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Attento a non fare confusione: la convergenza uniforme è una proprietà di insieme, per cui non ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) per ogni valore di z appartenente ad un insieme aperto A", mentre ha senso dire "converge uniformemente ad una funzione f(z) in un insieme A".
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giusto, hai ragione
quando è richiesta l'ipotesi di convergenza uniforme del limite, è per la garanzia che il limite f(z) sia una funzione continua?
ad esempio il teorema che hai citato tu mi sembra che l'ho studiato tempo fa come "teorema di derivazione termine a termine" , richiede la convergenza uniforme per il motivo che ho ipotizzato?