View Full Version : Equazioni di maxwell:16 incognite 16 equazioni?
Consideando che un vettore è formato da 3 elementi ed ogni elemento da 4 parti(x,y,z,t)
e considerando anche che le prime 2 equazioni di maxwell sono vettoriali e ci danno 6 equazioni scalari, mentre le altre 2 equazioni di maxwell sono scalari siamo ad otto quazioni, però dato che l'ultima deriva dalla prima ottengo 7 equazioni.
Come arrivo a 16 incognite e 16 equazioni?
per avere le altre incognite uso le relazioni costitutive, cioè considero il mezzo di propagazione, ma come arrivo a 16?
ciao
Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?
La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni
la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.
In totale 8 equazioni
Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?
La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni
la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.
In totale 8 equazioni
come prima cosa da aggiunere è che ci vogliono i mezzi di propagazone da considerare,che sono 9. non sono 8,ma 7 poichè una legge è ricavabile da un'altra .----> quindi per le equazioni ci siamo, ma per le incognite?
Lucrezio
04-07-2006, 11:49
Iniziamo a scrivere le equazioni (intanto nel vuoto!)
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4\pi \rho
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \cdot \vec{B} =0
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \times \vec{B} = -\frac{4\pi}{c}\vec{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Si tratta di 4 equazioni vettoriali (tutte e quattro! perché la 1 e la 3 dovrebbero essere scalari?); le incognite sono due funzioni, E(r,t) e B(r,t).
Quello che serve avere sono le condizioni al bordo: solo così la soluzione può essere unica (sotto certe ipotesi...).
Per esempio, nel caso elettrostatico che è il più semplice, è necessario conoscere il potenziale o la derivata normale del potenziale sul bordo del sistema per avere assicurata l'unicità. Quella che va risolta è l'equazione di poisson:
http://operaez.net/mimetex/\nabla^2 V(r) = -4\pi\rho(r)
Utilizzando un po' di identità vettoriali ed introducendo le funzioni di Green (non voglio dilungarmi perché si va un po' sul complicato... ma se vi interessa cerco di ricordarmi la dimostrazione! comunque la funzione di green è una funzione che descrive la geometria del sistema...):
http://operaez.net/mimetex/V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' + \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial V}{\partial \vec{n}} G(r,r') d^2r' - \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} V(r')d^2r'
Dove r' è la variabile di integrazione, l'integrale di volume è su tutto il dominio e gli integrali di superficie sono sulla superficie chiusa che delimita il dominio.
Le condizioni al bordo che si possono assegnare sono la derivata normale del potenziale su S (primo integrale di superficie) o il potenziale su S (secondo integrale di superficie.
Vanno adesso assegnate delle condizioni sulle funzioni di Green che permettano di lavorare con un'unica condizione al bordo (altrimenti il problema è sovradeterminato e quindi non ha soluzione).
Nel primo caso (problema di Von Neumann) si impone che la derivata normale della funzione di Green sulla superficie sia una costante:
http://operaez.net/mimetex/\frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} = -\frac{4\pi}{S} \Rightarrow V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' + \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial V}{\partial \vec{n}} G(r,r') d^2r' + \frac{1}{S} \oint_S V(r')d^2r'
Nel secondo caso (problema di Dirichlet) si pone G(r,r') = 0 sulla superficie, quindi:
http://operaez.net/mimetex/V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' - \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} V(r')d^2r'
In entrambi i casi la soluzione è univocamente determinata.
Bel casino...
Ciao Lucrezio, grazie della risposta, ma mi sorge un "quindi"? :confused:
ciao
pietro84
04-07-2006, 12:04
Iniziamo a scrivere le equazioni (intanto nel vuoto!)
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4\pi \rho
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \cdot \vec{B} =0
http://operaez.net/mimetex/\vec{\nabla} \times \vec{B} = -\frac{4\pi}{c}\vec{j} + \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Si tratta di 4 equazioni vettoriali (tutte e quattro! perché la 1 e la 3 dovrebbero essere scalari?); le incognite sono due funzioni, E(r,t) e B(r,t).
Quello che serve avere sono le condizioni al bordo: solo così la soluzione può essere unica (sotto certe ipotesi...).
Per esempio, nel caso elettrostatico che è il più semplice, è necessario conoscere il potenziale o la derivata normale del potenziale sul bordo del sistema per avere assicurata l'unicità. Quella che va risolta è l'equazione di poisson:
http://operaez.net/mimetex/\nabla^2 V(r) = -4\pi\rho(r)
Utilizzando un po' di identità vettoriali ed introducendo le funzioni di Green (non voglio dilungarmi perché si va un po' sul complicato... ma se vi interessa cerco di ricordarmi la dimostrazione! comunque la funzione di green è una funzione che descrive la geometria del sistema...):
http://operaez.net/mimetex/V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' + \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial V}{\partial \vec{n}} G(r,r') d^2r' - \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} V(r')d^2r'
Dove r' è la variabile di integrazione, l'integrale di volume è su tutto il dominio e gli integrali di superficie sono sulla superficie chiusa che delimita il dominio.
