View Full Version : Somma di una Serie
Ragazzi volevo sapere se qualcuno poteva darmi una mano: Volevo sapere qual' è il metodo per trovare la somma di una serie di funzioni. Ovviamente non sarà un metodo universale ma di solito com si procede.
Ad esempio stavo cercando di trovare la somma di questa serie:
Grazie in anticipo per i consigli.
Ziosilvio
03-03-2006, 17:41
Volevo sapere qual' è il metodo per trovare la somma di una serie di funzioni.
O si calcolano esplicitamente le somme parziali e si cerca il limite, oppure si cerca di ricondursi a una serie di cui si conosce la somma.
Per esempio, tu vuoi conoscere:
sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k))/(2k+1)
La somma di questa serie non sai quant'è, però sai che per x tra -1 e 1 vale:
sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k+1))/(2k+1) = atan x
Ora, osservi che:
((-1)^k x^(2k))/(2k+1) = (1/x)((-1)^k (x^(2k+1))/(2k+1)
Ne concludi che deve essere:
sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k))/(2k+1) = (atan x)/x
*nicola*
03-03-2006, 18:12
Ovviamente parliamo di serie convergenti altrimenti la somma non può esistere ed essere finita.
Se puoi ricondurti alla serie geometrica x^n sai che la somma è data da 1/(1-x) (dove x può anche essere una funzione), questo vale solo se la serie converge quindi solo se -1<x<+1
Ci sono delle altre serie in cui i termini si elidono tra di loro e può capitare che resti solamente il primo e l'ultimo (n-esimo, poi fai il limite) termine.
Es:
a(1)=1-x
a(2)=x-x^1/2
a(3)=x^1/2-x^1/3
...
a(n)=x^1/(n-1)-x^1/n
In questo caso noti che quando sommi i termini alcuni di questi vanno via (es x^1/2) e alla fine rsta solo il primo e l'ultimo termine. La somma è allora 1+x^1/n. In questo caso fai il limite (n--> + inf) di 1+x^1/n=1+1=2
Qualuno mi dice (anche via mess privato volendo) come si scrivono le formule sul forum? Mi sento molto "limitato" senza questa conoscenza.
Lucrezio
03-03-2006, 19:23
Ovviamente parliamo di serie convergenti altrimenti la somma non può esistere ed essere finita.
Se puoi ricondurti alla serie geometrica x^n sai che la somma è data da 1/(1-x) (dove x può anche essere una funzione), questo vale solo se la serie converge quindi solo se -1<x<+1
Ci sono delle altre serie in cui i termini si elidono tra di loro e può capitare che resti solamente il primo e l'ultimo (n-esimo, poi fai il limite) termine.
Es:
a(1)=1-x
a(2)=x-x^1/2
a(3)=x^1/2-x^1/3
...
a(n)=x^1/(n-1)-x^1/n
In questo caso noti che quando sommi i termini alcuni di questi vanno via (es x^1/2) e alla fine rsta solo il primo e l'ultimo termine. La somma è allora 1+x^1/n. In questo caso fai il limite (n--> + inf) di 1+x^1/n=1+1=2
Qualuno mi dice (anche via mess privato volendo) come si scrivono le formule sul forum? Mi sento molto "limitato" senza questa conoscenza.
Ma naturalmente con Latex!
Purtroppo Edivad ( :ahahah: :cry: ) non ha potuto implementarlo direttamente nel forum, ma si può utilizzare grazie al prodigioso servizio mimetex:
Per inserire una formula la sintassi è
[ IMG ]http://operaez.net/mimetex/"codice della formula in latex" [ /IMG ]
Chiaramente le parentesi vanno attaccate!
Ad esempio:
http://operaez.net/mimetex/\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}
a cui corrisponde il codice latex
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}
Per ulteriori dettagli prova a cercare "una mica tanto breve guida al latex" su google... è ottima e completa!
*nicola*
03-03-2006, 20:10
Grazie
Ziosilvio
03-03-2006, 21:38
Ma naturalmente con Latex!
