help problema

[Tissot]

salve,

ho bisogno di un aiutino:


In una certa coltura di batteri, la cui crescita è proporzionale al loro numero, il numero dei batteri triplica ogni 3 giorni. Se alla fine dei 7 giorni nella coltura vi sono 10 millioni di batteri, quanati ne erano presenti inizialmente?

ringrazio anticipatamente

[Lucrezio]

salve,

ho bisogno di un aiutino:


In una certa coltura di batteri, la cui crescita è proporzionale al loro numero, il numero dei batteri triplica ogni 3 giorni. Se alla fine dei 7 giorni nella coltura vi sono 10 millioni di batteri, quanati ne erano presenti inizialmente?

ringrazio anticipatamente

Ciao!
Si tratta di un problema tipico sulle equazioni differenziali, si tratta solo di impostarlo con cura!
Un modo semplice è di dire che se ogni tre giorni i batteri triplicano, essi saranno
http://operaez.net/mimetex/n(t)=n_0 3^{t/3}
Vediamo se funziona:
all'inizio (t=0) i batteri sono proprio n0
dopo tre giorni i batteri sono n0*3
dovo sei giorni i batteri sono n0*9 = n0*3*3
E così via.
Questo risultato si potrebbe ricavare un po' più formalmente da un'equazione differenziale, che ti descrive l'aumento della popolazione in funzione della popolazione stessa:
http://operaez.net/mimetex/\frac{dx}{dt}=\frac{\ln(3)}{3}x
con la condizione al contorno x(0) = n0
Ora veniamo al tuo problema specifico:
dopo sette giorni i batteri saranno
http://operaez.net/mimetex/n(7)=n_0 \cdot 3^{7/3} \simeq n_0 \cdot 12,98 = 10000000 \Rightarrow n_0 \simeq 770416

[pietro84]

x(n) numero di batteri alla fine del giorno n

x(7)= 10 milioni
x(4)=(10/3) milioni

x(1)=(10/9) milioni che è la soluzione

[Lucrezio]

x(n) numero di batteri alla fine del giorno n

x(7)= 10 milioni
x(4)=(10/3) milioni

x(1)=(10/9) milioni che è la soluzione
a lui serve x(0) però...

[david82]

non so neanche cosa siano le equazioni differenziali :D
però ho trovato questo risultato 770.401 :rolleyes: con nozioni di base... :p

[pietro84]

mi sa che hai ragione.... :D mi ero distratto....
è una equazione alle differenze non differenziale,se serve x(0) bisogna risolverla rigorosamente:

l'equazione da risolvere è questa:

x(n+3)=3*x(n)
n(7)= 10 milioni

l'equazione caratteristica è questa:
z^3=3------------> z=sqrt3(3) (radice cubica di 3)

x(n)=c (sqrt3(3))^n
x(7)=10 milioni

x(7)=c (sqrt3(3))^7=10 milioni
dall'ultima equazione di ricava:

c=0.77 milioni


quindi la soluzione dell'equazione alle differenze è:

x(n)=0.77 milioni * (sqrt3(3))^n

che è valida per qualunque n appartente all'insieme dei numeri naturali.

per il giono 0 si ha :

x(0)=0.77 milioni

ora dovrebbe andar bene :D

[pietro84]

n(7)= 10 milioni

ps ho sbagliato a scrivere l'espressione corretta è:

x(7)=10 milioni

[gtr84]

mi sa che hai ragione.... :D mi ero distratto....
è una equazione alle differenze non differenziale,se serve x(0) bisogna risolverla rigorosamente:



l'equazione caratteristica è questa:
z^3=3------------> z=sqrt3(3) (radice cubica di 3)

ora dovrebbe andar bene :D


Non ho mai visto questo metodo di risoluzione

come si chiama?

