Discussione: Calcolo integrale
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Old 12-01-2005, 11:15   #1
Lucrezio
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Calcolo integrale

Visto il post di Cristina e visto lo spirito con cui è stata accolta l'idea, ho deciso- complice il fatto che il 14 ho un compitino di analisi, di provare a scrivere una mini-guida al calcolo integrale.
Inizio subito dicendo che come riferimento uso
M. Sassetti: "Calcolo Integrale".
Le formule sono nell'allegato!
Cominciamo
1) Definizione di integrale indefinito
Sia f: A--->R una funzione definita da un sottoinsieme dei numeri reali A a R
Si definiscono primitive della funzione f tutte le funzioni F tali che
F'(x) = f(x) + c, con c costante arbitraria
-Se A è un intervallo, tutte le primitive differiscono fra loro per una costante
Siano F e G due primitive di f.
Per provare l'asserto è necessario dimostrare che (F-G) = c, ovvero che, posta H=F-G, H'(x) = 0 per ogni x.
preso un punto y € A, per ogni x diverso da y possiamo applicare il t. di Lagrange ad H nell'intervallo (x,y):
H(x)-H(y)=H'(c) (x-y).
Affinché la derivata in c sia nulla (hyp), occorre che H(x) = H(y) per ogni coppia di x,y. La funzione H è quindi costante.
-non tutte le funzioni ammettono primitiva


Detto questo, si definisce integrale indefinito di f rispetto ad x l'insieme di tutte le primitive ( qualora esistano ) della funzione f e si indica con il simbolo
(1)

Proprietà
L'integrale è un operatore lineare, ovvero:
(2) e (3)


Metodi di integrazione
1) Integrazione per parti:
La regola di derivazione del prodotto di due funzioni afferma che:
D (fg) = f'g + fg'
quindi:
fg = int f'g dx + int fg' dx ovvero, indicando con F una primitiva d f:
(4).
Questo metodo è estremamente comodo per integrare funzioni del tipo e^x per un'altra funzione, prodotti di funzioni goniometriche etc...

2) Integrazione per sostituzione:
a) sostituzione:
la regola di derivazione delle funzioni composte afferma che:
D F[g(x)]= f[g(x)]g'(x), dove F è una primitiva di f.
quindi, per calcolare la primitiva di una funzione scritta nella forma f[g(x)]g'(x)
si può effettuare la seguente sostituzione:
g(x)=t
g'(x)dx=dt. Riassumendo:
(5)


b) cambiamento di variabile:
Sia g una funzione INVERTIBILE e h la sua inversa:
si può ricondurre l'integrale
int f(x) dx
all'integrale
int f[g(t)]g'(t)dt tramite la sostituzione
x=g(t) => t=h(x)
dt=h'(x)dx.
Se si riesce a calcolare l'integrale qui sopra, trovando una primitiva A(t), la funzione A(h(x)) è una primitiva del primo integrale.
(N.B.: sembra un gran casino, in realtà è abbastanza facile; questo metodo è quello che permette di risolvere il 99% degli integrali complicati!).
Riassumendo:
(6)

Spero di essere stato abbastanza chiaro... e spero che tutto questo sia utile a qualcuno!
Magari fra un po' posto anche una mini-guida all'integrazione di funzioni irrazionali!
Ciao
Immagini allegate
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Ultima modifica di Lucrezio : 12-01-2005 alle 23:01.
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