Problemino: Determinare i numeri reali x>0 tali che:

[Print]

Determinare i numeri reali x>0 tali che:

1 + x - x^2 >= x^x

http://xoomer.alice.it/cl.costa/Immagine.JPG

qual è la procedura per risolverlo?

grazie

[Lucrezio]

Determinare i numeri reali x>0 tali che:

1 + x - x^2 >= x^x

qual è la procedura per risolverlo?

grazie
Innanzitutto la funzione x^x, per x>0, si può scrivere come
http://operaez.net/mimetex/x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x\ln(x)}
La funzione tende a uno per x che tende a zero; ha derivato
http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}e^{x\ln(x)}=e^{x\ln(x)}(\ln(x) + 1)
Quindi ammette minimo nel punto 1/e. Ovviamente tende a infinito (velocemente) per x che tende a infinito: ora hai un'idea di come è fatta.
La funzione 1+x-x^2/2 è una parabola con la concavità verso il basso; passa per (0,1), ha vertice in (1,3/2), taglia l'asse delle x in 1+-sqrt(3).
Le due funzioni si intersecano in (0,1) e in un punto con ascissa compresa fra 1 e 2.
Puoi provare a trovare una soluzione approssimata per bisezione o con il metodo delle tangenti di newton, ad esempio ;)

[fsdfdsddijsdfsdfo]

la soluzione è x=1 (determinata graficamente cercando un intervallo in cui applicare newton)

è importante scegliere bene l'intervallo di applicazione perchè la formula è:

X=x-(x^x+x^2-x-1)/(2x-1-x^x(ln(x)+1))

c'è un ln(x), per intervalli molto grossi è facile che oscillando diventi negativa e quindi non converga... (o magari converge nei complessi... boh non so)

l'intervallo in cui applicare è facile da scegliere, disegnandole si capisce che la soluzione è compresa tra il vertice della parabola (1/2, f(1/2)>0) e la seconda radice del polinomio (x-p+, f(b)<0)

Mi stavo scimmiando per trovare una soluzione

Alcune forme equivalenti

x-(1+sqrt5)/2=p+

x-(-1+sqrt5)/2=p-

(p-)(p+)=x^x

la funzione nella forma base non è definita solo per x=0

forme equivalenti che però non ammettono la soluzione come risultato (!!! com'è possibile ???!!!):

log(p+,x)/x-log(p-,x)/x=0 (la piu promettente, sono quasi sicuro di averla vista da qualche parte)

...

x=((p+)(p-))^(1/x)

[Lucrezio]

Sicuro?
A me viene più grande di 1...

[stbarlet]

Sicuro?
A me viene più grande di 1...

:mbe: ma sostituendo la soluzione è 1 :mbe: :muro:

[Lucrezio]

:mbe: ma sostituendo la soluzione è 1 :mbe: :muro:

Uff... per qualche ragione io ho studiato la parobola y=1+x-x^2/2...
sorry :stordita:

[fsdfdsddijsdfsdfo]

mi spiegate come mai forme equivalenti non ammettono soluzione?


e come mai a volte oscilla sittanto da non ammettere soluzione?