aiuto limite

[fsdfdsddijsdfsdfo]

mi date una mano plz?


lim(x->0) (arsin(x))(ln(x))=0

so il risultato, ma come ci si arriva?

Inoltre:

SI puo applicare il teorema de L'hopital nel caso f(x)g(x) invece di f(x)/g(x)?

grazie!

[fsdfdsddijsdfsdfo]

risolto

(arsinx/x)(x*logx)=1*0=0 (moltiplico per x/x e ottengo due limiti fondamentali)


rimane aperta la seconda domanda.

[lowenz]

SI puo applicare il teorema de L'hopital nel caso f(x)g(x) invece di f(x)/g(x)?
grazie!
f(x)g(x)=f(x)/(1/g(x))

[fsdfdsddijsdfsdfo]

f(x)g(x)=f(x)/(1/g(x))
avevo trovato un caso in cui cosi non era valido...

se lo ritrovo lo posto...

[Ziosilvio]

f(x)g(x)=f(x)/(1/g(x))
... se in tutto un intorno di x0 g(x) non si annulla e g'(x) rimane di segno costante e non nullo.

Per quanto riguarda la domanda originaria: il Teorema di de l'Hopital (che poi non è di de l'Hopital, ma di Johann Bernoulli) funziona per il rapporto di due funzioni entrambe infinitesime oppure entrambe infinite, derivabili in un intorno di x0, e con la derivata del denominatore che non cambia segno e non si annulla.
E' vero però che esistono dei metodi standard per ricondurre lo studio delle altre forme indeterminate a quello di una 0/0 o oo/oo.
Per esempio:
- f(x)g(x) con f infinitesima e g infinita, si trasforma come detto prima;
- f(x)-g(x) con f e g divergenti positivamente, si trasforma in f(x)(1-g(x)/f(x)) o in (f(x)/g(x)-1)g(x), e si riconduce a uno dei casi precedenti, o a una forma determinata;
- f(x)^g(x) si trasforma in exp(g(x) ln f(x)), e si riconduce a uno dei casi precedenti.

[ciop71]

E con gli sviluppi in serie?

[Ziosilvio]

E con gli sviluppi in serie?
Per le funzioni analitiche, ossia sviluppabili in serie di potenze, vale questa versione del Teorema di de l'Hopital:

Sia A un aperto del piano complesso, sia z0 un punto di A e siano f e g due funzioni analitiche in A\{z0} e aventi in z0 entrambe uno zero isolato oppure entrambe un polo.
Allora i limiti per z-->z0 di f(z)/g(z) e di f'(z)/g'(z) esistono entrambi, finiti o infiniti, e sono uguali.
(Ovviamente, trattandosi di funzioni analitiche, "avere limite infinito" significa "avere un polo".)

Nota che la tesi è molto piu' forte che nel caso reale, in cui si può solo dire che l'esistenza del limite del rapporto delle derivate implica l'esistenza del limite del rapporto delle funzioni.
Tuttavia, anche le ipotesi sono molto piu' forti, in quanto, per funzioni di variabile complessa, la derivabilita' equivale all'analiticita'.

[lowenz]

... se in tutto un intorno di x0 g(x) non si annulla e g'(x) rimane di segno costante e non nullo.
La prima ipotesi e la seconda parte della seconda mi parevano ovvie :p, ma devo ammettere che il segno costante di g'(x) come ipotesi necessaria per l'applicazione del teorema mi mancava :D

[Ziosilvio]

il segno costante di g'(x) come ipotesi necessaria per l'applicazione del teorema mi mancava
In effetti viene spesso "dimenticato" nelle enunciazioni da liceo; eppure è fondamentale.

Esempio: poni f(x) = x + sen x, g(x) = x - sen x.
E' ovvio che f(x)/g(x) --> 1 per x --> +oo; però, il limite del rapporto delle derivate seconde vale -1.
Il motivo per cui non si può applicare de l'Hopital, è che g'(x) si annulla in tutti i multipli interi di 2 Pi.

P.S.: adesso che ci penso, ho dimenticato anch'io un'ipotesi per il caso complesso... correggo subito.