View Full Version : Matematici A Me Perfavore [HELP]!
Il 16 ho un esame spero in questi ultimi giorni di togliermi gli ultimi dubbi magari chiedendo il vostro aiuto.
1° Problema = Chi mi sa spiegare la differenza che esiste tra differenziabilità e derivabilità nel campo delle funzioni a piu' variabili.
2° Problema = Come si procede allo studio di massimi e minimi per una funzione a piu' variabili quando il determinante Hessiano è nullo?
Grazie
<< NeliaM >>
Il 16 ho un esame spero in questi ultimi giorni di togliermi gli ultimi dubbi magari chiedendo il vostro aiuto.
1° Problema = Chi mi sa spiegare la differenza che esiste tra differenziabilità e derivabilità nel campo delle funzioni a piu' variabili.
2° Problema = Come si procede allo studio di massimi e minimi per una funzione a piu' variabili quando il determinante Hessiano è nullo?
Grazie
<< NeliaM >>
1. la differenziabilità implica la derivabilità ma non viceversa (cosa che invece capitava con dominio monovariabile).
Essenzialmente la differenziabilità è la possibilità di "approssimare" una iper-superficie nell'intorno di un suo determinato punto con un iper-piano tangente alla iper-superficie nel punto stesso.
La derivabilità è semplicemente la possibilità di calcolare derivate lungo certe direzioni, cosa che appunto non implica, nei domini a più variabili, l'esistenza di una iper-piano approssimante.
2. si deve fare uno studio locale e vedere in un intorno del punto critico se la funzione assume valori maggiori (allora è un minimo), minori (allora è un max) o sia maggiori che minori (sella).
Iper superfice ossia Piano Tangente?
<< NeliaM >>
Iper superfice ossia Piano Tangente?
<< NeliaM >>
Con iper-superficie intendo il grafico di una qualunque funzione con 2 o più variabili :)
Se uno tratta funzioni a 2 o più variabili, f(x,y,z,.....), si trova - in generale, salvo casi patologici - di fronte a iper-superfici approssimabili nei loro punti con iper-piani tangenti.
Ho sistemato meglio il post di prima ;)
2. si deve fare uno studio locale e vedere in un intorno del punto critico se la funzione assume valori maggiori (allora è un minimo), minori (allora è un max) o sia maggiori che minori (sella).
( D = delta ) ( X0 , Y0 )= punti critici!
Quindi Studiare l'incremento Df(x,y)- Df (X0;Y0) ?
<< NeliaM >>
jumpermax
14-09-2005, 12:31
Con iper-superficie intendo il grafico di una qualunque funzione con 2 o più variabili :)
Se uno tratta funzioni a 2 o più variabili, f(x,y,z,.....), si trova - in generale, salvo casi patologici - di fronte a iper-superfici approssimabili nei loro punti con iper-piani tangenti.
Ho sistemato meglio il post di prima ;)
grazie lowenz, i miei ricordi di analisi iniziano a farsi confusi è sempre un piacere ripassarli... ho trovato questo http://www.vialattea.net/esperti/mat/derparz/derparz.htm
sul primo punto.
Domanda: ricordavo un concetto ancora più forte di derivazione in campo complesso... ti ricordi qualcosa? Così evito di rispolverare il libro di analisi III...
...
Il più delle volte - negli esercizi del corso - basta studiare il segno della funzione :)
Esempio banale:
z=x^4+y^4 ha hessiano nullo in (0,0), ma è sempre positiva essendo somma di 2 potenze quarte, quindi (0,0) punto di è minimo :)
Domanda: ricordavo un concetto ancora più forte di derivazione in campo complesso... ti ricordi qualcosa? Così evito di rispolverare il libro di analisi III...
Per Analisi III rivolgersi a Banus please :D
Per Analisi III rivolgersi a Banus please :D
:D
Domanda: ricordavo un concetto ancora più forte di derivazione in campo complesso... ti ricordi qualcosa? Così evito di rispolverare il libro di analisi III...
Olomorfismo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa
La condizione è apparentemente simile alla derivabilità reale, ma sviluppata nel campo dei complessi porta a risultati notevoli, come il fatto che una funzione derivabile una volta in un punto allora lo è infinite volte, e una funzione olomorfa in una regione è sviluppabile in serie di potenze in ogni disco aperto contenuto nella regione.
