Lucrezio
07-09-2005, 18:42
Definizioni
Si definisce equazione differenziale un'equazione dove compare una funzione incognita insieme alle sue derivate. In genere è della forma:
http://operaez.net/mimetex/F(y^{(n)}, y^{(n-1)} \ldots , y , x) = 0.
Si dice in forma canonica quando la derivata di ordine più alto è esplicitata:
http://operaez.net/mimetex/y^{(n)}=\Phi (y^{(n-1)}, \ldots , y , x)
Si dice autonoma se x non compare esplicitamente (le equazioni del moto sono un esempio di equazioni autonome, di solito: si veda la caduta libera, il moto armonico e così via, in cui le forze in gioco dipendono da posizione e velocità, ma non dal tempo!).
Si dice lineare quando la funzione implicita e le sue derivate compaiono alla prima potenza e non moltiplicate fra loro. Un'equazione differenziale lineare è della forma:
http://operaez.net/mimetex/a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_0(x)y = f(x).
L'equazione si dice omogenea quando f(x) è identicamente uguale a zero.
Infine si dice a variabili separate un'equazione differenziale che si può scrivere nella forma:
http://operaez.net/mimetex/\phi(y)y'=\psi(x)
Equazioni differenziali lineari di primo ordine
Sia http://operaez.net/mimetex/y' + a(x)y = f(x)
un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Moltiplicando ambo i membri per http://operaez.net/mimetex/e^{A(x)},
dove
http://operaez.net/mimetex/{A(x)}=\int a(x)dx
è una primitiva di a(x), si ottiene:
http://operaez.net/mimetex/y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)}
Al primo membro si può riconoscere la derivata del prodotto http://operaez.net/mimetex/ye^{A(x)}:
http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)}
integrando membro a membro:
http://operaez.net/mimetex/ye^{A(x)}=\int f(x)e^{A(x)}dx + k,
con k costante arbitraria. Quindi l'integrale generale è della forma:
http://operaez.net/mimetex/y=e^{-A(x)} \int f(x)e^{A(x)}dx + ke^{-A(x)}
Si definisce equazione differenziale un'equazione dove compare una funzione incognita insieme alle sue derivate. In genere è della forma:
http://operaez.net/mimetex/F(y^{(n)}, y^{(n-1)} \ldots , y , x) = 0.
Si dice in forma canonica quando la derivata di ordine più alto è esplicitata:
http://operaez.net/mimetex/y^{(n)}=\Phi (y^{(n-1)}, \ldots , y , x)
Si dice autonoma se x non compare esplicitamente (le equazioni del moto sono un esempio di equazioni autonome, di solito: si veda la caduta libera, il moto armonico e così via, in cui le forze in gioco dipendono da posizione e velocità, ma non dal tempo!).
Si dice lineare quando la funzione implicita e le sue derivate compaiono alla prima potenza e non moltiplicate fra loro. Un'equazione differenziale lineare è della forma:
http://operaez.net/mimetex/a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_0(x)y = f(x).
L'equazione si dice omogenea quando f(x) è identicamente uguale a zero.
Infine si dice a variabili separate un'equazione differenziale che si può scrivere nella forma:
http://operaez.net/mimetex/\phi(y)y'=\psi(x)
Equazioni differenziali lineari di primo ordine
Sia http://operaez.net/mimetex/y' + a(x)y = f(x)
un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Moltiplicando ambo i membri per http://operaez.net/mimetex/e^{A(x)},
dove
http://operaez.net/mimetex/{A(x)}=\int a(x)dx
è una primitiva di a(x), si ottiene:
http://operaez.net/mimetex/y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)}
Al primo membro si può riconoscere la derivata del prodotto http://operaez.net/mimetex/ye^{A(x)}:
http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)}
integrando membro a membro:
http://operaez.net/mimetex/ye^{A(x)}=\int f(x)e^{A(x)}dx + k,
con k costante arbitraria. Quindi l'integrale generale è della forma:
http://operaez.net/mimetex/y=e^{-A(x)} \int f(x)e^{A(x)}dx + ke^{-A(x)}