problema geometrico difficile (per me)

[peter2]

devo calcolare il volume della porzione di spazio delimitata da due triangoli e dalla superficie verticale che collega i loro vertici: il primo triangolo ha vertici di coordinate xyz qualsiasi, il secondo è la proiezione orizzontale del primo su un piano parallelo al piano xy, di equazione z=h. il "bello" è che h può essere qualsiasi quindi il "triangolo proiezione" può pure intersecare l'altro triangolo.
Il problema generale non è difficilissiimo (l'ho risolto in un foglio di calcolo mathcad allegato nello zip) ma devo trovare la funzione inversa, cioè dato un volume V>0 trovare h' tale che V(h')=V.
l'idea originale, poi abbandonata, e anche più semplice concettualmente, era quella di ottenere il volume incognito come differenza tra l'integrale doppio della funzione costante z=h e quella che descrive il piano del triangolo obliquo, ambedue gli integrali estesi alla regione del piano xy delimitata dal "triangolo proiezione": il problema è che bisognerebbe fare un cambio di variabili affinchè questa regione risulti normale ad un asse, ma non mi ricordo come si fa..... :stordita:
capito? spero di si :doh:
nello zip riporto anche un immagine 3d del problema (e il file Autocad dalla quale è stata catturata), che contiene in rosso il triangolo obliquo, in ciano il triangolo orizzontale in tre quote possibili e in verde le loro eventuali intersezioni.

grazie mille a chi si vuole cimentare

[Lucrezio]

Non riesco a capire il problema...
l'idea è che dovresti riuscire a scrivere il sottoinsieme di R^3 che costituisce il tuo solido... quindi basta integrare in dxdydz su quell'insieme!

[JL_Picard]

Spiega meglio:

Quando dici "il primo triangolo ha vertici di coordinate xyz qualsiasi" cosa intendi?

- che ciascuno dei tre vertici del triangolo può avere una terna di coordinate qualsiasi [del tipo A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) C(x3, y3, z3)]

- che ciascuno dei vertici sta su uno degli assi [e quindi del tipo A(x, 0, 0) B(o, y, 0) C(0, 0, z)]

Stando al tuo disegno avremmo:

A (vertice in basso a sinistra) (x, 0, 0)
B (vertice a destra) (0, y, z(B))
C (vertice in alto) (o, 0, z (C))

(ho assunto convenzionalmente come asse x, quello che va verso sinistra, come asse y quello che va verso destra, e come asse z, quello verticale)

Se, come penso vale l'ipotesi che ciascun vertice stia su un asse principale, il tuo disegno è sbagliato (il vertice B dovrebbe stare sull'asse a quota Z=0).

Se invece vale la prima ipotesi, il tuo disegno manca di generalità.

[peter2]

vale la prima ipotesi: i tre vertici possono essere qualsiasi => il disegno manca di generalità, ma è comunque un caso possbile. era solo per facilità di disegno.

[JL_Picard]

Ok.

Tempo permettendo provo a lavorarci sopra...

[peter2]

Ok.

Tempo permettendo provo a lavorarci sopra...

MITICOOO!

PS
hai potuto vedere il foglio mathcad?

[JL_Picard]

No. Non ho mathcad

[JL_Picard]

Visto che il problema è alquanto complesso, posto i risultati parziali, man mano che procedo.

Cominciamo da un po' di convenzioni:

definiamo le coordinate dei tre vertici:

A (x1, y1, z1)
B (x2, y2, z2)
C (x3, y3, z3)

e assumiamo per convenzione (senza perdere in generalità) che sia z1 < z2 < z3.

Poichè il secondo triangolo è "orizzontale" il problema è analogo alla determinazione del Volume sotteso dal Triangolo di partenza, al variare dell'altezza rispetto ad un arbitrario piano xy.

finchè h <= z1 oppure h>= z3 Il Volume sotteso è facilmente determinabile, sostituendo alle coordinate z le coordinate z'=z-h.

In questo modo il Volume è funzione di h.

Per trovare h basta invertire la formula del Volume.

La cosa non dovrebbe essere difficile, perchè V(h) è una funzione lineare di h.

nel caso in cui z1 < h < z3 la cosa si complica, perchè il piano interseca il trinagolo.

occorre pertanto scomporre in due l'intervallo di integrazione, avendo come comune limite il segmento di retta (con z=h) ottenuto dall'intersezione del piano con il triangolo.

Fatto ciò si sommano i Volumi dei due solidi (attenzione ai segni!) ottenendo una funzione di h, che deve essere invertita per trovare h in funzione di V.