[david82]

Non ho mai visto questo metodo di risoluzione

come si chiama?
mmm... intuito? :rolleyes:
visto che non so cosa siano i differenziali, ho usato quello che sapevo. (ho usato il suo stesso procedimento, e il risultato è pure più corretto).

in pratica il primo giorno hai 1 batterio, dopo 3 giorni ne hai 3. quindi dopo 1 giorno ne hai x, dopo 2 giorni x^2, dopo 3 giorni x^3.
x^3=3, quindi... ogni giorno i batteri si moltiplicano per la radice cubica di 3 (che infatti se la moltiplichi per se stessa 3 volte, ottieni 3). :)

[gtr84]

mmm... intuito? :rolleyes:
visto che non so cosa siano i differenziali, ho usato quello che sapevo. (ho usato il suo stesso procedimento, e il risultato è pure più corretto).

in pratica il primo giorno hai 1 batterio, dopo 3 giorni ne hai 3. quindi dopo 1 giorno ne hai x, dopo 2 giorni x^2, dopo 3 giorni x^3.
x^3=3, quindi... ogni giorno i batteri si moltiplicano per la radice cubica di 3 (che infatti se la moltiplichi per se stessa 3 volte, ottieni 3). :)

si ma pietro non ci è arrivato facendo
questo raionamento

è partito da questa equazione

n(t+3)=3n(t) con la condiziona al contorno

n(7)=10^6


e poi ha impostato un'equazione caratteristica.

volevo sapere se questo metodo se l'è inventato
sul momento o se si usa di frequente.

[pietro84]

Non ho mai visto questo metodo di risoluzione

come si chiama?

è il metodo di risoluzione delle equazioni alle differenze. è un metodo standard,è analogo a quello di risoluzione per le equazioni differenziali ;)

[pietro84]

volevo sapere se questo metodo se l'è inventato
sul momento o se si usa di frequente.

purtroppo non sono cosi intelligente da poterlo inventare sul momento :D

si usa per risolvere semplici equazioni alle differenze.

[gtr84]

purtroppo non sono cosi intelligente da poterlo inventare sul momento :D

si usa per risolvere semplici equazioni alle differenze.

che strano, non ho mai incontrato su nessun libro
di testo queste cosiddette equazioni alle differenze...

[pietro84]

che strano, non ho mai incontrato su nessun libro
di testo queste cosiddette equazioni alle differenze...

io le studiai a teoria dei sistemi,si utilizzano per descrivere i sistemi tempo-discreto.
però si studiano anche in algoritmi e strutture dati,ad esempio per risolvere con un algoritmo numerico l'equazione alle differenze di Fibonacci(e problemi simili)...

[gtr84]

io le studiai a teoria dei sistemi,si utilizzano per descrivere i sistemi tempo-discreto.
però si studiano anche in algoritmi e strutture dati,ad esempio per risolvere con un algoritmo numerico l'equazione alle differenze di Fibonacci(e problemi simili)...


insomma cosa che si fanno in informatica o in ingegneria?

[pietro84]

in teoria dei sistemi è uno strumento fondamentale,però le equaz alle differenze si risolvono con la trasformata Z perchè sono più complicate e sono un sistema di equazioni,quindi non con quel metodo.
in algoritmi è un argomento marginale....
penso che si fanno anche a matematica. ma tu studi fisica allora?

[gtr84]

in teoria dei sistemi è uno strumento fondamentale,però le equaz alle differenze si risolvono con la trasformata Z perchè sono più complicate e sono un sistema di equazioni,quindi non con quel metodo.
in algoritmi è un argomento marginale....
penso che si fanno anche a matematica. ma tu studi fisica allora?

si e di queste equazioni alle differenze non avevo mai sentito
parlare :D

[pietro84]

si e di queste equazioni alle differenze non avevo mai sentito
parlare :D

beh perchè in fisica(almeno nella fisica classica,la meccanica quantistica non l'ho ancora studiata)tutti i sistemi si approssimano come tempo-continui. quindi non ti servono le equazioni alle differenze per descriverli. ;)