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Originariamente inviato da JL_Picard
Ma io ho dimostrato che l'insieme dei reciproci (che ha certamente la stessa cardinalità dell'insieme degli interi, visto che ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento dei due insiemi) è un sottoinsieme proprio dei numeri compresi fra zero e uno.
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Ma questo è sufficiente solo a dimostrare che i numeri
reali fra 0 e 1 hanno cardinalità maggiore
o uguale a N.
Tutte le frazioni possono essere considerate una coppia ordinata (m,n) di naturali diversi da 0, e numerate seguendo un procedimento a zig zag, esempio:
(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), ...
rimuovendo i doppioni, ad esempio (2,2) è la stessa frazione di (1,1). Avendo una funzione biunivoca, N e Q hanno la stessa cardinalità (eppure esistono infinite frazioni con lo stesso denominatore).
Puoi usare un procedimento simile associando a una tupla di k naturali ordinati un'equazione algebrica di grado k. Le soluzioni di questa equazione sono numeri algebrici e possono essere numerate; cioè anche i numeri algebrici (tutti quelli con soli radicali) sono numerabili.
Per dimostrare che i reali sono "di più" devi dimostrare che non è possibile trovare una funzione biunivoca come quelle precedenti fra N e [0,1] nei reali. Non basta trovare una funzione iniettiva.