View Full Version : Limite...si fà così?
D4rkAng3l
21-11-2005, 23:14
Considerando questo limite:
limite di n che tende ad infinito di:
(ln(n!))/(n^2)
insomma logaritmo di n fattoriale è il numeratore e n al quadrato è il denominatore.
Secondo me ad occhio direi che n! cresce molto velocemente ma è comunque l'argomento della funzione logaritmo che invece cresce molto lentamente per cui ln(n!) cresce lentamente.
al denominatore n^2 cresce abbastanza velocemente
per cui per la stima asintotica a numeratore ho una quantità che và ad infinito lentamente, a denominatore una quantità che và ad infinito più velocemente e il limite tende a 0
Ci può stare come raggionamento? mmm non mi vengono in mente limiti notevoli con i fattoriali...
Conosci la formula di Stirling?
Ziosilvio
22-11-2005, 09:51
Come ha già detto r_howie, questo problema richiede l'uso della formula di Stirling:
e^n n!
lim ---------------- = 1
n-->oo n^n sqrt(2 n Pi)
Questa formula si rilegge dicendo che n! = Theta((n/e)^n sqrt(2 n Pi)).
Passa ai logaritmi...
JL_Picard
22-11-2005, 11:05
leggi QUI (http://www.robertobigoni.it/Matematica/Probabilita/gamma/gamma.htm)
l'ultima formula dà un'approssimazione di ln (n!) per n grande...
sostituisci nella tua espressione ed arriverai a calcolare il limite cercato (=0)
D4rkAng3l
22-11-2005, 12:06
leggi QUI (http://www.robertobigoni.it/Matematica/Probabilita/gamma/gamma.htm)
l'ultima formula dà un'approssimazione di ln (n!) per n grande...
sostituisci nella tua espressione ed arriverai a calcolare il limite cercato (=0)
allora dell'esistenza di Stirling già lo sapevo perchè me ne aveva parlato un amico fisico...noi stirling non lo abbiamo fatto...senza usare Stirling come raggionamento può filare?
il tuo ragionamento dovrebbe essere giusto...la successione converge a 0 ;)
Ziosilvio
22-11-2005, 15:22
senza usare Stirling come raggionamento può filare?
Senza usare Stirling, ma sapendo che log n! = O(n log n), direi che sì, come ragionamento può filare.
Senza usare Stirling, ma sapendo che log n! = O(n log n), direi che sì, come ragionamento può filare.
Scusa l'ignoranza ma che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?
D4rkAng3l
22-11-2005, 17:30
Scusa l'ignoranza ma che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?
infatti che intyendi? :eek:
Scusa l'ignoranza ma che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?
infatti che intyendi? :eek:
La notazione O grande (http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation) è usata soprattutto in informatica.
Quando si scrive che f(n) è O(g(n)), si intende che f cresce con velocità al più (= minore o uguale a quella di) g. Similmente, Ω omega grande significa "crescere almeno come" e Θ theta grande significa "crescere esattamente come".
Il tutto tenendo a mente che:
1) la notazione vale per n molto grandi. Quanto grandi? Quanto basta. :)
2) le relazioni valgono a meno di costanti.
Probabilmente ad analisi matematica ti insegneranno l'algebra degli "o piccoli"; è comoda per risolvere i limiti ad esempio con gli sviluppi di Taylor.
Spostato in Scienza e tecnica
MOVED!!
>bYeZ<
D4rkAng3l
22-11-2005, 23:21
a freeman ma te ci diverti a chiude e sposta i 3d...scusa perchè non poteva stare in scuola e lavoro?ha a che fare con argomenti di studio più che di "scienza"...è un'argomento abbastanza didattico...
le discussioni didattiche vengono da sempre affrontate in scienza e tecnica.. scuola e lavoro è rivolta alla fase finale dello studio e inziale del lavoro, o cmq del lavoro in genere
invece di lamenterti sempre (a sproposito) perchè non guardi che thread vengono aperti nelle sezioni così ti rendi conto da solo dove postare? ;)
>bYeZ<
dimenticavo: come tua consuetudine pensi che i thread in rilievo siano messi li per sport.. andrebbero invece LETTI!