Purtroppo Edivad ( :ahahah: :cry: ) non ha potuto implementarlo direttamente nel forum, ma si può utilizzare grazie al prodigioso servizio mimetex:
Per inserire una formula la sintassi è
[ IMG ]http://operaez.net/mimetex/"codice della formula in latex" [ /IMG ]
Chiaramente le parentesi vanno attaccate!
Ad esempio:
http://operaez.net/mimetex/\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}
a cui corrisponde il codice latex
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}
MIO!!!
Comincerò a usarlo, e chissà, potrei mettere da parte il formato testo puro...
Per ulteriori dettagli prova a cercare "una mica tanto breve guida al latex" su google... è ottima e completa!
Meglio la versione in inglese "The Not So Short Introduction to LaTeX2e": quella italiana, non mi risulta sia molto aggiornata.
P.S.: non si scrive latex o Latex, ma LaTeX, con la Ti e la Chi maiuscole.
(E si legge: LA-tech: se no, è il materiale dei preservativi.)
Lucrezio
04-03-2006, 00:15
MIO!!!
Comincerò a usarlo, e chissà, potrei mettere da parte il formato testo puro...
Meglio la versione in inglese "The Not So Short Introduction to LaTeX2e": quella italiana, non mi risulta sia molto aggiornata.
P.S.: non si scrive latex o Latex, ma LaTeX, con la Ti e la Chi maiuscole.
(E si legge: LA-tech: se no, è il materiale dei preservativi.)
Per iniziare quella italiana va già molto bene!
quella inglese è un po' più completa, ma una volta che uno sa già un po' muoversi è meglio -IMHO- cercare su qualche forum!
P.S.: LaTeX, Latex... che pignolo :sofico:
P.P.S.: quella del materiale dei preservativi l'hai mica presa dalla guida? :D
bicoccaboy
04-03-2006, 00:19
io su latex ho quella inglese della mia prof di matlab... nn si capisce molto ed infatti devo dare ancora l'esame :D
Grazie a tutti per i consigli. Vediamo ke riesco a fare :)
JL_Picard
04-03-2006, 14:37
ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...
(scusate lo sfogo, ma ai miei tempi i software non c'erano)...
ricordando lo sviluppo in serie...
arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ... =
= x [1 - (x^2)/3 + (x^4)/5 - ...]
L'espressione fra parentesi quadre corrisponde alla serie data...
per cui possiamo scrivere arctg (x) = x [ ]
quindi [ ] = arctg (x) / x
in cui [ ] è il limite dato...
Ziosilvio
04-03-2006, 16:47
ricordando lo sviluppo in serie...
arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ...
'Azz... vero!!!
Purtroppo la mia formula l'avevo ricavata dall'espressione di Pigreco/4, in cui però il conto si fa per x=1, per cui vattelapesca se è x^k o x^(2k+1) o x^(13k+17) o che altro...
Correggo subito nel post originale.
Facendo esercizi sempre sulle serie ho visto una cosa del tipo:
(n+1)!!
Ma cosa vuol dire ? Doppio fattoriale ? :confused:
*nicola*
12-03-2006, 10:15
Si chiama semifattoriale, ad esempio 7!!=1*3*5*7 e 8!!=2*4*6*8 (si moltiplicano o i numeri pari o i numeri dispari a seconda del caso).
Nel tuo caso, essendo una serie, credo che una cosa del genere (n+1)!! sia un invito ad usare qualche criterio per semplificare con (n+1)! (penso sia possibile).
Ah capito. Grazie per la dritta :)
ChristinaAemiliana
12-03-2006, 20:13
ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...
Quotone...;)
Lucrezio
12-03-2006, 23:28
ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...
(scusate lo sfogo, ma ai miei tempi i software non c'erano)...
ricordando lo sviluppo in serie...
arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ... =
= x [1 - (x^2)/3 + (x^4)/5 - ...]
L'espressione fra parentesi quadre corrisponde alla serie data...
per cui possiamo scrivere arctg (x) = x [ ]
quindi [ ] = arctg (x) / x
in cui [ ] è il limite dato...
Chi ha parlato di software?
