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View Full Version : Aiuto su integrale!


utente222223434556
19-04-2006, 11:57
Abbiamo cominciando ora a studiare gli integrali e cominciano i primi problemi :D

Questo ad esempio non saprei come risolverlo (o meglio, il risultato che mi viene non coincide con quello del testo! :cry: )

int (cos2x)/(sen^2x) dx = -cotgx -2x + k

(coseno di 2x fratto seno quadro di x)

A logica io ho provato a scomporre il cos2x con le forumle di duplicazione e poi eseguire i calcoli, solo che il risultato non è quello!

Quali sono i passaggi principali? Grazie mille! :)

bravoragazzo
19-04-2006, 14:15
scomponi cos2x= cos^2(x) - sin^2(x)


quindi hai due integrali:


cos^2(x)/sin^2(x) - sin^2(x)/sin^2(x)


Il primo di questi due, cioè cos^2(x)/sin^2x , lo scrivi come:

[1-sin^2(x)]/sin^2(x ) => 1/sin^2(x) - 1 che integrato da -cotgx - x


Il secondo sin^2(x)/sin^2(x), cioè 1, integrato da x, siccome c'è il meno davanti -x


quindi il risultato sommando è -cotgx - 2x + c


bye

utente222223434556
19-04-2006, 14:25
Perfetto, capito tutto!

Questo invece come lo risolveresti?

(x^2 - 2)/(x - 1) = (x^2)/2 + x - ln|x-1| + k

Ubi-Wan
19-04-2006, 14:30
(x^2 - 2) consideralo come (x + 1)(x - 1) - 1, in questo modo hai

int {[(x + 1)(x - 1)]/(x - 1) -1/(x - 1)} dx
^^^^^^^^^^^^^^
semplifica (x - 1).

A questo punto il risultato e' ovvio. Basta ricordare poi che ln(f(x)) = [1/f(x)]f'(x)

utente222223434556
19-04-2006, 14:44
Bene, andata anche questa!

Tutti questi "trucchetti" per vedere in modo diverso l'integrale non mi passano per la testa maledizione :muro: :cry:

Adesso vado a fare altri esercizi...non è escluso che troni presto sul forum :D :D

Grazie mille!

utente222223434556
19-04-2006, 16:02
:cry: :cry:
Possibile che non riesco a fare nemmeno questo? Sembra semplice! :doh:

int (x+3)/(x-2) = x+5ln|x-2| + k

ho pensato di vedere quel x+3 come x+5 -2 in modo da avere -2/(x-2) che non è altro che ln|x-2| +k

Ma il resto dei calcoli? Non quadrano :muro:

Ubi-Wan
19-04-2006, 16:28
La soluzione che hai proposto e' giusta, ma hai fatto degli errori...

x + 3 = x - 2 + 5

Quindi (x-2)/(x-2) lo semplifichi e l'integrale e' x
Ti rimane 5/(x-2) che non e' altro che 5ln|x-2|

utente222223434556
19-04-2006, 16:33
Ma perchè 1/(x-2) integrato fa ln|x-2| ??

La regola non era f'(x)/f(x) = ln|f(x)| ?? Quindi la derivata di x-2 è -2, non 1!

Non capisco...

Ubi-Wan
19-04-2006, 16:49
veramente la derivata e' proprio 1 :)
-2 e' una costante e quindi la sua derivata e' 0
Quindi rimane la derivata di x che e' 1.

utente222223434556
19-04-2006, 17:27
Sono proprio stupido!!! Ho calcolato la derivata immaginaria -2x invece che x -2!!! L'ho scambiato per un prodotto...

Mamma mia...queste vacanze pasquali mi hanno rovinato :D :D

utente222223434556
12-05-2006, 17:19
Nuovo problema! Non riesco a fare integrali di radici!

Come si risolve questa ad esempio:

integrale ( 1 + 9/4x )^1/2 (integrale di radice di uno + nove quarti x)

Ziosilvio
13-05-2006, 09:29
Come si risolve questa ad esempio:

integrale ( 1 + 9/4x )^1/2 (integrale di radice di uno + nove quarti x)
Questa è facile: poni y = 1 + 9/4 x e integra per sostituzione.

utente222223434556
13-05-2006, 11:50
A ecco, bisogna usare il metodo per sostituzione...che puntualmente la nostra prof non ci ha spiegato... (è l'unico che ci manca di fare...)

Non esistono altre vie?

Da quello che ho capito, tutti gli integrali di radici conviene risolverli x sostituzione...

TALLA
13-05-2006, 15:35
il metodo per sostituzione sarebbe più comodo...ma visto che non ve l'ha ancora insegnato devi considerare la funzione come elevata ad n (in questo caso 1/2)
tu sai che la soluzione di int x^n è uguale a (x^n + 1)/n+1

ad es se hai int x^2 = x^2+1/2+1 = cioè = x^3/3

nel tuo caso

(1 + 9/4x)^1/2 = ((1+9/4x)^3/2)/(3/2) +k

in pratica ti viene 2/3(1+9/4)^2/3 +k

cioè due terzi * radcubica di(1+9/4x)al quadrato + k

Ziosilvio
13-05-2006, 16:11
(1 + 9/4x)^1/2 = ((1+9/4x)^3/2)/(3/2) +k
A secondo membro, oltre al d/dx hai dimenticato un fattore 4/9 che fa tornare i conti quando applichi la regola di derivazione della funzione composta (http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule).

