Definizioni
Si definisce equazione differenziale un'equazione dove compare una funzione incognita insieme alle sue derivate. In genere è della forma:
}, y^{(n-1)} \ldots , y , x) = 0)
.
Si dice in forma canonica quando la derivata di ordine più alto è esplicitata:
}=\Phi (y^{(n-1)}, \ldots , y , x))
Si dice autonoma se x non compare esplicitamente (le equazioni del moto sono un esempio di equazioni autonome, di solito: si veda la caduta libera, il moto armonico e così via, in cui le forze in gioco dipendono da posizione e velocità, ma non dal tempo!).
Si dice lineare quando la funzione implicita e le sue derivate compaiono alla prima potenza e non moltiplicate fra loro. Un'equazione differenziale lineare è della forma:
y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_0(x)y = f(x))
.
L'equazione si dice omogenea quando f(x) è identicamente uguale a zero.
Infine si dice a variabili separate un'equazione differenziale che si può scrivere nella forma:
y'=\psi(x))
Equazioni differenziali lineari di primo ordine
Sia
y = f(x))
un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Moltiplicando ambo i membri per
})
,
dove
}=\int a(x)dx)
è una primitiva di a(x), si ottiene:
}+a(x)ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)})
Al primo membro si può riconoscere la derivata del prodotto
})
:
}=f(x)e^{A(x)})
integrando membro a membro:
}=\int f(x)e^{A(x)}dx + k)
,
con k costante arbitraria. Quindi l'integrale generale è della forma:
} \int f(x)e^{A(x)}dx + ke^{-A(x)})
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"Expedit esse deos, et, ut expedit, esse putemus" (Ovidio)
Il mio "TESSORO": SuperMicro 733TQ, SuperMicro X8DAI I5520, 2x Xeon Quad E5620 Westmere, 12x Kingston 4GB DDR3 1333MHz, 4x WD 1Tb 32MB 7.2krpm