Le condizioni al bordo che si possono assegnare sono la derivata normale del potenziale su S (primo integrale di superficie) o il potenziale su S (secondo integrale di superficie.
Vanno adesso assegnate delle condizioni sulle funzioni di Green che permettano di lavorare con un'unica condizione al bordo (altrimenti il problema è sovradeterminato e quindi non ha soluzione).
Nel primo caso (problema di Von Neumann) si impone che la derivata normale della funzione di Green sulla superficie sia una costante:
http://operaez.net/mimetex/\frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} = -\frac{4\pi}{S} \Rightarrow V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' + \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial V}{\partial \vec{n}} G(r,r') d^2r' + \frac{1}{S} \oint_S V(r')d^2r'
Nel secondo caso (problema di Dirichlet) si pone G(r,r') = 0 sulla superficie, quindi:
http://operaez.net/mimetex/V(r)=\int \rho(r')G(r,r')d^3r' - \frac{1}{4\pi} \oint_S \frac{\partial G(r,r')}{\partial \vec{n}} V(r')d^2r'
In entrambi i casi la soluzione è univocamente determinata.
Bel casino...
il rotore di un vettore è un vettore, mentre la divergenza di un vettore è uno scalare.
perciò gtr84 dice che ci sono due equaz scalari e due vettoriali.
pietro84
04-07-2006, 12:12
Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?
La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni
la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.
In totale 8 equazioni
ci sono anche le relazioni costitutive, cioè le ralazioni che legano il campo
B al campo H e il campo D al campo E.
dipendono dal mezzo in cui il campo si propaga. bisognerebbe chiedere a un ing elettronico,non essendo la mia spec(sono informatico) io non ricordo bene :D . nel vuoto si ha B=m0*H e D=e0*E
ps: i fisici di solito usano solo i campi B e E, gli ingegneri elettronici fanno uso anche dei campi D e H perchè hanno a che fare anche con mezzi non omogenei e isotropi
ciao pietro ;)
ci siamo, ma per le incognite?
pietro84
04-07-2006, 12:25
ciao pietro ;)
ci siamo, ma per le incognite?
visto che ho fatto tempo fa l'esame di campi e non ho più ripreso questi concetti non ricordo bene quante sono le incognite nel caso più generale.
sei sicuro che sono 16?
queste sono equazioni funzionali e le funzioni che devi calcolare sono queste:
E(x,t)
E(y,t)
E(z,t)
B(x,t)
B(y,t)
B(z,t)
D(x,t)
D(y,t)
D(z,t)
H(x,t)
H(y,t)
H(z,t)
sono dodici le incognite mi sembra. però per essene sicuro dovrei rivedere gli appunti di campi e ora non ho tempo :D
Topomoto
04-07-2006, 13:51
visto che ho fatto tempo fa l'esame di campi e non ho più ripreso questi concetti non ricordo bene quante sono le incognite nel caso più generale.
sei sicuro che sono 16?
queste sono equazioni funzionali e le funzioni che devi calcolare sono queste:
E(x,t)
E(y,t)
E(z,t)
B(x,t)
B(y,t)
B(z,t)
D(x,t)
D(y,t)
D(z,t)
H(x,t)
H(y,t)
H(z,t)
sono dodici le incognite mi sembra. però per essene sicuro dovrei rivedere gli appunti di campi e ora non ho tempo :D
Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.
pietro84
04-07-2006, 13:59
Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.
quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...
se aggiungiamo lo scalare ro arriviamo a 16.......
quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...
se aggiungiamo lo scalare ro arriviamo a 16.......
questo che hai aggiunto dove le vedo le 3 incognite?xyz?quale è poi lo scalare?
Topomoto
04-07-2006, 14:26
questo che hai aggiunto dove le vedo le 3 incognite?xyz?quale è poi lo scalare?
C'è scritto qual'è lo scalare, "ro".
La prima daomanda sinceramente non la capisco :confused:
quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...
qui quali sono le incognite di J(x,y,z,t) ?
che scalare "rho"?cosa si intende per scalare "rho"? la densità?
Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.
e la densità di carica dove la lasciate?
Topomoto
04-07-2006, 15:21
e la densità di carica dove la lasciate?
Dove la lasci tu, visto che è stata già aggiunta :O
Dove la lasci tu, visto che è stata già aggiunta :O
poverina, se si chiama densità di carica, chiamatela come si merita :)
Comunque non vorrei dire bestialità ma mi pare che densità di carica e di corrente siano "dati" del problema, e non delle incognite.
