ygnoto
23-10-2005, 11:21
Ho già letto qualcosuccia in giro, ma ho non ho ben appreso quello che era scritto, o era scritto male... Vi sarei grato se qualcuno potesse illuminarmi!!!
:D
Grazie :)
:D
Grazie :)
View Full Version : Meno per meno fa più???
xenom
23-10-2005, 11:38
da quello che ti insegnano a scuola - per - fa +, ma poi sai com'è, il 90% di quello che ti insegnano a sQuola è incompleto o filosoficamente errato :D
Ziosilvio
23-10-2005, 14:19
da quello che ti insegnano a scuola - per - fa +, ma poi sai com'è, il 90% di quello che ti insegnano a sQuola è incompleto o filosoficamente errato :D
Allora il "meno per meno fa più" è nell'altro 10%.
Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.
Allora il "meno per meno fa più" è nell'altro 10%.
Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.
gtr84
23-10-2005, 14:31
c'è anche un nesso geometrico con la questione
se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,
volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.
quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva
quindi (-1)*(-1) = 1
se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,
volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.
quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva
quindi (-1)*(-1) = 1
ygnoto
23-10-2005, 14:51
Allora il "meno per meno fa più" è nell'altro 10%.
Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.
Non è che abbia capito tanto... :cry:
Scus ma non mi è chiaro il tutto, la commutatività è verificata anche se -5*-7=-35, no???
Il reto dei calcoli che hai scritto, non ne ho proprio capito il senso... :(
Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.
Non è che abbia capito tanto... :cry:
Scus ma non mi è chiaro il tutto, la commutatività è verificata anche se -5*-7=-35, no???
Il reto dei calcoli che hai scritto, non ne ho proprio capito il senso... :(
Ziosilvio
23-10-2005, 15:00
la commutatività è verificata anche se -5*-7=-35, no?
La commutatività, forse; l'associatività sicuramente no.
(Facendo (-5)*(-7)=-35, ti perdi per strada un fattore -1.)
La commutatività, forse; l'associatività sicuramente no.
(Facendo (-5)*(-7)=-35, ti perdi per strada un fattore -1.)
CioKKoBaMBuZzo
23-10-2005, 15:06
c'è anche un nesso geometrico con la questione
se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,
volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.
quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva
quindi (-1)*(-1) = 1
no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,
volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.
quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva
quindi (-1)*(-1) = 1
no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
CioKKoBaMBuZzo
23-10-2005, 15:12
ma la spiegazione non potrebbe essere anche, per così dire, metamatematica? nel senso che io posso pensare: moltiplico un numero negativo per un numero negativo di volte, quindi il risultato sarà positivo.
cazzata? :stordita:
cazzata? :stordita:
ygnoto
23-10-2005, 18:56
:stordita:
Continuo a non esserne certo... :rolleyes:
Continuo a non esserne certo... :rolleyes:
gtr84
23-10-2005, 19:28
no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..
CioKKoBaMBuZzo
23-10-2005, 20:00
ah ok ho capito male allora :D
gtr84
23-10-2005, 20:15
no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1
la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..
*sasha ITALIA*
23-10-2005, 20:57
non c'ho capito na sega :mbe:
Voi o siete malati, o dannatamente GENI :stordita:
Voi o siete malati, o dannatamente GENI :stordita:
Fradetti
23-10-2005, 21:45
la matemaitca è piena di cose che a meno che tu non sia una specie di genio o tu non faccia facoltà tipo informatica, fisica o matematica devi prendere come dati di fatto.
uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.
uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.
ygnoto
23-10-2005, 23:18
la matemaitca è piena di cose che a meno che tu non sia una specie di genio o tu non faccia facoltà tipo informatica, fisica o matematica devi prendere come dati di fatto.
uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.
Ma ti rendi conto di quello che hai detto... :stordita:
La cosa che poi non mi convince molto è che per ottenere un quadrato negativo lo si può ottenere solo con gli immaginari:
- * - = +
+ * + = +
i * i = -
Scusa ma per proprietà associativa e distributiva, che si intende???
Mi sapreste passare qualche cosa a riguardo, please... :)
Grazie :rolleyes:
uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.
