OpenAI batte Erdos su un problema del 1946: nove matematici firmano la verifica

Nei giorni scorsi OpenAI ha annunciato che un suo modello interno di ragionamento generalista ha prodotto un controesempio alla congettura di Erdős sulle distanze unitarie nel piano, formulata nel 1946. Qualche mese fa avevamo già toccato il tema dei problemi del matematico Paul Erdős, una collezione di quesiti aperti lasciati in eredità dal brillante matematico del Novecento, spesso semplici da enunciare ma estremamente difficili da risolvere e che oggi rappresentano un banco di prova ideale per misurare il progresso, umano e artificiale, nella comprensione matematica.

Il problema delle distanze unitarie

La domanda alla base del problema ha una formulazione elementare, nascondendo però parecchia complessità . Si dispongono n punti su un piano: per ciascuna coppia di punti si misura la distanza che li separa. Se i punti sono in posizione generica, queste distanze sono verosimilmente tutte diverse fra loro. Disponendoli però in modo opportuno si possono creare configurazioni in cui molte coppie condividono una stessa distanza: pensiamo a un triangolo equilatero, dove i tre lati hanno tutti la stessa lunghezza, o a qualsiasi poligono regolare, in cui le coppie equidistanti sono ancora di più.

La domanda di Erdős è quanto si possa spingere questo gioco: dati n punti da disporre liberamente, qual è il massimo numero di coppie che possono trovarsi tutte alla stessa distanza fra loro? Per convenzione quella distanza ricorrente si pone pari a 1, da cui il nome "distanze unitarie" del problema citato in precedenza. In realtà il valore è arbitrario, e quello che conta la frequenza con cui una stessa distanza si ripete fra punti diversi della configurazione.

In particolare Erdős si è chiesto a quale velocità cresce questo conteggio massimo all'aumentare di n. Più punti si aggiungono, più coppie diventano possibili e più coincidenze possono emergere: con quale tasso di crescita? La sua congettura del 1946 fu che il numero delle coppie unitarie crescesse un po' più rapidamente del numero stesso dei punti, ma di così poco che, su scale grandi, la differenza si sarebbe sostanzialmente annullata.

L'intuizione di Erdős ha retto per circa ottant'anni: la migliore configurazione concreta nota era una griglia quadrata di punti che produceva un conteggio appena al di sopra del lineare, tale da escludere una crescita perfettamente proporzionale al numero dei punti, ma talmente vicino al lineare da rendere plausibile la sua congettura. Dal lato opposto del problema c'è un tetto teorico al numero massimo di coppie unitarie, dimostrato nel 1984 da Spencer, Szemerédi e Trotter: n^4/3. Un margine ampio rispetto al lineare che per oltre quarant'anni non c'è stato modo di mettere in discussione.

Il modello interno di OpenAI ha affrontato il problema con un approccio decisamente originale, costruendo una famiglia infinita di disposizioni di punti in cui il conteggio delle coppie unitarie cresce in modo significativamente più veloce del lineare, di una quantità fissa. La differenza con la griglia quadrata è qualitativa: nella griglia il guadagno rispetto al lineare era una correzione che diventava sempre meno significativa all'aumentare di n, mentre nella nuova costruzione il guadagno cresce con n e si allontana dal lineare puro di un fattore che si amplifica man mano che si aggiungono punti. È quello che in matematica si chiama un miglioramento polinomiale, ed è esattamente il tipo di salto che Erdős aveva escluso con la sua congettura, che risulta così confutata.

Will Sawin, professore a Princeton e fra i firmatari del paper di verifica, ha successivamente raffinato la costruzione e ricavato un esponente esplicito di 1,014: il conteggio delle coppie unitarie cresce come il numero dei punti elevato alla 1,014. Per dare un ordine di grandezza, con un milione di punti il conteggio è circa il 21% più alto rispetto al caso strettamente lineare; con un miliardo, oltre il 30% più alto; il divario continua ad ampliarsi al crescere di n. La prova originale del modello dava un esponente molto più piccolo, pari a 1 più una quantità dell'ordine di 10^-38: numericamente trascurabile, ma sufficiente come controesempio formale alla congettura.

