View Full Version : Logaritmi negativi
fsdfdsddijsdfsdfo
21-05-2006, 14:19
Mi hanno sempre detto che l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, però:
log[base](argomento)=esponente
log[-2](-2)=1
inoltre mi hanno detto che è sbagliato dire:
log[-2](4)=2
sono io che mi perdo qualcosa, oppure è una semplice convenzione?
potremmo comunque definire una quantità immaginaria j come 1^j=-1
quindi:
log[2](-2)=j
come mai nessuno ci ha mai pensato prima?
prendiamo l'identità di eulero:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity
e^1(pi)+1=0
Ln(-1)=i(pi) quindi j=i(pi)
però il significato dell'identità di eulero mi è sempre sfuggito, quindi potrebbe essere una cazzata...
qualcuno puo illuminarmi?
qualcuno puo illuminarmi?
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
Aplicando la formula al tuo caso ottieni il risultato che hai trovato, più tutte le ripetizioni sull'asse immaginario ;)
fsdfdsddijsdfsdfo
21-05-2006, 14:48
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
Aplicando la formula al tuo caso ottieni il risultato che hai trovato, più tutte le ripetizioni sull'asse immaginario ;)
magari ho capito male...
ma pare che il tuo link parli di logaritmi di argomenti complessi, io parlo di logaritmi di risultato complesso e argomento negativo...
li parla di log(i), io parlo di log(-1)
O forse mi sbaglio.
però 2log(i)=log(-1)
e qui sembra che il cechio si chiuda... :D
quindi di sicuro ho un enorme confusione nella mia testa... :D:D
ma pare che il tuo link parli di logaritmi di argomenti complessi, io parlo di logaritmi di risultato complesso e argomento negativo...
I numeri negativi sono anche numeri complessi; in particolare sono numeri complessi con modulo qualsiasi > 0 e con fase 180° (π).
Considera ora la formula:
Log(z) = Ln(r) + i*phi
Abbiamo r = |-1| e phi = π
Quindi:
Log(-1) = Ln(1) + i*π = i*π
Che è il risultato che hai trovato invertendo la formula di Eulero. Ma in questo modo puoi calcolare facilmente i logaritmi di qualsiasi numero negativo.
fsdfdsddijsdfsdfo
21-05-2006, 15:07
capito...
io credevo di aver avuto una buona intuizione ed invece era da secoli che ste cose si sapevano...
e allora come mai continuano a dirci che i logaritmi negativi sono impossibili?
e allora come mai continuano a dirci che i logaritmi negativi sono impossibili?
Perchè nel campo reale sono effettivamente impossibili. Nel campo complesso d'altra parte se si prende come definizione "elevando la base per il logaritmo si ottiene l'argomento" (inverso dell'esponenziazione) si scopre che non solo i numeri della formula precedente, ma anche quelli del tipo:
Ln(r) + i*(phi + 2kπ)
sono soluzioni valide, e quindi non hai più un solo valore... per questo si preferisce limitare il logaritmo ai soli reali positivi.
pietro84
21-05-2006, 15:55
Mi hanno sempre detto che l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, però:
log[base](argomento)=esponente
log[-2](-2)=1
inoltre mi hanno detto che è sbagliato dire:
log[-2](4)=2
tutto ciò che si studia ad analisi1 per la funzione logaritmo vale se la base è maggiore di zero.
se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.
fsdfdsddijsdfsdfo
21-05-2006, 16:06
tutto ciò che si studia ad analisi1 per la funzione logaritmo vale se la base è maggiore di zero.
se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.
era nella prova del 2001 del dipartimento di alta matematica (credo)
oppure nella prova del politecnico o di matematica a milano.
Era con 16 e 4 (base). Le soluzioni erano: a) 4 b)+-4 c) 2 d) 8
Scelsi b ma me la diede come sbagliata, la risposta era a.
boh.
pietro84
21-05-2006, 16:27
era nella prova del 2001 del dipartimento di alta matematica (credo)
oppure nella prova del politecnico o di matematica a milano.
Era con 16 e 4 (base). Le soluzioni erano: a) 4 b)+-4 c) 2 d) 8
Scelsi b ma me la diede come sbagliata, la risposta era a.
boh.
non ho capito... che domanda era?
se era:
log[4](16)
la c è corretta.
l'esponenete da dare a 4 per ottenere 16 è 2.
non ho capito cosa vuoi dire...
fsdfdsddijsdfsdfo
21-05-2006, 16:40
non ho capito... che domanda era?
se era:
log[4](16)
la c è corretta.
l'esponenete da dare a 4 per ottenere 16 è 2.
non ho capito cosa vuoi dire...
log[a](16)=2
scelgi a tra queste possibilità ...
scusa sono stato poco chiaro.-
pietro84
21-05-2006, 17:17
log[a](16)=2
scelgi a tra queste possibilità ...
scusa sono stato poco chiaro.-
ah ecco, ora sì.
infatti anche -4 avrebbe senso.
chissà perchè è sbagliato.....
se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.
Credo che il problema sia definire in modo soddisfacente Log[-2](.).
Per argomenti scelti (2^2k in generale) non ci sono problemi, ma in altri casi?
Ad esempio che senso si può dare a Log[-2] (8) ?
Sfruttando la formula dei logaritmi complessi e la formula di conversione di base dei logaritmi è possibile ottenere una risposta, abbastanza brutta per la verità e che nel caso di Log[-2](4) neppure corrisponde a 2:
Log[-2](8) = 3Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Log[-2](4) = 2Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Sapendo che il logaritmo complesso è multivalore è possibile recuperare 2 con un po' di astuzia. In ogni caso la definzione richiede il passaggio per i numeri complessi (con risposte in generale complesse) mentre l'esercizio di dijo era chiaramente ristretto ai numeri reali :D
pietro84
21-05-2006, 17:46
Credo che il problema sia definire in modo soddisfacente Log[-2](.).
Per argomenti scelti (2^2k in generale) non ci sono problemi, ma in altri casi?
Ad esempio che senso si può dare a Log[-2] (8) ?
Sfruttando la formula dei logaritmi complessi e la formula di conversione di base dei logaritmi è possibile ottenere una risposta, abbastanza brutta per la verità e che nel caso di Log[-2](4) neppure corrisponde a 2:
Log[-2](8) = 3Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Log[-2](4) = 2Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Sapendo che il logaritmo complesso è multivalore è possibile recuperare 2 con un po' di astuzia. In ogni caso la definzione richiede il passaggio per i numeri complessi (con risposte in generale complesse) mentre l'esercizio di dijo era chiaramente ristretto ai numeri reali :D
sono d'accordo, però in quel particolare caso non è necessario ricorrere ai numeri complessi, l'espressione ha già un senso. non vedo nessuna ragione per cui debba essere sbagliata, anche operando nel campo reale.
sono d'accordo, però in quel particolare caso non è necessario ricorrere ai numeri complessi, l'espressione ha già un senso.
Ho ipotizzato un motivo per cui non si considera valida l'espressione nonostante presa secondo la definzione sia possibile trovare un valore. L'idea sottointesa è la necessità che la funzione sia definita su un intervallo, e non solo in punti notevoli. Questo commento sembra confermarlo:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55592.html
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