ChristinaAemiliana
12-03-2006, 23:42
Beh, io l'avevo presa come a dire che il troppo uso del software matematico impedisce di allenarsi a ragionare sugli esercizi...un discorso generale insomma, non specifico su questo esercizio...:what:
JL_Picard
13-03-2006, 17:14
Beh, io l'avevo presa come a dire che il troppo uso del software matematico impedisce di allenarsi a ragionare sugli esercizi...un discorso generale insomma, non specifico su questo esercizio...:what:
stavolta il quotone è mio...
Il mio sfogo era proprio legato all'aspetto da te evidenziato...
Ai miei tempi DOVEVI arrangiarti (quando andava bene uno si faceva in casa i programmini per lo studio di funzioni sul Commodore 64...) e quindi certi esercizi erano una vera e propria palestra mentale...
Oggi basta inserire i dati nel programma (bello e pronto) e lui ti sforna la soluzione...
ma non da la stessa soddisfazione...
fsdfdsddijsdfsdfo
13-03-2006, 17:30
stavolta il quotone è mio...
Il mio sfogo era proprio legato all'aspetto da te evidenziato...
Ai miei tempi DOVEVI arrangiarti (quando andava bene uno si faceva in casa i programmini per lo studio di funzioni sul Commodore 64...) e quindi certi esercizi erano una vera e propria palestra mentale...
Oggi basta inserire i dati nel programma (bello e pronto) e lui ti sforna la soluzione...
ma non da la stessa soddisfazione...
ma finchè si è casa ok...
quello che mi fa incazzare sono le calcolatrici grafiche:
io mi sbatto per studiare e capire i problemi, quando alcuni basta che inseriscano la funzione e hanno TUTTO
Di denunciarli ai professori proprio non mi va, però o pensano problemi veramente intelligenti, ma dovrebbero sbattersi e non hanno voglia (molti adirittura riutilizzano i compiti senza neanche cambiare i dati), o tolgono la farsa di non poter usare le calcolatrici grafiche, almeno non ci prendiamo in giro.
*nicola*
13-03-2006, 19:19
ma finchè si è casa ok...
quello che mi fa incazzare sono le calcolatrici grafiche:
io mi sbatto per studiare e capire i problemi, quando alcuni basta che inseriscano la funzione e hanno TUTTO
Di denunciarli ai professori proprio non mi va, però o pensano problemi veramente intelligenti, ma dovrebbero sbattersi e non hanno voglia (molti adirittura riutilizzano i compiti senza neanche cambiare i dati), o tolgono la farsa di non poter usare le calcolatrici grafiche, almeno non ci prendiamo in giro.
In questo caso sarebbe l'isegnante a dover premiare la capacità di ragionare e capire il problema anzichè risolverlo in un passaggio con la calcolatrice. Se il prof lascia usare le calcolatrici grafiche e queste sono utili per passare gli esami gli alunni fanno bene ad utilizzarle secondo me. E' colpa del prof in questo caso a mio parere.
JL_Picard
14-03-2006, 11:53
Il guaio è che le calcolatrici ormai le fanno usare pure alle elementari..
Lucrezio
14-03-2006, 14:47
stavolta il quotone è mio...
Il mio sfogo era proprio legato all'aspetto da te evidenziato...
Ai miei tempi DOVEVI arrangiarti (quando andava bene uno si faceva in casa i programmini per lo studio di funzioni sul Commodore 64...) e quindi certi esercizi erano una vera e propria palestra mentale...
Oggi basta inserire i dati nel programma (bello e pronto) e lui ti sforna la soluzione...
ma non da la stessa soddisfazione...
Scusa, pensavo ti riferissi al LaTeX (anzi, latex così ziosilvio si arrabbia :asd: ) :eek:
Sono perfettamente d'accordo con te per quanto riguarda problemi a livello di analisi I o II (parlo anche dei corsi che fanno a matematica e fisica... ad ingegneria di solito sono un po' più soft, per cui a maggior ragione!)... certo che diagonalizzare a manina una matrice 8x8, cosa che mi è capitata di fare, è non solo al limite dell'impossibile (un segno ti scappa, inoltre non sempre si viene fuori dai conti), ma anche sostanzialmente inutile quando si può fare con un computer (parlo in particolare dei modi normali di oscillazione di un aggregato cristallino di atomi, l'esercizio era 8x8, ma la complessità non ha limiti :cry: ).