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=878805
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=878803
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=854456
>bYeZ<
D4rkAng3l
22-11-2005, 23:33
le discussioni didattiche vengono da sempre affrontate in scienza e tecnica.. scuola e lavoro è rivolta alla fase finale dello studio e inziale del lavoro, o cmq del lavoro in genere
invece di lamenterti sempre (a sproposito) perchè non guardi che thread vengono aperti nelle sezioni così ti rendi conto da solo dove postare? ;)
>bYeZ<
si vabbp tranquillo però...non ti inacidere e non sottolineare così la parola: "a sproposito" suvvia sono le 00:32 avrai anche di meglio da fare che inacidirti con me :-P
Notteee
Andrea
Non mi inacidisco e non ho la scadenza come gli yogurt.. tranqui
;)
vedi solo di stare + attento... anche se sono anni che te lo dico :muro:
>bYeZ<
darché,
il limite poi l'hai capito? Comunque non è essenziale che tu sappia cos'è la notazione O grande, a meno che non lo facciate nel corso.
È analisi matematica, vero? In quale corso di laurea?
Ziosilvio
23-11-2005, 09:50
che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?
La scrittura f(n)=O(g(n)) indica che esistono una costante C>0 e un numero n0 tali che f(n)<=Cg(n) per ogni n>n0.
Per la cronaca il ragionamento del confronto di infiniti non va bene. Il limite si può risolvere consideranto log n! = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n e applicando il teorema di Cesaro: siano an e bn due successioni di numeri reali con bn divergente positivamente e strettamente crescente (è il nostro caso) o divergente negativamente e strettamente decrescente. Se esiste:
lim (an+1-an)/(bn+1-bn)=a appartenete a R esteso
allora esiste anche lim an/bn=a
Quindi basta construire la successione di Cesaro e si vede immediatamente che essa converge a zero.
Consideriamo la successione log n! / n (invece di n^2)...con lo stesso procedimento si trova che essa diverge positivamente...eppure se facessimo un confronto di infiniti saremmo portati a dire che anche questa successione converge a zero...
Ziosilvio
24-11-2005, 14:53
Per la cronaca il ragionamento del confronto di infiniti non va bene.
Invece va bene: continua a leggere.
Il limite si può risolvere consideranto log n! = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n e applicando il teorema di Cesaro: siano an e bn due successioni di numeri reali con bn divergente positivamente e strettamente crescente (è il nostro caso) o divergente negativamente e strettamente decrescente. Se esiste:
lim (an+1-an)/(bn+1-bn)=a appartenete a R esteso
allora esiste anche lim an/bn=a
Quindi basta construire la successione di Cesaro e si vede immediatamente che essa converge a zero.
Infatti se:
a[n] = log n! ; b[n] = n^2
allora:
(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]]-b[n])
= (log (n+1)! - log n!)/((n+1)^2-n^2)
= (log(n+1))/(2n+1)
che tende a 0.
Consideriamo la successione log n! / n (invece di n^2)...con lo stesso procedimento si trova che essa diverge positivamente
Infatti qui a[n] = log n! e b[n]=n, quindi (a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) = log(n+1).
eppure se facessimo un confronto di infiniti saremmo portati a dire che anche questa successione converge a zero
Niente affatto: dall'approssimazione di Stirling segue:
log n! = n log n - n + 0.5 log n + costanti + infinitesimi
quindi:
(log n!)/n = log n + costanti + infinitesimi
che diverge positivamente.
Invece va bene: continua a leggere.
io non mi riferivo al metodo che hai esposto tu ma a quello che DarkAngel aveva scritto nel primo post del 3d...Insomma il metodo "a occhio" :)
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