con "minore" si intende che la cardinalità dei naturali è minore di quella dei reali (o del continuo): non esiste una funzione iniettiva da R in N.
La dimostrazione è abbastanza semplice, la puoi trovare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Argomen...nale_di_Cantor
EDIT: scusa, ho visto ora che parlavi dei numeri [0,1]. Beh la cosa è ugualmente valida, visto che la cardinalità di [0,1] è la stessa di R.
La dimostrazione di questo è abbastanza semplice: dimostriamo che #[0,1] >= #R (con # indico la cardinalità di un insieme)... consideriamo l'insieme (0,1) contenuto in [0,1], e la funzione così definita:
f(x) = tg(x*pi - pi/2)
dove pi = pigreco
è evidente che questa funzione da (0,1) in R è biettiva, quindi - per definizione di cardinalità - #(0,1) = #R. Ma (0,1) è contenuto in [0,1] e la cardinalità è crescente... quindi #[0,1] >= #R.
Allo stesso tempo però [0,1] è contenuto in R: segue che #[0,1] <= #R
Dalle due disuguaglianze si deduce #[0,1] = #R
(in realtà io uso quei <>= con troppa leggerezza... dietro quello che scrivo c'è un teorema, noto come Teorema di Bernstein... ma almeno a livello intuitivo se ne può fare a meno)
E visto che noi sappiamo già che #N < #R, #N < #[0,1]