combinazione lineare

[misterx]

per combinazione lineare, si intende semplicemente uno scalare s per un vettore v più altro scalare s per altro vettore v ?

esempio

A = s1*V1 + s2*V2 * ........

ma che significava ? :stordita:


http://www.crema.unimi.it/didattica/matedisc/Vettori1_6.html

[*nicola*]

per combinazione lineare, si intende semplicemente uno scalare s per un vettore v più altro scalare s per altro vettore v ?

esempio
A = s1*V1 + s2*V2 * ........
ma che significava ? :stordita:
http://www.crema.unimi.it/didattica/matedisc/Vettori1_6.html
E' quasi come hai detto tu, solo che i vettori moltiplicati per uno scalare non li devi sommare alla fine ma ottieni un'altro gruppo ordinato di componenti.
In pratica hai N vettori di uno spazio vettoriale V http://operaez.net/mimetex/V = (v_1 ,v_2 ,v_3 ,...,v_N ) e una n-upla di scalari (un insieme ordinato di numeri) http://operaez.net/mimetex/A = (a_1 ,a_2 ,a_3 ,...,a_N ). La combinazione lineare di questo spazio vettoriale (che si indica con SPAN) è
http://operaez.net/mimetex/span(V ) = (a_1 v_1 ,a_2 v_2 ,a_3 v_3 ,...,a_N v_N )

[misterx]

quindi di sicuro è una proprietà importante

sbaglio o si poteva fare il medesimo conto con le matrici ?

se avevi il det = 0 linearmente indipendenti, se det != 0 indipendenti o viceversa


edit: non è il determinante a stabilirlo ma il rango della matrice

[*nicola*]

La combinazione lineare è un concetto base dell'algebra lineare sì e si può fare anche con le matrici essendo formate dall'unione di più vettori (che sono le colonne o le righe).
Sinceramente la dipendenza/indipendenza lineare con il determinante non la ho mai vista (ma questo non vuol certo dire che sia sbagliata o non esista), io per provare l'indipendenza lineare ho sempre usato il teorema secondo il quale dei vettori sono linearmente indipendenti se e solo se la somma delle componenti del vettore span combinazione lineare è = 0 sse gli scalari della n-upla per i quali li hai moltiplicati è il vettore nullo (mi sembra, sono passati alcuni mesi dall'esame di geometria).
Prova a vedere se in biblioteca trovi il libro "100 pagine di algebra lineare" di Greco (e altri autori che non ricordo) è spiegato tutto in poche pagine e abbastanza semplicemente senza cose strane e troppo teoriche.

[pietro84]

quindi di sicuro è una proprietà importante

sbaglio o si poteva fare il medesimo conto con le matrici ?

se avevi il det = 0 linearmente indipendenti, se det != 0 indipendenti o viceversa

probabilmente la proprietà che ricordi tu riguarda i sistemi lineari di equazioni.
se det(A)=0, dove A è la matrice è associata al sistema, ci sono delle equazioni che dipendono linearmente da altre.

[misterx]

uhm.....

se io prendo due vettori

A(1,2)
B(2,5)

posso tracciare graficamente la risultante, giusto ?

Ma il prof a lezione ha detto, se non ho capito male, che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei due vettori A e B: ho capito male ?

[shake]

DEf di combinazione lineare: Sia dato uno spazio vettoriale V su un qualunque campo K, Sia dato un insieme di vettori generatori di V {v,u,..,w}. una loro combinazione lineare è un'espressione del tipo av+bu+...+cw,
quindi posso dire che il vettore x è combinazione lineare del sistema di generatori di prima se x=av+bu+...+cw dove a,b,c prendono il nome di coefficienti della combinazione lineare o pesi (linguaggio da fisici se non erro).
Poi partendo dal fatto che un vettore è linearmente indipendente se è diverso dal vettore nullo, si arriva a che due vettori sono fra loro indipendenti se la loro unica combinazione lineare nulla è quella banale, cioè se l'equazione au+bw=0 ammette come unica soluzione a=b=0
Scusa se ti correggo Nicola, ma penso che hai fatto un errore sulla storia dello span (anche se è + probabile che usiamo diciture diverse :)).
Lo Span(u,v,...w) = {av+bu+...+cw : al variare degli scalari in R} insomma l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari.