Ma ti rendi conto di quello che hai detto... :stordita:
La cosa che poi non mi convince molto è che per ottenere un quadrato negativo lo si può ottenere solo con gli immaginari:
- * - = +
+ * + = +
i * i = -
Scusa ma per proprietà associativa e distributiva, che si intende???
Mi sapreste passare qualche cosa a riguardo, please... :)
Grazie :rolleyes:
idum
23-10-2005, 23:31
Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
xxxyyy
24-10-2005, 00:44
Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
Me coijoni....
CAPOLAVORO!
:D
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
Me coijoni....
CAPOLAVORO!
:D
VegetaSSJ5
24-10-2005, 00:46
Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
non fa una piega! bravo! :sofico:
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
non fa una piega! bravo! :sofico:
AleX_ZeTa
24-10-2005, 01:46
temo che non sarò troppo chiaro per chi non ha mai visto nulla di queste cose, ma non sono paricolarmente difficili, basta ragionarci un po'. Il tentativo è quello di essere il più completo possibile. Purtroppo in matematica di cose banali (nel senso che si dimostrano in due righe a partire da zero, o quasi) ce ne sono poche
Definiamo prima le proprietà che poi useremo:
(con +,* intendo due generiche operazioni, non necessariamente somma e prodotto)
COMMUTATIVA: a + b =b + a
ASSOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c
DISTRIBUTIVA (di * rispetto a +): a * (b + c) = (a * b) + (b * c)
Prendiamo ora i numeri Naturali:
sono definiti dagli Assiomi di Peano (http://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano)
che riassumo brevemente in:
- esiste un elemento minimo: lo 0
- ogni elemento ha un unico successore (in pratica 5 ha come successore 6)
- ogni elemento, escluso lo 0, è successore di un unico numero naturale (6 è successore di 5)
- è totalmente ordinato: se m,n sono due numeri naturali, allora si può dire qual è il maggiore dei due (cosa che non si può fare in altri insiemi... prova a prendere due punti del piano, in base a cosa dici che uno è maggiore dell'altro?)
Definiamo ora due operazioni su N: + e *
prima la SOMMA:
la definizione "vera" di somma è fondata sulla teoria degli insiemi e su una particolare costruzione di N. Io ne do una definizione - poco formale - ma più comprensibile:
siano m,n due numeri naturali. Definiamo k = n + m :
la definiamo attraverso una sorta di "ciclo": aumento n di 1 (prendo il successore, che esiste ed è unico dagli assiomi) e diminuisco m di 1 (prendo il precedente etc...) finché m non fa 0. A questo punto il numero che ho ottenuto aumentando n è proprio k. Per intenderci (m=3, n=2):
3 + 2
4 + 1
5 + 0
quindi k = 5
E' facile vedere che la somma è associativa e commutativa
definiamo ora il PRODOTTO:
k = m * n
Anche qui la definizione formale è più complicata, cerchiamo solo di capire di cosa si parla: faccio come prima, solo che ora ho già definito la somma. Quindi aumento m di m e diminuisco n di 1, fino a 1.
Esempio (m=3, n=4):
3 * 4
6 * 3
9 * 2
12 * 1
quindi k = 12
Anche qui è facile vedere che il prodotto è associativo, commutativo E distributivo rispetto alla somma (3 * (2 + 1) = 3*2 + 3*1)
E fin qua abbiamo definito solo i naturali. Per passare ai numeri interi (Z) la transizione non è banale. Vediamo se riesco ad essere non troppo complicato:
prendiamo tutte le coppie di numeri interi (m,n). Da questo grosso insieme ora vogliamo ricavare Z. Qual è l'idea? L'idea è di dire che un numero intero z è definito dalla coppia (m,n) nel modo "banale": z = m - n.
Ma qua sorge già un problema: la definizione non è unica. Ad esempio -2 si può scrivere come 4 - 6, ma anche come 0 - 2. Quindi le coppie (4,6) e (0,2) rappresenterebbero lo stesso numero. Dobbiamo risolvere questo problema (in termini formali vogliamo "quozientare rispetto ad una relazione di equivalenza). Beh allora diciamo che due coppie (m,n) e (m',n') rappresentano lo stesso numero (che chiameremo z) se e solo se m + n' = n + m', cioè se m - n = m' - n'
in questo modo abbiamo il nostro numero z.