Topomoto
04-07-2006, 15:32
Comunque non vorrei dire bestialità ma mi pare che densità di carica e di corrente siano "dati" del problema, e non delle incognite.
La densità di carica dovrebbe essere un dato del problema, mentre per la densità di corrente è un po' diverso (vado a memoria, alta possibilità di cazzate :D ) : è la somma di 2 contributi, uno dovuto al campo e l'altro ai generatori....e credo sia conosciuto solo quello relativo ai generatori :mbe:
pietro84
04-07-2006, 15:42
qui quali sono le incognite di J(x,y,z,t) ?
sono le proiezioni sui tre assi:
J(x,t)
J(y,t)
J(z,t)
pietro84
04-07-2006, 15:47
La densità di carica dovrebbe essere un dato del problema, mentre per la densità di corrente è un po' diverso (vado a memoria, alta possibilità di cazzate :D ) : è la somma di 2 contributi, uno dovuto al campo e l'altro ai generatori....e credo sia conosciuto solo quello relativo ai generatori :mbe:
andando a memoria mi pare che non sempre è un dato del problema... un dato può essere anche l'andamento della densità di corrente e il problema può richiedere il calcolo della densità di carica...
c'è anche la relazione di conservazione della carica se non ricordo male...
ps: il fatto dei due contributi me lo ricordo anche io...
Lucrezio
04-07-2006, 17:50
I campi D,E e B,H sono però legati fra loro da relazioni precise. In particolare:
http://operaez.net/mimetex/\vec{D} = \epsilon_{i,j}\vec{E}\\ \vec{B} = \mu_{i,j}\vec{H}
dove epsilon e mu sono tensori 3x3 (se il mezzo è isotropo si riducono a scalari).
Il problema dell'elettrodinamica sta nel trovare i campi (o i potenziali) date le sorgenti, quindi in generale rho e j sono date... le incognite sono i campi!
Chiaramente la densità di corrente e la densità di carica sono legate dall'equazione di continuità, che è però già implicita nella quarta equazione di Maxwell.
Le incognite, mi verrebbe da dire, sono quindi due funzioni: il potenziale V e il potenziale vettore A... per i quali esistono dei teoremi di unicità (tipo quello che ho postato prima). Una volta noti i potenziali in tutto lo spazio anche i campi sono automaticamente determinati.
ci sono anche le relazioni costitutive, cioè le ralazioni che legano il campo
B al campo H e il campo D al campo E.
dipendono dal mezzo in cui il campo si propaga. bisognerebbe chiedere a un ing elettronico,non essendo la mia spec(sono informatico) io non ricordo bene :D . nel vuoto si ha B=m0*H e D=e0*E
ps: i fisici di solito usano solo i campi B e E, gli ingegneri elettronici fanno uso anche dei campi D e H perchè hanno a che fare anche con mezzi non omogenei e isotropi
Si in effetti un campo EM non rende più isotropo il mezzo e
si creano fenomeni di polarizzazione e di magnetizzazzione
D = (epsilon0) E + P e H = B/(mu0) - M
sono altre 3 eq vettoriali..
ci sono anche le relazioni costitutive, cioè le ralazioni che legano il campo
B al campo H e il campo D al campo E.
dipendono dal mezzo in cui il campo si propaga. bisognerebbe chiedere a un ing elettronico,non essendo la mia spec(sono informatico) io non ricordo bene :D . nel vuoto si ha B=m0*H e D=e0*E
a queste 2 si aggiunge sicuramente Ji(r,t)=0 poichè nel vuoto non ho cariche libere. con la i sto ad indicare indotto.
mentre nel mezzo: B=m0*mr*H e D=e0*eR*E e J=delta*e dove e è campo elettrico, e delta è la conducibiltà del mezzo
ps: i fisici di solito usano solo i campi B e E, gli ingegneri elettronici fanno uso anche dei campi D e H perchè hanno a che fare anche con mezzi non omogenei e isotropi
ma perchè ci devono complicare sempre la vita :muro: :muro: :muro:
Lucrezio
05-07-2006, 11:12
Comunque se la cosa vi consola io ho l'esame di elettrodinamica e ottica domani...
vi posto un esercizio, così potete piangere per me...
"In prima approssimazione la ionosfera può essere considerata come un plasma la cui densità di elettroni cresce linearmente con l'altezza del suolo. Si osserva che un'onda radio inviata da terra impiega un tempo t a tornare proporzionale al quadrato della sua frequenza.
