View Full Version : x i matematici
Dunque:problema sulle serie.
dimostrare che la serie (sommatoria con n che va da 1 a inf.) di an (con an > 0 per ogni n appartenente a N)converge
SE E SOLO SE
la (sommatoria con che va da 1 a inf.) di a_n/((a_n)+1)) converge.
che criterio usereste voi?
EDIT:errore di scrittura,non so dove sbattere la testa :muro: :muro: :muro: :muro:
come posso fare?cioè come fareste voi? :)
Credo confronto asintotico
Ziosilvio
04-11-2005, 12:18
dimostrare che la serie (sommatoria con n che va da 1 a inf.) di an converge
SE E SOLO SE
la (sommatoria con che va da 1 a inf.) di an/a(n+1) converge.
Per serie arbitrarie l'enunciato è falso.
Prendi la serie armonica a segni alterni, in cui a(n)=(-1)^n/n: la serie degli a(n) converge per il criterio di Leibniz, ma a(n)/a(n+1) converge a -1 anziché a 0 e di conseguenza la serie degli a(n)/a(n+1) non converge.
Sicuro che non ci siano ipotesi in più, tipo termini non negativi?
Per serie arbitrarie l'enunciato è falso.
Prendi la serie armonica a segni alterni, in cui a(n)=(-1)^n/n: la serie degli a(n) converge per il criterio di Leibniz, ma a(n)/a(n+1) converge a -1 anziché a 0 e di conseguenza la serie degli a(n)/a(n+1) non converge.
Sicuro che non ci siano ipotesi in più, tipo termini non negativi?
:| mea culpa.
ho dimenticato an>0 per ogni n appartenente a N
sotto quest'ottica come procederesti?
ho dimenticato an>0 per ogni n appartenente a N
Io inizierei a preoccuparmi :D
anche se an > 0 per ogni n in N puoi trovare serie convergenti per cui non vale la condizione (quindi non vale il SOLO SE). Ad esempio 1/2^n ha rapporto costante 2, e la somma di infiniti 2 è ovviamente infinita.
Quello che mi lascia più perplesso è che il rapporto sia a_n/a_n+1; poichè il termine n-esimo di una serie deve tendere a 0 perchè si sia convergenza (condizione necessaria), questo significa che a_n+1 > a_n sempre, per indici abbastanza grandi. E questo significa che la serie a_n non può mai convergere :p
Sempre che non abbia preso cantonate :p
Io inizierei a preoccuparmi :D
anche se an > 0 per ogni n in N puoi trovare serie convergenti per cui non vale la condizione (quindi non vale il SOLO SE). Ad esempio 1/2^n ha rapporto costante 2, e la somma di infiniti 2 è ovviamente infinita.
Quello che mi lascia più perplesso è che il rapporto sia a_n/a_n+1; poichè il termine n-esimo di una serie deve tendere a 0 perchè si sia convergenza (condizione necessaria), questo significa che a_n+1 > a_n sempre, per indici abbastanza grandi. E questo significa che la serie a_n non può mai convergere :p
Sempre che non abbia preso cantonate :p
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ennesimo errore di trasposizione(la prossima volta scannerizzo la pagina...)
la serie è a_n/(a_n)+1 e non (a_n+1) come da me erroneamente scritto
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scusate ma ultimamente sto davvero sfasato(troppa matematica x un informatico :stordita: :stordita: :stordita: )
ennesimo errore di trasposizione(la prossima volta scannerizzo la pagina...)
la serie è a_n/(a_n)+1 e non (a_n+1) come da me erroneamente scritto
Allora puoi fare così: per n sufficientemente grande a_n è sicuramente minore di 1 se la serie converge; quindi abbiamo:
a_n/2 <= a_n/(a_n + 1) <= a_n
se la serie a_n converge, per il criterio del confronto converge anche a_n/(a_n + 1)
se a_n/(a_n + 1) converge, converge anche a_n/2, cioè la serie a_n moltiplicata per il coefficiente 1/2. Poichè il coefficiente non influenza la convergenza, converge anche a_n.
AGGIUNTA: se a_n è sempre maggiore di 1, entrambe le serie non convergono perchè non rispettano la condizione necessaria di convergenza. Infatti abbiamo a_n > 1 e a_n/(a_n + 1) > 1/2 per ogni N.
Allora puoi fare così: per n sufficientemente grande a_n è sicuramente minore di 1 se la serie converge; quindi abbiamo:
a_n/2 <= a_n/(a_n + 1) <= a_n
se la serie a_n converge, per il criterio del confronto converge anche a_n/(a_n + 1)
se a_n/(a_n + 1) converge, converge anche a_n/2, cioè la serie a_n moltiplicata per il coefficiente 1/2. Poichè il coefficiente non influenza la convergenza, converge anche a_n.
AGGIUNTA: se a_n è sempre maggiore di 1, entrambe le serie non convergono perchè non rispettano la condizione necessaria di convergenza. Infatti abbiamo a_n > 1 e a_n/(a_n + 1) > 1/2 per ogni N.
era davvero facile,visto cosi...
mi sento molto :huh: :huh: :huh:
era davvero facile,visto cosi...
mi sento molto :huh: :huh: :huh:
Allora,visto che ho fatto una figura pessima,vi propongo quest'integrale,presumendo che sia + difficile del problema di prima :P
Determinare i valori di alfa compreso tra 2 e +inf. per cui il seguente integrale ESISTE FINITO
(integrale definito tra 0 e +inf) ((x+1)* sen^2 (x))/x^alfa
dunque il problema si potrebbe risolvere col criterio del confronto,anche lui(per determinare la convergenza)però il testo mi chiede ALFA,i valori per cui l'integrale esiste finito...
ho provato a fare un pò di conti ,mi riporta alfa tra 2 e 4...però svolgendo l'integrale (e mettendo alfa tra 2 e 4)con un solutore online,mi dice che l'integrale non esiste.....
quali sono i passaggi per trovare sto alfa? :)
Allora,visto che ho fatto una figura pessima,vi propongo quest'integrale,presumendo che sia + difficile del problema di prima :P
Un consiglio: ricorri sempre alle maggiorazioni se possibile, quando funzionano risolvono i problemi in modo molto rapido ;)
L'integrale lo puoi maggiorare con 2/x^(alpha-1) per x -> oo e con 1/x^(alpha-2) per x -> 0 (ricorda l'asintoticità, sin(x) ~ x). I conti li lascio fare a te ;)
L'unica cosa che mi lascia perplesso (a meno di errori) è che l'estremo superiore mi esce 3 anzichè 4.
I risolutori online (numerici) lasciali perdere, di solito assumono che la funzione non abbia singolarità (e qui invece ci sono). In questi casi il metodo numerico salta e ti dice di tutto :D
Un consiglio: ricorri sempre alle maggiorazioni se possibile, quando funzionano risolvono i problemi in modo molto rapido ;)
ok,grazie del consiglio :D
L'integrale lo puoi maggiorare con 2/x^(alpha-1) per x -> oo e con 1/x^(alpha-2) per x -> 0 (ricorda l'asintoticità, sin(x) ~ x). I conti li lascio fare a te ;)
non mi è chiaro come 2/x^(alfa-1) sia una maggiorazione di ((x+1)sen^2 (x))/x^alfa a +infinito....dipende solo dal fatto che è diviso per un "x con esponente minore"??
:muro: :muro:
grazie ancora per il supporto ;)
non mi è chiaro come 2/x^(alfa-1) sia una maggiorazione di ((x+1)sen^2 (x))/x^alfa a +infinito....dipende solo dal fatto che è diviso per un "x con esponente minore"??
No, semplici manipolazioni con le diseguaglianze.
((x+1)sen^2 (x))/x^alfa <= (x+1)/x^alpha <= 2x/x^alpha = 2/x^(alpha-1)
Poi generalmente basta vede l'asintoticità, non serve fare le maggiorazioni tutte le volte ;)
Se f(x) ~ g(x) per x -> l, si può scrivere:
1/2 g(x) <= f(x) <= 2 g(x)
in un intorno del limite l, e quindi la convergenza/divergenza dell'integrale di g si trasporta su f.
No, semplici manipolazioni con le diseguaglianze.
((x+1)sen^2 (x))/x^alfa <= (x+1)/x^alpha <= 2x/x^alpha = 2/x^(alpha-1)
Poi generalmente basta vede l'asintoticità, non serve fare le maggiorazioni tutte le volte ;)
Se f(x) ~ g(x) per x -> l, si può scrivere:
1/2 g(x) <= f(x) <= 2 g(x)
in un intorno del limite l, e quindi la convergenza/divergenza dell'integrale di g si trasporta su f.
studi matematica? :)
cmq grazie ho capito quasi tutto quello che hai scritto :)
:cincin: :mano: :cincin:
studi matematica? :)
No, sono i ricordi di analisi I :p
Il prof era molto bravo. Ha insistito molto sui teoremi di confronto e sugli asintotici, e ha fatto bene :D
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