Definiamo ora le due operazioni: la SOMMA è banale:
sia z=(a,b) e w=(c,d) [due qualsiasi coppie di naturali la cui differenza faccia rispettivamente z e w]
allora z + w = (a + c, b + d)
Così abbiamo esteso la somma sui naturali a quella sugli interi. E' ancora associativa e commutativa (segue dalle proprietà sui naturali).
Ora il PRODOTTO (e siamo finalmente arrivati a quel - * - = +). Questo è più difficile. L'idea è di utilizzare la stessa costruzione usata per i naturali, con qualche piccola differenza.
Siano z = (a,b) e w = (c,d). Vogliamo x = z * w = (a,b) * (c,d) = (e,f)
Cerchiamo quindi questi (e,f)
Vogliamo che il prodotto abbia tutte le proprietà che ha sui naturali: associativa, commutativa e distributiva rispetto alla somma.
Inoltre gli interi contengono tutti i naturali: a = a - 0, quindi tutte le coppie (a,0) e quelle ad esse equivalenti rappresentano numeri naturali. E sui naturali il prodotto lo so fare!
quindi, siano due naturali a = (a,0) e b = (b,0) so che il loro prodotto è a*b = (a*b, 0). Quindi definisco (a,0) * (b,0) = (a*b,0)
Ora, per quanto detto sopra, so che (a,0) = (a + b, b) = (a, 0) + (b, 0) + (0, b)
quindi (a,0)*(c,0) = (a + b, b)*(c,0) = [(a,0) + (b, 0) + (0, b)] * (c,0) = (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0)
ma so anche che (a,0)*(c,0) = (a*c,0)
quindi (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = (a*c,0)
se ne deduce banalmente che (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = 0 = (x,x) [x -x = 0...]
quindi possiamo porre (0,b)*(c,0) = (0,b*c)
abbiamo quindi definito i due prodotti di base:
(a,0) * (b,0) = (a*b, 0)
(0, a) * (b, 0) = (0, a*b)
segue anche che (0,a) * (0,b) = (a*b,0)
infatti: (0, a) = (a, 2a)
segue che: (0,a)*(0,b) = [(a,0) + (0,a) + (0,a)]*(0,b) = (0, a*b) + (0,a)*(0,b) + (0,a)*(0,b)
quindi: 0 = (x,x) = (0, a*b) + (0,a)* (0,b)
come sopra possiamo quindi porre (0,a)*(0,b) = (a*b,0)
con questi ingredienti il prodotto è completamente definito e soddisfa le 3 proprietà (è stato ricavato grazie ad esse, cmq basta fare un semplice controllo).
E da questo discende il famoso - * - = +
infatti possiamo scrivere -1 come (0,1)
beh allora (-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1*1,0) = (1,0) = +1
note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta. Di dimostrazioni intuitive ne erano state già fornite, e se si poteva avere dubbi sulla correttezza di esse, è più difficile averne sulla trattazione assiomatica (che è però di comprensione indubbiamente più ostica). E' sicuramente necessario uno sforzo, ma può essere utile vedere che anche le cose apparentemente più elementari possono essere tutt'altro che banali. Quello che ho scritto è incompleto e non del tutto corretto/formale, ma questo avrebbe richiesto conoscenze ben più profonde della semplice intuizione matematica (anche se mi sarei risparmiato molto lavoro^^).
Definiamo prima le proprietà che poi useremo:
(con +,* intendo due generiche operazioni, non necessariamente somma e prodotto)
COMMUTATIVA: a + b =b + a
ASSOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c
DISTRIBUTIVA (di * rispetto a +): a * (b + c) = (a * b) + (b * c)
Prendiamo ora i numeri Naturali:
sono definiti dagli Assiomi di Peano (http://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano)
che riassumo brevemente in:
- esiste un elemento minimo: lo 0
- ogni elemento ha un unico successore (in pratica 5 ha come successore 6)
- ogni elemento, escluso lo 0, è successore di un unico numero naturale (6 è successore di 5)
- è totalmente ordinato: se m,n sono due numeri naturali, allora si può dire qual è il maggiore dei due (cosa che non si può fare in altri insiemi... prova a prendere due punti del piano, in base a cosa dici che uno è maggiore dell'altro?)
Definiamo ora due operazioni su N: + e *
prima la SOMMA:
la definizione "vera" di somma è fondata sulla teoria degli insiemi e su una particolare costruzione di N. Io ne do una definizione - poco formale - ma più comprensibile:
siano m,n due numeri naturali. Definiamo k = n + m :
la definiamo attraverso una sorta di "ciclo": aumento n di 1 (prendo il successore, che esiste ed è unico dagli assiomi) e diminuisco m di 1 (prendo il precedente etc...) finché m non fa 0. A questo punto il numero che ho ottenuto aumentando n è proprio k. Per intenderci (m=3, n=2):
3 + 2
4 + 1
5 + 0
quindi k = 5
E' facile vedere che la somma è associativa e commutativa
definiamo ora il PRODOTTO:
k = m * n
Anche qui la definizione formale è più complicata, cerchiamo solo di capire di cosa si parla: faccio come prima, solo che ora ho già definito la somma. Quindi aumento m di m e diminuisco n di 1, fino a 1.
Esempio (m=3, n=4):
3 * 4
6 * 3
9 * 2
12 * 1
quindi k = 12
Anche qui è facile vedere che il prodotto è associativo, commutativo E distributivo rispetto alla somma (3 * (2 + 1) = 3*2 + 3*1)
E fin qua abbiamo definito solo i naturali. Per passare ai numeri interi (Z) la transizione non è banale. Vediamo se riesco ad essere non troppo complicato:
prendiamo tutte le coppie di numeri interi (m,n). Da questo grosso insieme ora vogliamo ricavare Z. Qual è l'idea? L'idea è di dire che un numero intero z è definito dalla coppia (m,n) nel modo "banale": z = m - n.
Ma qua sorge già un problema: la definizione non è unica. Ad esempio -2 si può scrivere come 4 - 6, ma anche come 0 - 2. Quindi le coppie (4,6) e (0,2) rappresenterebbero lo stesso numero. Dobbiamo risolvere questo problema (in termini formali vogliamo "quozientare rispetto ad una relazione di equivalenza). Beh allora diciamo che due coppie (m,n) e (m',n') rappresentano lo stesso numero (che chiameremo z) se e solo se m + n' = n + m', cioè se m - n = m' - n'
in questo modo abbiamo il nostro numero z.
Definiamo ora le due operazioni: la SOMMA è banale:
sia z=(a,b) e w=(c,d) [due qualsiasi coppie di naturali la cui differenza faccia rispettivamente z e w]
allora z + w = (a + c, b + d)
Così abbiamo esteso la somma sui naturali a quella sugli interi. E' ancora associativa e commutativa (segue dalle proprietà sui naturali).
Ora il PRODOTTO (e siamo finalmente arrivati a quel - * - = +). Questo è più difficile. L'idea è di utilizzare la stessa costruzione usata per i naturali, con qualche piccola differenza.
Siano z = (a,b) e w = (c,d). Vogliamo x = z * w = (a,b) * (c,d) = (e,f)
Cerchiamo quindi questi (e,f)
Vogliamo che il prodotto abbia tutte le proprietà che ha sui naturali: associativa, commutativa e distributiva rispetto alla somma.
Inoltre gli interi contengono tutti i naturali: a = a - 0, quindi tutte le coppie (a,0) e quelle ad esse equivalenti rappresentano numeri naturali. E sui naturali il prodotto lo so fare!
quindi, siano due naturali a = (a,0) e b = (b,0) so che il loro prodotto è a*b = (a*b, 0). Quindi definisco (a,0) * (b,0) = (a*b,0)
Ora, per quanto detto sopra, so che (a,0) = (a + b, b) = (a, 0) + (b, 0) + (0, b)
quindi (a,0)*(c,0) = (a + b, b)*(c,0) = [(a,0) + (b, 0) + (0, b)] * (c,0) = (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0)
ma so anche che (a,0)*(c,0) = (a*c,0)
quindi (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = (a*c,0)
se ne deduce banalmente che (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = 0 = (x,x) [x -x = 0...]
quindi possiamo porre (0,b)*(c,0) = (0,b*c)
abbiamo quindi definito i due prodotti di base:
(a,0) * (b,0) = (a*b, 0)
(0, a) * (b, 0) = (0, a*b)
segue anche che (0,a) * (0,b) = (a*b,0)
infatti: (0, a) = (a, 2a)
segue che: (0,a)*(0,b) = [(a,0) + (0,a) + (0,a)]*(0,b) = (0, a*b) + (0,a)*(0,b) + (0,a)*(0,b)
quindi: 0 = (x,x) = (0, a*b) + (0,a)* (0,b)
come sopra possiamo quindi porre (0,a)*(0,b) = (a*b,0)
con questi ingredienti il prodotto è completamente definito e soddisfa le 3 proprietà (è stato ricavato grazie ad esse, cmq basta fare un semplice controllo).
E da questo discende il famoso - * - = +
infatti possiamo scrivere -1 come (0,1)
beh allora (-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1*1,0) = (1,0) = +1
note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta. Di dimostrazioni intuitive ne erano state già fornite, e se si poteva avere dubbi sulla correttezza di esse, è più difficile averne sulla trattazione assiomatica (che è però di comprensione indubbiamente più ostica). E' sicuramente necessario uno sforzo, ma può essere utile vedere che anche le cose apparentemente più elementari possono essere tutt'altro che banali. Quello che ho scritto è incompleto e non del tutto corretto/formale, ma questo avrebbe richiesto conoscenze ben più profonde della semplice intuizione matematica (anche se mi sarei risparmiato molto lavoro^^).
ygnoto
24-10-2005, 08:27
note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta. Di dimostrazioni intuitive ne erano state già fornite, e se si poteva avere dubbi sulla correttezza di esse, è più difficile averne sulla trattazione assiomatica (che è però di comprensione indubbiamente più ostica). E' sicuramente necessario uno sforzo, ma può essere utile vedere che anche le cose apparentemente più elementari possono essere tutt'altro che banali. Quello che ho scritto è incompleto e non del tutto corretto/formale, ma questo avrebbe richiesto conoscenze ben più profonde della semplice intuizione matematica (anche se mi sarei risparmiato molto lavoro^^).
No, sei stato gentilissimo e chiarissimo, perchè mi mancavano le basi su cui gettare le dimostrazioni, io non mi accontento di avere la dimostrazione scritta, la devo capire dal principio... :Prrr: :Prrr: :Prrr:
Grazie mille, ti sono debitore :D
No, sei stato gentilissimo e chiarissimo, perchè mi mancavano le basi su cui gettare le dimostrazioni, io non mi accontento di avere la dimostrazione scritta, la devo capire dal principio... :Prrr: :Prrr: :Prrr:
Grazie mille, ti sono debitore :D
Banus
24-10-2005, 12:16
note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta.
Spiegazione molto precisa e chiara :cool:
Il poco che posso aggiungere è che la definizione insiemistica dei numeri naturali serve a fissare un unico insieme che soddisfi gli assiomi di Peano. Infatti se definisci:
- "zero": 1
- "successore" di x: x*1/2
ottieni la successione 1, 1/2, 1/4, che soddisfa ugualmente gli assiomi.
Inoltre la definizione insiemistica è necessaria per derivare N direttamente dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel (i cui unici oggetti sono insiemi) ;)
Spiegazione molto precisa e chiara :cool:
Il poco che posso aggiungere è che la definizione insiemistica dei numeri naturali serve a fissare un unico insieme che soddisfi gli assiomi di Peano. Infatti se definisci:
- "zero": 1
- "successore" di x: x*1/2
ottieni la successione 1, 1/2, 1/4, che soddisfa ugualmente gli assiomi.