1) Dare una spiegazione di questo fenomeno
2) Calcolare per quale lunghezza d'onda si ha riflessione totale in un plasma con densità elettronica uniforme di 10^4/cm^3"
:cry:
Oppure:
"Spiegare il fenomeno della birifrangenza"
Oppure:
Un cilindro conduttore (conducibilità sigma0) infinito viene percorso da una densità di corrente j parallela al suo asse. Al centro del cilindro (radialmente, in una posizione arbitraria lungo l'asse) è presente una sfera di materiale caratterizzato da conducibilità sigma1. Calcolare la densità di corrente che attraversa la sfera in condizioni stazionarie.
A me viene voglia di piangere...
ChristinaAemiliana
05-07-2006, 16:14
Niente male il primo...:D
pietro84
07-07-2006, 18:13
ma perchè ci devono complicare sempre la vita :muro: :muro: :muro:
no così se la semplificano molto invece :D
tra colleghi(ne conosco un paio :asd: ) e professori elettronici non ho mai visto nessun ingegnere bravissimo in elettromagnetismo che si diverta a fare conti :D
anzi il compito dell'ingegnere è proprio quello di inventarsi strumenti che permettono semplificare il più possibile il problema.
no così se la semplificano molto invece :D
tra colleghi(ne conosco un paio :asd: ) e professori elettronici non ho mai visto nessun ingegnere bravissimo in elettromagnetismo che si diverta a fare conti :D
anzi il compito dell'ingegnere è proprio quello di inventarsi strumenti che permettono semplificare il più possibile il problema.
si ma infatti per spiegare queste cose se ne vengono con i foglietti e fogliettini, e oi all'esame noi dovremo sapere tutto a memoria o quasi...
Questo delle incognite e delle equazioni non è nulla, verso la fine del corso si trattano le guide d'onda, una cosa inimmaginabile da imparare :muro: Speriamo....
Topomoto
08-07-2006, 10:02
si ma infatti per spiegare queste cose se ne vengono con i foglietti e fogliettini, e oi all'esame noi dovremo sapere tutto a memoria o quasi...
Questo delle incognite e delle equazioni non è nulla, verso la fine del corso si trattano le guide d'onda, una cosa inimmaginabile da imparare :muro: Speriamo....
Ma sai, son tutte dimostrazioni che non è necessario sapere a memoria.....al di fuori dell'esame :D
Sulla propagazione guidata effettivamente c'è da "lavorare" parecchio, ma sono tutti passaggi abbastanza meccanici, non mi pare ci fosse niente di particolarmente complesso.
Lucrezio
08-07-2006, 10:08
Ma sai, son tutte dimostrazioni che non è necessario sapere a memoria.....al di fuori dell'esame :D
Sulla propagazione guidata effettivamente c'è da "lavorare" parecchio, ma sono tutti passaggi abbastanza meccanici, non mi pare ci fosse niente di particolarmente complesso.
Vero!
Tendenzialmente basta avere un po' la mano su divergenze e rotori... si impone che i campi rispettino le equazioni di Maxwell e si guarda la soluzione!
Ben peggio è la propagazione della luce nei materiali... che non sono tutti isotropi e che non sono tutti trasparenti e non dispersivi :cry:
pietro84
08-07-2006, 10:58
si ma infatti per spiegare queste cose se ne vengono con i foglietti e fogliettini, e oi all'esame noi dovremo sapere tutto a memoria o quasi...
Questo delle incognite e delle equazioni non è nulla, verso la fine del corso si trattano le guide d'onda, una cosa inimmaginabile da imparare :muro: Speriamo....
ne so qualcosa... ho ripetuto ben tre volte lo scritto sulle guide d'onde e sugli adattamenti della guida al carico(calcolare quelle caxxo di lunghezze ottime mi faceva impazzire :muro: )
non tanto per i concetti ma per i calcoli lunghi che bisogna fare :D
ps: comunque dire inimmaginabile è esagerato :D
se fai tantissimi esercizi, come feci io al terzo tentativo, l'esame lo superi.
ne so qualcosa... ho ripetuto ben tre volte lo scritto sulle guide d'onde e sugli adattamenti della guida al carico(calcolare quelle caxxo di lunghezze ottime mi faceva impazzire :muro: )
non tanto per i concetti ma per i calcoli lunghi che bisogna fare :D
ps: comunque dire inimmaginabile è esagerato :D
se fai tantissimi esercizi, come feci io al terzo tentativo, l'esame lo superi.
be per lo scritto se si attiene ai casi che lui ha spiegato in classe ci siamo, solo che da agli esami ciò che non ha mai affrontato e li che inciampo
Vero!
Tendenzialmente basta avere un po' la mano su divergenze e rotori... si impone che i campi rispettino le equazioni di Maxwell e si guarda la soluzione!
be oggi mi sono sembrati stranamenti + semplici, ma soprattutto razionale. Bello :D
vBulletin® v3.6.4, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd.