Domande di matematica discreta

[misterx]

domanda


data una proposizione del tipo:

2^n−1 > 6n + 1 (per ogni "n" appartenente ai "N", e n>=7


supponete che desiderate conoscere se la proposizione è vera per qualsiasi numero (>=7), che metodo usate ?

[misterx]

up

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
domanda


data una proposizione del tipo:

2^n−1 > 6n + 1 (per ogni "n" appartenente ai "N", e n>=7


supponete che desiderate conoscere se la proposizione è vera per qualsiasi numero (>=7), che metodo usate ?

Porta i termini a sinistra e poi procedi per maggiorazioni. Oltre a quelle ovvie non dimenticarti di quelle "classiche" che si fanno sempre a lezione.

Ad esempio se non ricordo male per n >= 1 si ha 2^n >= n^2 (dimostrazione: esercizio )
e quindi possiamo scrivere

2^n - 1 > 6n + 1
(*) 2^n - 6n - 2 > 0

2^n > n^2 + 2=> (*) vero se vale la seguente
(**) n^2 +2 -6n -2 >0
ovvero
n^2 - 6n >0

n( n - 6 ) > 0

il primo termine e' sempre maggiore di 0, il secondo lo e se n >= 7 e quindi (**) e' vera. Di conseguenza e' vera pure (*)
Ti resta da dimostrare la disuguaglianza chiave, ma se prendi il tuo libro di testo trovi sicuramente qualcosa di simile.

[misterx]

cavolo Marco, ma il metodo che hai usato come si chiama ? :?

e poi: secondo te se suppongo che una P(k) è vera, e dimostro che è vera anche la P(k+1), significa che la mia supposizione (vedi esempio al primo post) lo è all'infinito ?


p.s.
ovviamente stiamo parlando dell'induzione

cavolo, spero di essermi fatto capire

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
cavolo Marco, ma il metodo che hai usato come si chiama ? :?

Matematica ?

No ok scherzo
Piu' seriamente. In questo caso si trattava di dimostrare che la funzione era sempre positiva, ergo problema equivalente allo studio del segno di una funzione. Capito questo si tratta solo di applicare le solite regole per risolvere questi casi: si porta tutto da una parte e si raccoglie. L'unico problema e' che quando si hanno termini di "tipo diverso" (un esponenziale ed un polinomio nel nostro caso) farlo non e' facile e bisogna ricorrere alle "formule tattiche" (intese come quelle formule la cui utilita' durante la lezione appare prossima allo zero e che tipicamente sono le ultime che ci si ricorda ) per cambiare o maggiorare/minorare l'equazione .

e poi: secondo te se suppongo che una P(k) è vera, e dimostro che è vera anche la P(k+1), significa che la mia supposizione (vedi esempio al primo post) lo è all'infinito ?

Si', se dimostri anche che P(k0) vale per un valore iniziale k0.

[misterx]

ho capito che è matematica ma i metodo da te usato è l'induzione dell'omonimo Peano ?

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
ho capito che è matematica ma i metodo da te usato è l'induzione dell'omonimo Peano ?

Da le mie parti lo chiamano "spannometro" , dalle tue non so

[misterx]

Marco, semplice ma ingannevole


A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C


è sempre vera ?

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
Marco, semplice ma ingannevole


A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C


è sempre vera ?

No. Controesempio:

A = { 2 , 3 } , B = { 1 , 2 } , X = { 3 , 4 }

[misterx]

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
No. Controesempio:

A = { 2 , 3 } , B = { 1 , 2 } , X = { 3 , 4 }

A Í B È C Þ A Í B oppure A Í C


ma si può che mi imbrano su sti cavolo di insiemi ?


stavo pensando che se si osserva con molta attenzione (caratteristica che a me sta mancando) l'ipotesi, posso dire che la tesi è vera "solo se A è contenuto in (B U X)" , ed in caso contrario non ha senso come hai poi dimostrato tu col tuo contro esempio ?


non sogghignare che ti vedo

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
stavo pensando che se si osserva con molta attenzione (caratteristica che a me sta mancando) l'ipotesi, posso dire che la tesi è vera "solo se A è contenuto in (B U X)" , ed in caso contrario non ha senso come hai poi dimostrato tu col tuo contro esempio ?


non sogghignare che ti vedo

Mi spiego piu' chiaramente:
quel che hai scritto vuol dire "Se A e' contenuto nell'unione dei dui insiemi allora e' contenuto in uno dei due".
Viene poi chiesto se e' _sempre_ vero.

