Veniamo alla parte più interessante ed utile, la mini-guida "dio me la mandi buona" all'integrazoine delle funzioni più cattive...
Tutte le funzioni goniometriche e quelle irrazionali possono essere razionalizzate con opportune sostituzioni, prima di vedere in che modo... ahimé un piccolo formulario di goniometria!
funzioni goniometriche
Per le funzioni goniometriche la sostituzione razionalizzante universale è
t = tgx/2
senx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
Questo razionalizza tutto, ma può incasinare decisamente i calcoli ( se riesco posto un esempio particolarmente complicato... mi ha fatto dannare per due giorni! ); esistono delle sostituzioni che si possono applicare in casi particolari e che rendono la vita molto più semplice:
- la funzione è dispari in senx, ovvero f(-senx) = -f(senx)
la funzione si può scrivere sempre come senx * g(cosx), dove g è una nuova funzione. la sostituzione da operare è
cosx = t
senxdx = -dt
-la funzione è dispari in cosx, ovvero f(-cosx) = -f(cosx)
la funzione si può sempre scrviere come cosx * g(senx) (simmetrico a prima!); la sostituzione da operare è
senx = t
cosxdx = dt
-la funzione è pari in senxcosx ( e qui già le cose si incasinano ) ovvero cambiando segno sia al seno che al coseno il segno della funzione non cambia: f(-cosx, -senx) = f(cosx, senx)
la funzione si può sempre scrivere come g(tgx). La sostituzione è:
tgx = t
dx = dt/(1+t^2)
funzioni irrazionali di polinomi di secondo grado
Una radice in mezzo alle scatole è sempre spiacevole. Per eliminarle esistono delle sostituzioni, che però sono un po' più complicate di quelle qui sopra... distinguiamo intanto due casi:
sia la nostra funzione una funzione razionale R di
sqrt(ax^2+bx+c):
-a>0 (sostituzioni di eulero)
Ok, so che a prima vista sembra una cosa terribile, ma non è così difficile da applicare. un esempio facile che può semplificare molto è:
-a<0
Questa è decisamente più facile!
Per prima cosa bisogna ricondurre il polinomio sotto radice ad una scrittura del tipo (a^2-X^2), completando opportunamente i quadrati
ES: 2x-x^2= 1-(x-1)^2
quindi si sostituisce la funzione X con asent; sempre nell'esempio di prima si pone (x-1)=senx. Sotto radice quindi compare a^2-a^2sen^2t= a^2(1-sen^2t). Ma la radice di questa quantità non è altro che acost!
quindi ci si riconduce al caso di prima.
Completo l'esempio: 2x-x^2= 1-sen^2t; la radice diventa quindi cost.
manca dx=acostdt.
Ok, direi che il grosso è fatto!
Spero che la guida serva a qualcuno, magari più tardi posto un esempio riassuntivo!
Ciao