Per la storia del rango penso funzioni, anche se anche io per l'indipendenza risolvevo la combinazione lineare nulla, ma d'altronde se li metti per riga o colonna e ad occhio o con Gauss trovi quelli dipendenti poco cambia.

ps l'ho fatto 2 giorni fa Geometria 1 :D

[shake]

uhm.....

se io prendo due vettori

A(1,2)
B(2,5)

posso tracciare graficamente la risultante, giusto ?

Ma il prof a lezione ha detto, se non ho capito male, che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei due vettori A e B: ho capito male ?
Semplicemente ti prendi un riferimento ortonormale (O,i,j,k), disegni il primo vettore ottenendo così un segmento orientato OP, disegni ora il secondo vettore partendo dal punto P, ottenendo cosi il segmento orientato PX, semplicemente la tua risultante è il segmento orientato OX che rappresenta il vettore A+B applicato al punto O.

Se può esserti utile qui ci sono degli appunti del mio professore di geometria http://www.mat.uniroma2.it/~ghione/Testi/Geo1/Indice.html

[misterx]

Semplicemente ti prendi un riferimento ortonormale (O,i,j,k), disegni il primo vettore ottenendo così un segmento orientato OP, disegni ora il secondo vettore partendo dal punto P, ottenendo cosi il segmento orientato PX, semplicemente la tua risultante è il segmento orientato OX che rappresenta il vettore A+B applicato al punto O.


quello è chiaro, ma posso dire che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei vettori A e B ?

[shake]

quello è chiaro, ma posso dire che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei vettori A e B ?
Beh se la tua risultante è ugale a (3,7) certo perchè è combinazione lineare di A,B usando a=b=1.

[misterx]

Beh se la tua risultante è ugale a (3,7) certo perchè è combinazione lineare di A,B usando a=b=1.


con la regola del parallelogramma viene sì un vettore C(3,7)


a questo punto ed in questo caso specifico, ha senso parlare di dipendenza/indipendenza dei 3 vettori ?

[pietro84]

con la regola del parallelogramma viene sì un vettore C(3,7)


a questo punto ed in questo caso specifico, ha senso parlare di dipendenza/indipendenza dei 3 vettori ?

è semplice. un vettore v è dipendente (linearmente) da altri vettori v1,v2....vn
se può essere ottenuto mediante combinazione lineare di v1...vn.
quindi se hai un vettore (3,7) ed un insieme di due vettori B={(1,0),(0,1)}
(3,7) è dipendente dai due vettori dell'insieme B perchè:
(3,7)=3(1,0)+7(0,1)

[misterx]

è semplice. un vettore v è dipendente (linearmente) da altri vettori v1,v2....vn
se può essere ottenuto mediante combinazione lineare di v1...vn.
quindi se hai un vettore (3,7) ed un insieme di due vettori B={(1,0),(0,1)}
(3,7) è dipendente dai due vettori dell'insieme B perchè:
(3,7)=3(1,0)+7(0,1)


ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?

[pietro84]

ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?

se un vettore può essere ottenuto come comb lineare da altri vettori si dice dipendente, altrimenti si dice indipendente.

nell'esempio di sopra (3,7) era dipendente da (1,0) (0,1) perchè ottenuto come comb lineare di quei due vettori.

