[andybi]

dipende da come hai settato il router in genere si setta il router affinchè faccia automaticamente la connessione all'accensione, la connessione non è gestita dal PC anche perchè il router si utilizza prevalentemente in ambienti multiutente, nei quali solo il router può e deve gestire la connessione altrimenti sai che casino!!
In altri tipi di configurazioni il router si connette non appena riceve una richiesta per un indirizzo esterno.

Insomma il router in genere si collega ad internet quando acceso di conseguenza a meno che non caschi la linea, l'indirizzo IP assegnato dall'ISP rimane ovviamente lo stesso.

Per quanto riguarda l'indirizzo interno vale il discorso già fatto.