Certo che quando un mio amico mi ha raccontato che un suo ex compagno di classe è stato segato all'esame di geometria per aver sbagliato una domanda idiota (che cosa si può dire con certezza di quattro vettori in R3)... mi verrebbe da dire ben venga ammazzarsi di conti inutili... almeno uno verifica se ha capito quello che sta facendo!
ChristinaAemiliana
14-03-2006, 15:15
Il punto è che occorrerebbe usare gli strumenti in questione al momento giusto e nella corretta misura, e invece si tende a esagerare in entrambi i sensi.
Il termine "palestra mentale" riferito agli esercizi di matematica (e non solo, naturalmente) è quanto di più splendidamente sintetico e appropriato si possa immaginare. Ai miei tempi le calcolatrici avanzate costavano care ed erano ben pochi gli studenti che ne possedevano una (e in ogni caso era proibito portarla all'esame); inoltre le persone che possedevano un computer, e di conseguenza la possibilità di farvi girare un programmino di matematica, erano la minoranza. Così, sugli esercizi ci sudavi veramente: se non te ne veniva uno ci pensavi su anche per ore, e il consiglio più ragionevole che ti davano per affrontarlo era di staccare e fare una pausa, meglio con annessa passeggiata, ed era un ottimo suggerimento perché la maggior parte delle volte come per magia appena ti rimettevi a tavolino ti sovveniva la possibile strada da seguire per giungere alla soluzione. Oggi invece si fa presto ad avviare la calcolatrice o il programmino dopo aver riflettuto sul problema non più di una manciata di minuti.
Io mi ricordo che una o due volte mi sono addirittura svegliata nel cuore della notte con in testa l'illuminazione a riguardo del maledetto esercizio che non voleva venire...a vent'anni ti senti un pirla se ti capitano certe cose ma poi te le ricordi con nostalgia...:p
Poi naturalmente c'erano, da usare alla fine della preparazione, le fotocopie con gli esercizi dati agli esami delle sessioni passate. Per quelli, ti andava bene se ci trovavi la soluzione vergata a mano da qualche anima pia...altrimenti, nemmeno quella. E allora come facevi? Semplicemente a quel punto lì eri così preparato che ti rendevi conto da te se il tuo procedimento fosse corretto e il risultato ragionevole. Nel caso di un compito veramente ostico e strano ti sentivi con qualche compagno di corso e/o andavi direttamente dal docente a chiedere. Ma erano casi rari perché, ribadisco, la mole di esercizi che avevi fatto ti rendeva capace di fare a meno del controllo finale: avevi la sicurezza che si procedesse così.
Una sicurezza che oggi manca perché manca la volontà di soffermarsi a pensare su un esercizio. Lo si risolve subito con il programma e si crede di aver memorizzato che in quei casi si fa così, ma non è vero perché il cervello ha visto passare l'informazione di sfuggita senza farci su fatica e soprattutto senza sbagliarci sopra tanto da ricordare benissimo che certi errori non vanno fatti!
Insomma, se studiate bene vedrete che anche il semplice "controllare" se la disequazione è giusta, o se il grafico è corretto, o ancora se i massimi e minimi vincolati sono quelli che avete scoperto, diventerà un di più...non una necessità senza la soddisfazione della quale non avete la più pallida idea a riguardo della bontà della vostra soluzione. ;)
JL_Picard
14-03-2006, 21:07
Io mi ricordo che una o due volte mi sono addirittura svegliata nel cuore della notte con in testa l'illuminazione a riguardo del maledetto esercizio che non voleva venire...
Non sai a me quante volte è successo...
Anzi spesso le soluzioni "notturne" erano le più brillanti...
Aggiungo che usare direttamente il computer fa perdere di "sensibilità", per cui se si sbaglia ad inserire un dato, non ci rende conto che il risultato è inattendibile...
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