(0,4) è dipendente dai vettori di S={(1,0) (4,0)}?
no perchè se facciamo la combinazione lineare otteniamo:

(0,4)=c1(1,0)+c2(4,0)
per nessun valore di c1 e c2 possiamo ottenere (0,4) quindi il vettore (0,4) è indipendente da (1,0) e (4,0)

[shake]

ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?
partiamo da un vettore: il vettore u è linearmente indipendente se è diverso dal vettore nullo 0. cio+ se au=0 se e solo se a=0
perchè pe come è definito il vettore nullo (vettore con mudulo 0) e per come è definito il prodotto di un vettore per uno scalare (vettore v per scalare a uguale a vettore av che è un vettore multiplo di v che ha stesso verso di v se a è positivo, verso inverso se a è negativo, stessa direzione di v e modulo uguale al valore assoluto di a per il modulo di v) hai che deve essere per forza a =0 essendo v diverso dal vettore nullo per ipotesi.

2 vettori:
dico che v dipende linearmente da u se posso scriver v=au appunto se v è combinazione lineare di u. Il che mi porta al concetto di indipendenza lineare fra 2 vettori e dico che:
due vettori sono linearmente indipendenti se la loro unica combinazione lineare nulla è quella banale cioè se scrivo au+bv=0 che è una combinazione lineare nulla, deve essere a=b=0 poichè (come nel caso con un vettore ) u e v sono diversi dal vettore nullo e quindi per azzerarmi quell'equazione devono essere i pesi a,b ad essere 0; altrimenti sfruttando le proprietà della somma fra vettori e del prodotto di un vettore per uno scalare facendo vari passaggi se a e b non fossero 0 potrei arrivare ad una scrittura del tipo v= (-a/b)u

esattamente come dice pietro per vedere se un vettore C dipende linearmente da A e B ti risolvi il sistema che ha come incognite i coefficienti della combinazione fra c1A+c2B=C (quindi c1 e c2), come coefficienti delle equazioni le componenti dei vettori A, B; e come termini noti i componenti di C.
Se il sistema è compatibile bene C è combinazione linbeare di A e B e le soluzioni del sistema sono i coefficienti c1 e c2, se è incompatibile alloa C non dipende linearmente da A e B

[misterx]

se un vettore può essere ottenuto come comb lineare da altri vettori si dice dipendente, altrimenti si dice indipendente.

nell'esempio di sopra (3,7) era dipendente da (1,0) (0,1) perchè ottenuto come comb lineare di quei due vettori.

(0,4) è dipendente dai vettori di S={(1,0) (4,0)}?
no perchè se facciamo la combinazione lineare otteniamo:

(0,4)=c1(1,0)+c2(4,0)
per nessun valore di c1 e c2 possiamo ottenere (0,4) quindi il vettore (0,4) è indipendente da (1,0) e (4,0)


ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante

[pietro84]

ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante

proprio per definizione di dipendenza e combinazione lineare il vettore risultante dipende da entrambi i vettori addendi.

[shake]

ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante
certamente che può succedere se tu consideri sempre che il vettore C è uguale ad aA+bB può succedere benissimo che C sia guale ad 2A +0B per esempio se A=(2,3) B=(5,0) abbiamo che 2A+0B è uguale al vettore C=(4,6), e anche se a conti fatti dipende solo da A non puoi dire semplicemente C=2A perchè in genere si parla di insieme di generatori e non puoi omettere così facilmente lil coefficiente 0 di B, soprattutto quando userai i coefficienti di combinazioni lineari per comporre matrici.

[pietro84]

certamente che può succedere se tu consideri sempre che il vettore C è uguale ad aA+bB può succedere benissimo che C sia guale ad 2A +0B per esempio se A=(2,3) B=(5,0) abbiamo che 2A+0B è uguale al vettore C=(4,6), e anche se a conti fatti dipende solo da A non puoi dire semplicemente C=2A perchè in genere si parla di insieme di generatori e non puoi omettere così facilmente lil coefficiente 0 di B, soprattutto quando userai i coefficienti di combinazioni lineari per comporre matrici.

sta ragionando nell'ambito della fisica.
se sommi due forze la risultante dipende sempre dai vettori sommati, in parole povere non puoi mettere 0 come coefficiente :D

ps: inoltre se C=c1A+c2B
con c2=0 C dipende comunque dalla coppia di vettori {A,B}