Non e' cosi', perche' il mio controesempio mostra che in almeno un caso non succede, anche se ci sono poi dei casi in cui e' vero
(esempio: A = {1} , B={1} , X={1}),

[misterx]

ok grazie, ora mi è tutto chiarissimo

[misterx]

se chiamiamo X tutto ciò che non è contenuto in A e in B e scriviamo:

C "contenuto" (AUB)complementato

significa che C sta in X ?

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
1- se chiamiamo X tutto ciò che non è contenuto in A e in B e scriviamo:

2- C "contenuto" (AUB)complementato

significa che C sta in X ?

Certo, perche' AuB complementato non e' altro che X
Per capirlo meglio basta trascrivelo in formule:

la 1 si traduce in
a) X ^ (A u B) = 0 (dove ^ sta per intersezione e 0 sta per insieme vuot)
b) X u A u B = Z (per qualche insieme Z)

mentre la 2 si puo' riscrivere nel seguente modo:

C c Z \ (AuB) , che pero' altro non e' che X

[misterx]

grazie Marco

un dubbio, QUI si dice che il prodotto cartesiano è ...(bla, bla, bla)....e poi arriva al punto dove dice che: pertanto il prodotto B×A è diverso da A×B che significa ?

io l'ho interpretato come se avessi axb=bxa (proprietà commutativa) ma ho idea che intedessero altro

help

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
grazie Marco

un dubbio, QUI si dice che il prodotto cartesiano è ...(bla, bla, bla)....e poi arriva al punto dove dice che: pertanto il prodotto B×A è diverso da A×B che significa ?

io l'ho interpretato come se avessi axb=bxa (proprietà commutativa) ma ho idea che intedessero altro

help

Se A = {1,2}
B = {a,b,c}

AXB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
BXA = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Le coppie nell'insieme del prodotto cartesiano devono essere formate prendendo gli elementi dei sue insiemi in modo ordinato (il primo elemento della coppia appartiene al primo insieme del prodotto cartesiano, il secondo elemento al secondo insieme...) qundi il prodotto cartesiano non è commutativo.

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore
Se A = {1,2}
B = {a,b,c}

AXB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
BXA = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Le coppie nell'insieme del prodotto cartesiano devono essere formate prendendo gli elementi dei sue insiemi in modo ordinato (il primo elemento della coppia appartiene al primo insieme del prodotto cartesiano, il secondo elemento al secondo insieme...) qundi il prodotto cartesiano non è commutativo.

una finezza...

mi sfugge il perchè lo abbiano chiamato prodotto che a me fa mensare alla moltiplicazione

[/\/\@®¢Ø]

Originariamente inviato da misterx
una finezza...

mi sfugge il perchè lo abbiano chiamato prodotto che a me fa mensare alla moltiplicazione

Perche' piu' o meno e' cosi': se A ha 4 elementi e B ne ha 3 AxB ne avra' 4x3=12

[misterx]

Originariamente inviato da /\/\@®¢Ø
Perche' piu' o meno e' cosi': se A ha 4 elementi e B ne ha 3 AxB ne avra' 4x3=12

intendi questo ?


A={1,2,3,4}
B={a,b,c}

AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)}



p.s.
se mi metti sempre l'esempio chiarificatore te ne sarei grato, tanto per non scambiar, da parte mia, lucciole per lanterne

[misterx]

domanda:

una relazione è definita transitiva quando ?

non mandatemi al diavolo ma fatico a trovare esempi chiari in rete