ChristinaAemiliana
14-09-2005, 15:23
Domanda: ricordavo un concetto ancora più forte di derivazione in campo complesso... ti ricordi qualcosa? Così evito di rispolverare il libro di analisi III...
Forse ti riferisci all'olomorfia...
Una funzione è olomorfa in una regione* di Z se in tutta la regione esiste la derivata prima della funzione. La derivata prima, in campo complesso, esiste quando esiste il limite del rapporto incrementale indipendentemente dalla direzione dell'incremento.
In campo complesso si ha anche l'importante risultato che se la funzione f è olomorfa, allora è infinite volte derivabile e quindi analitica. Questo risultato non ha riscontro in campo reale, dove l'esistenza della derivata prima non garantisce quella delle derivate di ordine più alto.
* al solito, la regione deve essere presa connessa e regolare etc etc :D
ChristinaAemiliana
14-09-2005, 15:24
:D
Olomorfismo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa
La condizione è apparentemente simile alla derivabilità reale, ma sviluppata nel campo dei complessi porta a risultati notevoli, come il fatto che una funzione derivabile una volta in un punto allora lo è infinite volte, e una funzione olomorfa in una regione è sviluppabile in serie di potenze in ogni disco aperto contenuto nella regione.
:doh:
Battuta sul tempo :D
Battuta sul tempo :D
Gli hai risparmiato la consultazione del link... :p
ChristinaAemiliana
14-09-2005, 15:49
Gli hai risparmiato la consultazione del link... :p
Allora quasi quasi edito...:D :D :D
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
mmmmmmmmm
jumpermax
15-09-2005, 17:44
:doh:
Battuta sul tempo :D
LOL :D
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
Analisi II è un vecchio ricordo
ma se dimostri che in il minimo
assoluto dell funzione è maggiore
di zero problema risolto
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
So, anzi non so, non dovrei nemmeno intervenire, ma non basta risolvere la diseuqzione??? :mbe: :confused:
Ciao :D
So, anzi non so, non dovrei nemmeno intervenire, ma non basta risolvere la diseuqzione??? :mbe: :confused:
Ciao :D
Di quarto grado in 2 variabili non è facile.....ho tentato varie scomposizioni ma non portano a nulla.....
Ho capito bene???
Dobbiamo dimostrare che la disequazione è sempre dimostrata per x,y che appartengono ad r???
Se così è semplice... se non sbaglio concettualmente...
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
2x^4 + 2y^4 + 2 - x^2 - y^2 - 2xy -1 > 0
Sappiamo per certo che le potenze di 4 sono di sicuro superiori delle potenze di 2...
2x^4 - x^2 + 2y^4 - y^2 + 2xy + 1 > 0
Ammettendo ciò andiamo a dire che...
2x^4 - x^2 + 2y^4 - y^2 > 0 per x,y diverse da 0
nonchè:
x^2 ( 2x^2 - 1 ) + y^2 ( 2y^2 - 1 ) > 0 per x,y diverse da 0
Ciò vuol dire che di certo che x^2 e y^2 sono positivi e che le somme anche al suo interno lo siano. Perchè in "( 2y^2 - 1 )" il doppio prodotto di un qualunque quadrato è di per certo superiore a 1, visto e considerato che anche mettendo 1 avremmo 2 eccetto se prendiamo in considerazione 0...
Poichè il risultato darebbe -1 e quindi non si verificherebbe...
Ammesso questo sostituiamo le somme in:
( 2x^2 - 1 ) = a > 0
( 2y^2 - 1 ) = b > 0
Allora la disequazione da verificare sarebbe questa:
ax^2 + by^2 + 2xy + 1> 0
Verificatissima perchè ammettendo che y, siano uguali a zero... il risultato darebbe 1 > 0 se solo un'incognita fosse zero darebbe ax^2 > 0 o by^2 > 0, verificate entrambe e ancora se x,y diverse da 0 la soluzione sta nel fatto che, il doppio prodotto di due numeri x, y è minore della somma dei quadrati dei due numeri... Vi pare, o dico una cazzata???
L'unica incongruenza che trovate è il fatto che ho parlato di prendere x, y > 0, quando valutavo:
( 2x^2 - 1 ) = a
( 2y^2 - 1 ) = b
E successivamente ho preso come possibilità che fossero uguali a zero, questp perchè ho estrapolato dei termini dall'equazione anzi disequazione per dimostrare la validità del mio pensiero... anche perchè prendendo in considerazione una o entrambe le incognite con valore zero si poteva risolvere senza alcun problema...
Adesso il mio livello non mi permette di spiegare tutto con precisione, ma la logica è questa, molto probabilmente avrò anche sbagliato, correggetemi!!!
Serve banus, a quanto sembra... :D
:D
0,5^4 < 0,5^2 < 1
:asd:
anch'io sarei curioso di vedere come si risolve :)
banuuus :D
0,5^4 < 0,5^2 < 1
:asd:
anch'io sarei curioso di vedere come si risolve :)
banuuus :D
Porca tr**a tempo perso, le frazioni... :cry:
:doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: :doh: non finirò di ripetere la faccina...
:help:
Serve banus, a quanto sembra...
Il testo è giusto (specie il minore, è minore stretto)? Soprattutto c'è scritto dimostrare o verificare?
Perchè per x=y=1/sqrt(2) a me esce 0 > 0 :D
Se il simbolo è minore stretto e devi controllarla, con questo l'esercizio è finito. Preferisco saperlo prima di aggredire il resto del problema ;)
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
questo è il testo: c'è scritto dimostrare ed è un maggiore stretto.
cmq, come fatto notare sopra:
2x^4 - x^2 + 2y^4 - y^2 > 0
è verificata solo per x > 1 e y > 1, e non sono queste le ipotesi. se sono compresi tra 0 e 1 risulterebbe un risultato minore o uguale a zero.
ponendo ad esempio, per semplificare, y=1 e mantenendo una sola incognita si deve dimostrare che:
2x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0 con x un qualsiasi reale
ponendo ad esempio, per semplificare, y=1 e mantenendo una sola incognita si deve dimostrare che:
2x^4 - x^2 - 2x + 3 > 0 con x un qualsiasi reale
Sottolineo reale, comunque come ho fatto io prendevo in considerazione tutti i numeri interi positivi e negativi...
:doh:
Come è stato già detto prima tanto vale calcolare il minimo assoluto e vedere se è >0 :)
Ho capito bene???
Dobbiamo dimostrare che la disequazione è sempre dimostrata per x,y che appartengono ad r???
Se così è semplice... se non sbaglio concettualmente...
Sappiamo per certo che le potenze di 4 sono di sicuro superiori delle potenze di 2...
:D
ma davvero? :D
hakermatik
19-09-2005, 11:51
Qualcuno sa come dimostrare che :
2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 per ogni x,y appartenente ad R
<< NeliaM >>
penso sia alquanto complicato risolvere la disequazione, ma trovando IL punto di minimo assoluto della funzione.... tutto è più facile.
penso sia alquanto complicato risolvere la disequazione, ma trovando IL punto di minimo assoluto della funzione.... tutto è più facile.
I problema è trovarlo. Per trovare i punti critici della funzione si deve risolvere un sistema di due equazioni di terzo grado, e a occhio non c'è nessuna fattorizzazione semplice.
L'unico modo fattibile che vedo è sfruttare argomenti di simmetria. La funzione è un paraboloide di quarto grado a cui è stato sottratto un cilindro parabolico con asse x=-y. Il contributo della sottrazione è massimo lungo la perpendicolare all'asse x=y, e proprio sulle diagonali degli assi il paraboloide è più piatto (vedi grafico di x^4+y^4=r^4). Quindi basta vedere come si comporta la funzione per x=y (si ottiene una equazione nella sola x).
E' in questo modo che ho ottenuto
x=y=1/sqrt(2)
che azzera la funzione. Se è richiesto il maggiore stretto, la diseguaglianza non è verificata.
Ho preso 24 al compito scritto !! se non avessi fatto un paio di errori scemi prendevo di piu'!
E ora verso l'orale!
Adesso vi posto il compito
<< NeliaM >>
Raga ho bisogno che qualcuno mi spieghi questa cosa:
a) Dimostrare se la funzione ( X*Y )/ X^2 + Y^2 è continua in (0,0)
b) Dimostrare se la funzione ( X^2 * Y) / X^2 + Y^2 è continua in (0,0)
<< NeliaM >>
Raga ho bisogno che qualcuno mi spieghi questa cosa:
Sicuro di non aver dimenticato qualche parentesi? ;)
Per vedere la continuità devi controllare due cose:
1) che la funzione sia definita nel punto (0,0)
2) che esista il limite per x,y -> (0,0) e sia uguale a f(0,0)
Nel primo caso non è definita, e anche pensando di prolungare la funzione in (0,0) con esempio f(0,0); il limite di f non esiste e quindi non è continua.
Nel secondo caso diventa y + y^2 cioè un polinomio, ed è banalmente continua.
Sicuro di non aver dimenticato qualche parentesi? ;)
Per vedere la continuità devi controllare due cose:
1) che la funzione sia definita nel punto (0,0)
2) che esista il limite per x,y -> (0,0) e sia uguale a f(0,0)
.
1) si sono definite
2) lo devo dimostrare
cmq hai ragione hai fatto un ragionamento simile a quello del libro!
pero' non capisco perchè mi metto a studiare la continuità della funzione lungo rette di equazione y = x !
Non ne capisco la logica
<< NeliaM >>
pero' non capisco perchè mi metto a studiare la continuità della funzione lungo rette di equazione y = x !
Conviene usare la notazione polare:
x = r cos (theta)
y = r sin (theta)
Il limite esiste se la funzione per r -> 0 tende a un determinato valore (si può ricorrere a maggiorazioni nei casi complicati). Ad esempio per x/y:
x/y = r cos (theta) / (r sin (theta)) = cos(theta)/sin(theta)
che addirittura variando theta va da -oo a +oo. Quindi il limite non esiste.
Raga ho bisogno di una mano su questo discorso della continuità delle funzioni!
Allora se ho una funzione
(X*Y) / X^2 + Y^2 = 0 nel punto (0,0) per sapere se è continua devo farne il limite per X , Y che tendono a 0 e deve venire 0
Su un libro ho letto che ci sono infiniti modi ,per una funzione , per raggiungere il limite nel punto !
Quindi volendo si fa raggiungere il limite lungo una retta di eq Y = mX (con m diverso da 0 ) oppure lungo una curva di eq Y = m(X^2) .
Se i due limiti coincidono e sono 0 allora la funzione è continua.
(nell'esempio la funzione non è continua)
E' giusto questo ragionamento e questo metodo???
Ora chiedo a voi.
Dire se la funzione SIN ( X + Y ) è continua nel punto ( 0, 0 )!
<< NeliaM >>
jumpermax
22-09-2005, 17:14
Raga ho bisogno di una mano su questo discorso della continuità delle funzioni!
Allora se ho una funzione
(X*Y) / X^2 + Y^2 = 0 nel punto (0,0) per sapere se è continua devo farne il limite per X , Y che tendono a 0 e deve venire 0
Su un libro ho letto che ci sono infiniti modi ,per una funzione , per raggiungere il limite nel punto !
Quindi volendo si fa raggiungere il limite lungo una retta di eq Y = mX (con m diverso da 0 ) oppure lungo una curva di eq Y = m(X^2) .
Se i due limiti coincidono e sono 0 allora la funzione è continua.
(nell'esempio la funzione non è continua)
E' giusto questo ragionamento e questo metodo???
Ora chiedo a voi.
Dire se la funzione SIN ( X + Y ) è continua nel punto ( 0, 0 )!
<< NeliaM >>
quella non è una funzione, è un'equazione.... :mbe:
Problema 2.
Seguitemi nel ragionamento
dF(x,y) = Fx dx + Fy dy ( dove Fx e Fy sono le derivate parziali della F rispetto a x e Y)
Ora suppongo che la F(x,y) definisca in un punto una funziona implicita:
F(x , y(x) )
dF(x,y(x))= Fx dx + Fy dy = Fx + Fy * Y'(x)
Domande:
1) Nel secondo caso la dx = 1 ??
2) L'incremento lungo una direzione, ossia il dx e il dy equivalgono a fare una derivata?