A colpire i matematici è stato proprio l'approccio adottato dal modello, che invece di prendere le mosse dalla geometria discreta, e cioè l'ambito in cui il problema è stato studiato per decenni, ha invece scelto di interpretarlo sotto la teoria algebrica dei numeri. Si tratta di una branca della matematica che copre numeri primi e proprietà aritmetiche degli interi, piuttosto che i punti su un piano e a cui gli specialisti di geometria discreta raramente si rivolgono quando devono affrontare problemi come questo. Il vero valore nel risultato del modello di OpenAI è quindi più nel collegamento tra due aree distanti della matematica che nella soluzione del problema in sé.

La verifica dei nove e le cautele

Il paper di verifica è firmato da Noga Alon, Thomas Bloom, William T. Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang e Melanie Matchett Wood. Gowers, vincitore della medaglia Fields, scrive che se un essere umano avesse sottomesso questo paper agli Annals of Mathematics e gli fosse stata chiesta una valutazione rapida, avrebbe raccomandato l'accettazione senza esitazioni. Si tratta di uno dei più forti giudizi pubblici espressi fino ad ora su un risultato matematico generato da un'IA.

Bloom, curatore del sito www.erdosproblems.com, ha inoltre esposto una considerazione di particolare rilevanza: la soluzione trovata dal modello di OpenAI è, valutata a posteriori, una generalizzazione naturale dell'originale di Erdős basata su reticoli, e gran parte della comunità non aveva provato a confutare la congettura perché era convinta che fosse vera. L'IA ha avuto successo soprattutto perché ha esplorato un'ipotesi che gli esperti avevano scartato. Melanie Matchett Wood osserva che i nove matematici che hanno verificato il risultato sarebbero stati probabilmente in grado di trovare essi stessi un controesempio alla congettura di Erdős, se fossero stati indirizzati a farlo, ma il punto è che quel gruppo non si sarebbe probabilmente mai costituito spontaneamente: senza l'output dell'IA, nessuno avrebbe radunato il gruppo di esperti che ha poi verificato il risultato. 

In chiusura, una precisazione evidenziata dalla stessa OpenAI: la prova è stata "generata in un'unica passata da un modello interno OpenAI, e poi raffinata espositivamente tramite interazioni umane con Codex". In altri termini, l'idea matematica è del modello, ma la forma definitiva è il frutto di un lavoro collaborativo. 

Il controesempio non scalfisce il migliore limite superiore noto, n^4/3: l'intervallo fra il numero minimo di coppie unitarie che si possono garantire e quello massimo che si possono escludere resta ampio, e la nuova costruzione lo stringe pochissimo. L'esponente 1,014 dimostra che la congettura di Erdős è falsa, senza però riuscire a sciogliere il dubbio su quale sia la risposta giusta. A oggi non risulta una sottomissione formale del paper a una rivista scientifica con revisione paritaria, nonostante il giudizio favorevole di Gowers sugli Annals of Mathematics.

Infine la rilevanza dell'annuncio di OpenAI è da leggere anche sotto una più ampia contestualizzazione: a ottobre 2025 l'allora vicepresidente OpenAI Kevin Weil aveva condiviso su X che GPT-5 aveva risolto dieci problemi di Erdős fino ad allora aperti e fatto progressi su altri undici. Le repliche di Yann LeCun e di Demis Hassabis di Google DeepMind avevano costretto Weil a cancellare il post, dopo che lo stesso Bloom aveva definito l'affermazione "un drammatico travisamento" poiché il modello non aveva risolto nulla e si era limitato invece a recuperare soluzioni già presenti in letteratura.