Inoltre la definizione insiemistica è necessaria per derivare N direttamente dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel (i cui unici oggetti sono insiemi) ;)
lowenz
24-10-2005, 12:39
Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
Superiore! :ave: :ave: :ave: :D
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più
Superiore! :ave: :ave: :ave: :D
p3e2
01-11-2005, 17:31
Ragazzi scusate se riesumo questa vecchia discussione, ma visto che dovrei spiegare questo tema ai miei compagni non vorrei incorrere in errori inutili. ;)
Un numero da quanto ho capito lo possiamo scrivere come coppia di numeri:
(0,1) questo significa -1 e (1,0) significa 1, o sbaglio???
Perchè nella spiegazione di alexzeta non è specificato, sarei grati se qualcuno potesse ulteriormente illuminarmi o anche (fulminarmi)... :Prrr:
Grazie anticipatamente
Un numero da quanto ho capito lo possiamo scrivere come coppia di numeri:
(0,1) questo significa -1 e (1,0) significa 1, o sbaglio???
Perchè nella spiegazione di alexzeta non è specificato, sarei grati se qualcuno potesse ulteriormente illuminarmi o anche (fulminarmi)... :Prrr:
Grazie anticipatamente
Banus
01-11-2005, 18:04
(0,1) questo significa -1 e (1,0) significa 1, o sbaglio???
Sì, l'ha spiegato ancora all'inizio del post ;)
(0,1), (1,2), (2,3) etc. rappresentano tutti -1
(1,0), (2,1), (3,2) etc. rappresentano 1
Sì, l'ha spiegato ancora all'inizio del post ;)
(0,1), (1,2), (2,3) etc. rappresentano tutti -1
(1,0), (2,1), (3,2) etc. rappresentano 1
p3e2
01-11-2005, 18:47
Ok, allora ho ben capito e pure più lo rileggo e più mi sembra errato...
Ecco la soluzione:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1*1,0) = (1,0) = +1
ai miei occhi potrebbe anche essere:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1,0*0) = (1,0) = +1
Scusate ma non dovrebbe essere così:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (0*0,1) = (0,1) = -1
oppure:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (0,1*1) = (0,1) = -1
O sono io che mi sono perso qualche passaggio??? :confused:
Di sicuro sarà un errore mio concettuale o logico per qualche passaggio che non ho ben compreso, inizialmente l'avevo letta e sembrava filasse e quindi dovendola spiegare me la sono rivista e notavo questa (che mi sembra) un'incongruenza...
Ciao :D
Ecco la soluzione:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1*1,0) = (1,0) = +1
ai miei occhi potrebbe anche essere:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1,0*0) = (1,0) = +1
Scusate ma non dovrebbe essere così:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (0*0,1) = (0,1) = -1
oppure:
(-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (0,1*1) = (0,1) = -1
O sono io che mi sono perso qualche passaggio??? :confused:
Di sicuro sarà un errore mio concettuale o logico per qualche passaggio che non ho ben compreso, inizialmente l'avevo letta e sembrava filasse e quindi dovendola spiegare me la sono rivista e notavo questa (che mi sembra) un'incongruenza...
Ciao :D
Banus
01-11-2005, 19:01
O sono io che mi sono perso qualche passaggio??? :confused:
Rileggiti bene la definizione di prodotto ;)
Abbiamo (0,a)*(0,b) = (a*b,0) (noterai già qui la regola dei segni :D). La strana convenzione si ottiene imponendo che il prodotto abbia le solite proprietà (associativa, commutativa, distributiva) e che ovviamente coincida con il prodotto classico nel caso di numeri positivi.
Rileggiti bene la definizione di prodotto ;)
Abbiamo (0,a)*(0,b) = (a*b,0) (noterai già qui la regola dei segni :D). La strana convenzione si ottiene imponendo che il prodotto abbia le solite proprietà (associativa, commutativa, distributiva) e che ovviamente coincida con il prodotto classico nel caso di numeri positivi.
p3e2
01-11-2005, 20:09
Mi hai riannebbiato le idee... :doh:
Più tardi me lo riguardo con calma e vedo di capire un po' meglio le cose... ;)
Più tardi me lo riguardo con calma e vedo di capire un po' meglio le cose... ;)
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