Per inciso: il succo della regola di integrazione per sostituzione, è proprio questo.

utente222223434556
13-05-2006, 16:16
No, non ho capito bene...dove salta fuori il fattore 4/9 ??

Ora che ci penso ho sempre usato il metodo di TALLA...

Ziosilvio
13-05-2006, 16:33
dove salta fuori il fattore 4/9 ?
Nell'equazione che ho citato due post fa, se vuoi che il primo membro sia la derivata del secondo, devi moltiplicare quest'ultimo per 4/9, che se ne va via con il 9/4 che ottieni derivando (1 + 9/4 x) rispetto a x.

TALLA
13-05-2006, 17:14
Hai ragione zio silvio!che sbadato... :rolleyes:

Essendo una funzione composta, facendone la derivata dovresti derivare prima la radice e moltiplicarla per la derivata dell'argomento

Nel tuo caso l'argomento è 9/4 x che derivato ti da 9/4....praticamente questo 9/4 te lo ritroveresti in più nella risoluzione dell'integrale,(che derivandola non ti darebbe l'integrale di partenza ma con un 9/4 in più) ed è per quello che lo elimini moltiplicandolo per il suo reciproco.

es: int (3x-1)^1/2 dx ==> (1/3 * ((3x-1)^3/2)/(3/2))

quel 1/3 serve proprio ad annullare la derivazione di quel 3x in più

utente222223434556
13-05-2006, 19:35
Ok, ho capito. In pratica si utilizza la tecnica delle funzioni composte.

Ma mi sorge una domanda: e se l'argomento della radice è di secondo grado ad esempio? Come faccio a far comparire la sua derivata per applicare questa tecnica?

utente222223434556
14-05-2006, 22:54
Non è chiara la mia domanda?

Voglio dire, un conto è se l'argomento della radice è di primo grado, allora la sua derivata è sicuramente una costante che si puè moltiplicar e dividere dentro e fuori dall'integrale e con la tecnica delle funzioni composte si risolve l'integrale.

Ma se l'argomento della radice è di grado superiore al primo, come faccio? La sua derivata contiene la x...non posso mica moltiplicare e dividere per la x!!

Spero di essere stato chiaro...

Ziosilvio
15-05-2006, 08:42
L'integrale indefinito di sqrt(a^2+x^2) è un integrale notevole, che sul tuo libro c'è sicuramente.

TALLA
15-05-2006, 16:46
Infatti puoi risolvere l'integrale solo se riesci a portar fuori la derivata, nel caso di una funzione di primo grado la derivata è una costante, quindi puoi eliminarla moltiplicando al di fuori dell'integrale per la sua reciproca, quindi sempre una costante.
Se hai una funzione di secondo grado non sarai mai in grado di portarla al di fuori dell'integrale (ad es l'integrale di x è x^2/2 che non riesce ad annullare l'argomento della funzione!)E' proprio per questo che si usa il metodo di sostituzione!
E' solo quando tu hai

int (f(x)^n)*f ' (x) dx ==> ( f(x)^(n+1))/ n+1

ChristinaAemiliana
15-05-2006, 16:51
Trasferito in Scienza e tecnica! ;)

utente222223434556
15-05-2006, 17:28
Infatti puoi risolvere l'integrale solo se riesci a portar fuori la derivata, nel caso di una funzione di primo grado la derivata è una costante, quindi puoi eliminarla moltiplicando al di fuori dell'integrale per la sua reciproca, quindi sempre una costante.
Se hai una funzione di secondo grado non sarai mai in grado di portarla al di fuori dell'integrale (ad es l'integrale di x è x^2/2 che non riesce ad annullare l'argomento della funzione!)E' proprio per questo che si usa il metodo di sostituzione!
E' solo quando tu hai

int (f(x)^n)*f ' (x) dx ==> ( f(x)^(n+1))/ n+1

Appunto, confermate quello che ho detto.
Cmq la nostra prof ci aveva dato questo tipo di esercizi per sbaglio e oggi le ho chiesto come andavano fatti e lei ha confermato che l'unico modo è il metodo di sostituzione...che ci spiegherà prossimamente :p

grazie per l'aiuto...

Lucrezio
15-05-2006, 20:44
Appunto, confermate quello che ho detto.
Cmq la nostra prof ci aveva dato questo tipo di esercizi per sbaglio e oggi le ho chiesto come andavano fatti e lei ha confermato che l'unico modo è il metodo di sostituzione...che ci spiegherà prossimamente :p

grazie per l'aiuto...

Se vuoi c'è una piccola guida sugli integrali. Nel thread ufficiale in rilievo trovi il link!
P.S.: suggerisco di provare a scrivere le formule in LaTeX: vedrai che i risultati sono notevolissimi!

utente222223434556
15-05-2006, 22:11
Grazie per il consiglio!

PS: cos'è LaTeX? :confused:

ChristinaAemiliana
15-05-2006, 22:23
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155&page=1&pp=20

Lucrezio è il nostro profeta, per quanto riguarda LaTeX...:D

Lucrezio
16-05-2006, 12:50
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155&page=1&pp=20

Lucrezio è il nostro profeta, per quanto riguarda LaTeX...:D
Perché non me la rimetti in rilievo :cry:
In fondo la maggior parte degli utenti usa firefox o IE...

plutus
16-05-2006, 12:54
http://operaez.net/mimetex/La\TeX fico :D

ChristinaAemiliana
16-05-2006, 13:17
Perché non me la rimetti in rilievo :cry:
In fondo la maggior parte degli utenti usa firefox o IE...

Perché così siete più stimolati a risolvere il problema! :Perfido:

:sofico: