[analisi] derivata di una funzione composta

[vermaccio]

avete una funzione


f(x)=0.5*{sen[a-atan( (b+sen(x))/(c+cos(x) )]}^2

con a,b,c costanti

ovvero chiamando

.........(b+sen(x))
T(x)= -------------
..........(c+cos(x)


f(x)=0.5*{sen[a-atan(T)]}^2

(^2=elevato al quadrato)

ebbene:
la derivata in x quanto vale?

confermate che è:

0.5*2*{sen[a-atan( (b+sen(x))/(c+cos(x) )]} * {cos[a-atan( (b+sen(x))/(c+cos(x) )]} * {-(1/(T^2))* [(cos(x)*(c+cos(x) )- (b+sen(x)*(-sen(x))]/[(c+cos(x) )^2]}

?

[caviccun]

Sbaglierò ma penso che la sezione più adatta sia "programmazione".

[matiaij]

o forse su OT 'scuola e lavoro' oppure 'scienza e tecnica'

[Kewell]

Spostato in scienza e tecnica

[caviccun]

Spostato in scienza e tecnica

Interessante e stimolante però , vero?.

[Kewell]

Interessante e stimolante però , vero?.
:confused:

[Lucrezio]

Bene, visto che si parla di matematica, invito tutti a leggere il thread in rilievo su come scrivere le formule con LaTeX!
f(x)=0.5*{sen[a-atan( (b+sen(x))/(c+cos(x) )]}^2

http://operaez.net/mimetex/f(x)=\frac{1}{2} \left \{ \sin \left [ a - \arctan \left ( \frac{b + \sin(x)}{c + cos(x)} \right ) \right ] \right \}^2

A me la derivata viene
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2} \frac{\sin \left [ 2\arctan\left (\frac{sin(x) + b}{cos(x)+c}\right ) - 2a \right ] \cdot \left ( c\cos(x) + b\sin(x) + 1 \right )}{2c\cos(x) + 2b\sin(x) + b^2 + c^2 + 1}

Prova a vedere se facendo le opportune conversioni (io ho semplificato un po' di sin^2 + cos^2 e cose del genere...) ti torna ;)
(P.S.: e magari prova a scrivere in LaTeX le eventuali obiezioni!)

[vermaccio]

Bene, visto che si parla di matematica, invito tutti a leggere il thread in rilievo su come scrivere le formule con LaTeX!
f(x)=0.5*{sen[a-atan( (b+sen(x))/(c+cos(x) )]}^2

http://operaez.net/mimetex/f(x)=\frac{1}{2} \left \{ \sin \left [ a - \arctan \left ( \frac{b + \sin(x)}{c + cos(x)} \right ) \right ] \right \}^2

A me la derivata viene
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2} \frac{\sin \left [ 2\arctan\left (\frac{sin(x) + b}{cos(x)+c}\right ) - 2a \right ] \cdot \left ( c\cos(x) + b\sin(x) + 1 \right )}{2c\cos(x) + 2b\sin(x) + b^2 + c^2 + 1}

Prova a vedere se facendo le opportune conversioni (io ho semplificato un po' di sin^2 + cos^2 e cose del genere...) ti torna ;)
(P.S.: e magari prova a scrivere in LaTeX le eventuali obiezioni!)

http://operaez.net/mimetex/f(x)=\frac{1}{2} \left \{ \sin \left [ a - \arctan \left ( \frac{b + \sin(x)}{c + cos(x)} \right ) \right ] \right \}^2

io ho fatto così: (dove metto delle parentesi vuote intendo tutto quello che sta dentro le rispettive parentesi della formula base)

0.5 * 2 * {} * cos[] * (-1/1+()) * derivata()

dove
derivata()=(cosx * (c+cosx)-(b+senx*-senx)) / ((c+cosx)^2)


è così che hai fatto?

[vermaccio]

A me la derivata viene
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2} \frac{\sin \left [ 2\arctan\left (\frac{sin(x) + b}{cos(x)+c}\right ) - 2a \right ] \cdot \left ( c\cos(x) + b\sin(x) + 1 \right )}{2c\cos(x) + 2b\sin(x) + b^2 + c^2 + 1}




non mi torna il tuo umeratore, il blocco contenente sen.
dovrebbe rimanere immutato all'interno. da dove esce il 2 la dentro? e perchè il segno è girato?

http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2} \frac{\sin \left [ 2\arctan\left (\frac{sin(x) + b}{cos(x)+c}\right) - 2a \right ]}

non dovrebbe essere


http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2} \frac{\2sin \left [ a-arctan\left (\frac{sin(x) + b}{cos(x)+c}) \right(...)]}

[Lucrezio]

Ok provo a fare tutti i passaggi:
Derivando pezzo per pezzo:
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin (\phi(x))\cos(\phi(x)) \cdot \phi '(x)
Dove
http://operaez.net/mimetex/\phi(x)=a-\arctan \left (\frac{b+\sin(x)}{c+\cos(x)} \right )
Si riconosce subito che l'espressione 2sinxcosx si può scrivere anche come sin(2x), da cui il due che non ti tornava:
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin (2 \phi(x)) \cdot \phi '(x)
Ora non resta che calcolare la derivata della funzione ausiliaria fi(x):
http://operaez.net/mimetex/\phi '(x) = - \frac{1}{1+\psi^2(x)} \cdot \psi '(x)
Dove il meno è quello davanti all'arcotangente e
http://operaez.net/mimetex/\psi(x) = \frac{b+\sin(x)}{c+\cos(x)}
L'ultima derivata viene:
http://operaez.net/mimetex/\psi '(x) = \frac{(c+\cos(x))\cos(x) + (b+\sin(x))\sin(x)}{(c+cos(x))^2} = \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{(c+\cos(x))^2}
Sostituendo a ritroso:
http://operaez.net/mimetex/\phi'(x) = -\frac{1}{1+\left (\frac{b+\sin(x)}{c+\cos(x)} \right )^2 } \cdot \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{(c+\cos(x))^2} = \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{(c+\cos(x))^2 + (b+\sin(x))^2} = \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{b^2 + c^2 + 2b\sin(x) + 2c\cos(x) + 1}

In conclusione:
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=- \frac{1}{2}\sin \left [ 2a-2\arctan \left (\frac{b+\sin(x)}{c+\cos(x)} \right )\right ] \cdot \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{b^2 + c^2 + 2b\sin(x) + 2c\cos(x) + 1}
portando dentro il meno si inverte l'argomento del seno:
http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{2}\sin \left [ 2\arctan \left (\frac{b+\sin(x)}{c+\cos(x)} \right ) - 2a \right ] \cdot \frac{b\sin(x) + c\cos(x) + 1}{b^2 + c^2 + 2b\sin(x) + 2c\cos(x) + 1}