integrale, problema di geom nello spazio e aiuti vari

[Guts]

come risolvo questo integrale?

int x^2/(2-x) dx

ho provato per parti ma viene ancora piu incasinato, nn ho proprio idea di come fare, mi date una mano?

poi nn riesco a capire sto problema,
http://img218.imageshack.us/img218/2970/problema3bs.jpg
come devo fare?
grazie

[funky80]

x^2 = (2-x)(-2-x) + 4 ---> x^2/(2-x) = (2-x)(-2-x)/(2-x) + 4/(2-x) = -2 -x - 4/(x - 2) con x diverso da 2

Ora spezzi la somma in tre integrali, i primi due sono banali,per il terzo sostituisci x-2 = k e lo riconduci a un integrale del tipo 1/k

[Guts]

x^2 = (2-x)(-2-x) + 4 ---> x^2/(2-x) = (2-x)(-2-x)/(2-x) + 4/(2-x) = -2 -x - 4/(x - 2) con x diverso da 2

Ora spezzi la somma in tre integrali, i primi due sono banali,per il terzo sostituisci x-2 = k e lo riconduci a un integrale del tipo 1/k
grazie! nn mi sarebbe mai venuto in mente

[funky80]

ok sono un pò in ritardo ma provo ad aiutarti anche sul secondo problema, lasciando perdere il suggerimento ilo lo imposterei come un problema di norma2 per cui due punti nello spazio sono distanti tra di loro

(x1 - x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1 -z2)^2 sotto radice , cioè il teorema di pitagora esteso allo spazio per intenderci, ora x1,y1 e z1 sono il mio punto e sulle x2,y2,z2 dei punti della retta, ho i vincoli del sistema perciò sostituisco

d^2 = (1- 3t+2)^2 + (2 +2t - 2)^2 + (2 - t +3 )^2 --> faccio i conti e

d^2 = 14t^2 -28t +34 --> ora io cerco la distanza perpendicolare che è la minore possibile per cui cerco il t che minimizza questa d^2 --> derivo il membro a dx e ottengo

28t -28

che và a 0 per t = 1 , da cui avendo una sola sol t, avrò solo quel minimo, perciò risostituisco il t nelle equazioni e ottengo che

x= 1
y= 0
z = 1

è il punto di minor distanza tra quelli della retta,ergo è il punto in cui cade la perpendicolare, in più sostituendo t nella eq la distanza sarà :

d^2 = 20 -> d = radice di 20 = 4,47

Spero di essere stato chiaro e di non aver cannato qualche conto o qualcosa, ciao

[Guts]

grazie mille, nn ci avevo pensato a minimizzare quel risultato, avrei cercato l'intersezione tra la retta e il vettore perpendicolare alla retta passante per quel punto e fatto un sacco di casini, cmq in pratica quello che volevo fare nn so come farlo, e il tuo metodo è molto piu semplice.

[Camus79]

int x^2/(2-x) dx
essendo un integrale di funzioni razionali bastava che eseguissi la divisione dei polinomi, poichè il grado del numertore > di quello del denominatore, tipo:

f(x)
---- = f(x) | g(x)
g(x) |-------
r(x) | q(x)

ottenendo in tal modo la forma

f(x)
--- = q(x) +r(x)/g(x)
g(x)

[funky80]

essendo un integrale di funzioni razionali bastava che eseguissi la divisione dei polinomi, poichè il grado del numertore > di quello del denominatore, tipo:

mi ricordavo che ci fosse una soluzione standard per gli integrali con grado num > grado den, ma non mi veniva, quaindi sono andato a intuito nel risolverlo e nel postare la sol, effettivamente la tua spiegazione è di certo più corretta e valida per tutti gli integrali di quel tipo :D

[Lucrezio]

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?s=&threadid=855791
Dovrebbero esserci i trucchi più generali!

[Guts]

d^2 = (1- 3t+2)^2 + (2 +2t - 2)^2 + (2 - t +3 )^2 --> faccio i conti e

d^2 = 14t^2 -28t +34 --> ora io cerco la distanza perpendicolare che è la minore possibile per cui cerco il t che minimizza questa d^2 --> derivo il membro a dx e ottengo

28t -28

che và a 0 per t = 1 , da cui avendo una sola sol t, avrò solo quel minimo, perciò risostituisco il t nelle equazioni e ottengo che

x= 1
y= 0
z = 1
l'ho riguardato bene e mi è sorto un dubbio. io devo minimizzare la distanza d, nn d^2, quindi dovrei derivare sqrt(14t^2 -28t +34) no?

[funky80]

in linea di principio hai ragione, però in via pratica è la stessa cosa, essendo d sempre > 0 se d^2 è minima anche d lo sarà, in più così si semplifica la derivazione, poi, magari mi sbaglio, ma dalle mie reminiscenze di analisi II credo vada bene

[Lucrezio]

in linea di principio hai ragione, però in via pratica è la stessa cosa, essendo d sempre > 0 se d^2 è minima anche d lo sarà, in più così si semplifica la derivazione, poi, magari mi sbaglio, ma dalle mie reminiscenze di analisi II credo vada bene
Certo! Infatti la derivata di sqrt(f(x)) è 1/2*1/sqrt(f(x)) * f'(x).
La parte con la radice è sempre positiva, quindi è f' di x che fa la differenza (ovviamente f(x) dev'essere positiva, altrimenti la radice non è definita... quindi vanno poste le opportune condizioni ;) )

[Guts]

ho un nuovo dubbio, posto qui tanto è inutile creare mille 3ad.

quando per trovare le componenti di un vettore che passa per due punti, c'è differenza se sottraggo le componenti del primo da quelle del secondo o viceversa all'atto pratico, a parte averle con segno opposto?
io pensavo che in sostanza fosse la stessa cosa, ma mi son ritrovato un problema con un piano e il vettore normale che in cui facendolo in un modo o nell'altro alla fine avevo equazioni differenti.

sempre a riguardo, in questo problema che componenti va a sottrarre? a me facendo
P1P2=<p1x-p2x,p1y-p2y,p1z-p2z> e stessa cosa per P1P3 poi P1P2 X P1P3 viene diverso e di conseguenza l'equazione del piano.
è il secondo esercizio
http://www.mate.polimi.it/web/webspace/files/18/539/soluzioni-seconda-ea-05.pdf
grazie