[shake]

sta ragionando nell'ambito della fisica.
se sommi due forze la risultante dipende sempre dai vettori sommati, in parole povere non puoi mettere 0 come coefficiente :D
sorry
ho studiato i vettori e spazi geometrici come mondi a sè stanti, non ci interessava molto che tipo di elementi erano, quanto se erano o meno vettori e cosa facevano nel loro mondo.
Grandiosa la definizione degli spazi vettoriali:
Uno spazio vettoriale è un insieme, i cui elementi sono detti vettori (della cui natura poco sappiamo ), etc etc :D

[misterx]

certamente che può succedere se tu consideri sempre che il vettore C è uguale ad aA+bB può succedere benissimo che C sia guale ad 2A +0B per esempio se A=(2,3) B=(5,0) abbiamo che 2A+0B è uguale al vettore C=(4,6), e anche se a conti fatti dipende solo da A non puoi dire semplicemente C=2A perchè in genere si parla di insieme di generatori e non puoi omettere così facilmente lil coefficiente 0 di B, soprattutto quando userai i coefficienti di combinazioni lineari per comporre matrici.


ok, quindi già studiando il rango della matrice posso determinare se due o più vettori sono dipendenti.
Cercavo di capirne l'utilità in campo informatico ed a pensarci bene, se si conosce dipendenza/indipendenza forse si possono evitare miriade di calcoli in un programma di gravica 3D ad esempio: solo un'idea.

[misterx]

sta ragionando nell'ambito della fisica.
se sommi due forze la risultante dipende sempre dai vettori sommati, in parole povere non puoi mettere 0 come coefficiente :D

ps: inoltre se C=c1A+c2B
con c2=0 C dipende comunque dalla coppia di vettori {A,B}


allora la definizione di dipendenza/indipendenza in questo caso specifico non c'azzecca un cavolo ?

[pietro84]

allora la definizione di dipendenza/indipendenza in questo caso specifico non c'azzecca un cavolo ?

c'entra.
se tu prendi due vettori per esmpio v1=(3,3) v2=(0,7) e li vuoi sommare tra di loro, analiticamente si fa così:

r=v1+v2=(3,3)+(0,7)
ora r= (3,3)+(0,7) è una combinazione lineare di v1 e v2 scegliendo c1=1 e c2=1
quindi la risultante di due vettori è sempre una combinazione lineare dei vettori stessi.
poichè r si ottiene come combinazione lineare di v1 e v2 è dipendente dalla coppia di vettori v1 e v2.

[pietro84]

ok, quindi già studiando il rango della matrice posso determinare se due o più vettori sono dipendenti.
Cercavo di capirne l'utilità in campo informatico ed a pensarci bene, se si conosce dipendenza/indipendenza forse si possono evitare miriade di calcoli in un programma di gravica 3D ad esempio: solo un'idea.

beh per i programmatori di sistema la matematica non serve, se non per imparare a ragionare meglio. per la grafica può servire a capire alcune cose, per la visione artificiale serve moltissimo e può essere utile anche per l'elaborazione di immagini e audio conoscere questi concetti.

[misterx]

c'entra.
se tu prendi due vettori per esmpio v1=(3,3) v2=(0,7) e li vuoi sommare tra di loro, analiticamente si fa così:

r=v1+v2=(3,3)+(0,7)
ora r= (3,3)+(0,7) è una combinazione lineare di v1 e v2 scegliendo c1=1 e c2=1
quindi la risultante di due vettori è sempre una combinazione lineare dei vettori stessi.
poichè r si ottiene come combinazione lineare di v1 e v2 è dipendente dalla coppia di vettori v1 e v2.


allora nel caso dei vettori, in fisica, ka risultante sarà "sempre" combinazione lineare di 2 o più vettori ?

[pietro84]

allora nel caso dei vettori, in fisica, ka risultante sarà "sempre" combinazione lineare di 2 o più vettori ?

sì

[misterx]

ops