<< NeliaM >>
quella non è una funzione, è un'equazione.... :mbe:
riscrivo meglio : F (x,y) = X*Y / X^2 + Y^2 se (x,y) diverso ( 0,0)
F (x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
<< NeliaM >>
Per la continuità di sin(x+y), ricorda che la composizione di funzioni continue è ancora continua. x+y lo è come sin (t).
Ora suppongo che la F(x,y) definisca in un punto una funziona implicita:
F(x , y(x) )
dF(x,y(x))= Fx dx + Fy dy = Fx + Fy * Y'(x)
Domande:
1) Nel secondo caso la dx = 1 ??
2) L'incremento lungo una direzione, ossia il dx e il dy equivalgono a fare una derivata?
<< NeliaM >>
1) l'ultimo uguale non è corretto, perchè si passa dai differenziali alle derivate.
Sarebbe stato corretto:
DF(x,y(x))= Fx + Fy * Y'(x)
Dove DF(..) indica la derivata di F.
2) No, è un differenziale.
Banus ti aspettavo!!!!!!!
Allora se sen ( x + y ) = sen ( t ) dove t = x + y poi che devo dire per dimostrare che è continua?
<< NeliaM >>
Allora se sen ( x + y ) = sen ( t ) dove t = x + y poi che devo dire per dimostrare che è continua?
Devi dire che sin(t) e x+y sono continue. sin(t) è già noto (a 1D), manca x+y.
Ci sono vari modi:
1) perchè è polinomiale (x^1 + y^1)
2) perchè è la somma di due funzioni continue (x e y)
3) perchè lim (x + y) = lim x + lim y = x0 + y0
.... etc. etc. ....
Pero' devo fare il limite del sen(x+y)
<< NeliaM >>
Pero' devo fare il limite del sen(x+y)
Se usi la proprietà che la composizione di funzioni continue è continua non serve; altrimenti puoi applicare la definizione (trovando lim sin(x+y) )
Ziosilvio
22-09-2005, 22:01
se ho una funzione
(X*Y) / X^2 + Y^2 = 0 nel punto (0,0) per sapere se è continua devo farne il limite per X , Y che tendono a 0 e deve venire 0
Cioè: hai una funzione che vale 0 nell'origine e XY/(X^2+Y^2) altrove, e devi verificare che il suo limite nell'origine sia 0.
Su un libro ho letto che ci sono infiniti modi ,per una funzione , per raggiungere il limite nel punto !
Poco preciso: sicuramente voleva dire che esistono infinite curve parametrizzate che passano per l'origine, e lungo le quali la funzione può comportarsi in maniera diversa.
Quindi volendo si fa raggiungere il limite lungo una retta di eq Y = mX (con m diverso da 0 ) oppure lungo una curva di eq Y = m(X^2) .
Questo è un criterio che va bene per dimostrare che la funzione non è continua.
(E in effetti, in questo caso funziona; ma basta considerare i casi Y=0 e Y=X.)
Se i due limiti coincidono e sono 0 allora la funzione è continua.
Al contrario: se la funzione è continua, allora i due limiti coincidono e sono 0.
Dire che la funzione è continua nell'origine, equivale a dire che in qualunque modo la coppia di coordinate converga a 0, il valore della funzione converge anch'esso a 0.
Dire se la funzione SIN ( X + Y ) è continua nel punto ( 0, 0 )!
La funzione è definita per ogni coppia (X,Y) e vale... nell'origine.
Applica la formula di addizione del seno.
Lucrezio
23-09-2005, 11:11
E i moltiplicatori di Lagrange?
Niente moltiplicatori di Lagrange?
Sono stati l'argomento del mio orale di matematica...
:cry:
Però non mi ha fatto dimostrare il dini ( :help: )
E i moltiplicatori di Lagrange?
Niente moltiplicatori di Lagrange?
Sono stati l'argomento del mio orale di matematica...
:cry:
Però non mi ha fatto dimostrare il dini ( :help: )
Il DINI (:D) non lo dimostrano più a nessuno eheh :)
Lucrezio
23-09-2005, 17:35
Il DINI (:D) non lo dimostrano più a nessuno eheh :)
:asd: vero anche questo :asd:
Comunque ho rischiato grossissimo :eek:
Solo ricordarsi a memoria l'enunciato... :stordita:
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