonde vale 2...

L'integrando è il prodotto di una potenza del coseno, e una potenza dispari del seno.
Riscrivi:

http://operaez.net/mimetex/\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x

Poni s = cos(x) e integra per sostituzione.
1) anche a me il primo viene così, quindi dovrebbe aver sbagliato il professore?? speriamo così magari tira su un pochino il voto :stordita: spero però di nna ver sbagliato io a trascrivere l'esercizio
2) si quindi an=[(-1)^n*2^n]/n? (-2)^n/n giusto?
3) l'avevo risolto ma nel caso di un integrale del tipo sin^3(x)*cos^6(x) oppure sin^4(x)cos^7(x)? come avresti fatto?
Altra piccolissima cosa, col tuo metodo, ponendo s=cosx, poi dx come diventa?

[Ziosilvio]

Ci spostiamo nel thread ufficiale.