[JL_Picard]

limite 1: il limite non esiste: la prima parentesi tende a 1, la seconda vale 0 (per n pari) e 2 (per n dispari)

limite 2: sei nella forma 0 x infinito quindi devi trasformarla nella forma 0 / 0 oppure infinito diviso infinito e applicare il T. di de l'Hopital.

(non ho svolto l'esercizio, ma credo che il risultato sia 1)

limite 3: OK

limite 4: moltiplica e dividi per (radq(x^2+1)+x)
al numeratore svolgi il prodotto (radq(x^2+1)-x) (radq(x^2+1)+x) che da come risultato x^2+1-x^2 = 1

quindi ora hai il limite di senx / [(radq(x^2+1)+x)]

il numeratore è limitato, il denominatore tende a 2x, per cui il limite è 0

limite 5: l'espressione non è chiara

stai calcolando lim x-->+inf [(x^2 +x sinx)/5x^2] - 3 oppure

lim x-->+inf (x^2 +x sinx)/(5x^2 - 3)?

nel primo caso porta a fattor comune x^2: ottieni

[x^2 [1+(senx)/x] / [5x^2]]-3 da cui semplificando x^2

[1+(senx)/x] / 5]-3 = 1/5 - 3 = -14/5

nel secondo caso porta a fattor comune x^2: ottieni

[x^2 [1+(senx)/x] / [(5x^2)[1 - 3 / x^2]]] da cui semplificando x^2

[1+(senx)/x] / [1 - 3 / x^2)] = 1/1 = 1

ESERCIZIO

a) come hai detto tu dimostrare che ha una sola radice reale

b) sia y=f(x)= 2x + sen x la funzione inversa è una funzione del tipo x=g(y)
affinchè sia possibile f(x) deve essere monotonicamente crescente o decrescente ... in altre parole non ammette massimi o minimi relativi, ma eventualmente solo punti di flesso.

c) una volta trovata la funzione inversa [definita come f^-1] devi dimostrare che sia derivabile

d) devi calcolare la derivata in (0) della funzione inversa

Ultimo esercizio: perchè una funzione sia derivabile, deve essere continua l'espressione della derivata:

per cui calcoli le derivate nei tre intervalli
e verifica che i limiti sinistro destro della derivata intorno a -1 e 0 siano uguali.