Ipotesi:
-E(n) č un enunciato per ogni n appartenente a N (numeri naturali)
-E(n0) č vero
-Per ogni n>n0 E(n) vero ---> E(n+1) vero (ipotesi induttiva)
Tesi:
E(n) č vero per ogni n>n0
DIMOSTRAZIONE
Neghiamo la tesi: esiste un n1>n0 tale per cui E(n1) č falso.
Chiamiamo F l'insieme degli n tali per cui E(n) č falso. Ovviamente n1 appartiene a F. Ma allora F č un sottoinsieme di N non vuoto, quindi ammette un minimo. Chiamiamo questo minimo n2. Ma se n2 č l'elemento minimo di F, allora si ha che n2-1 non appartiene a F, quindi E(n2-1) č vera. Allora per l'ipotesi induttiva E[(n2-1)+1] deve essere vera, ma sappiamo che č falsa essendo n2 appartenente a F. Assurdo.
Questo completa la dimostrazione per assurdo.
Chiaro?
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«Il dolore guida le persone a distanze straordinarie» (W. Bishop, Fringe)
How you have fallen from heaven, O star of the morning, son of the dawn!
You have been cut down to the earth, You who have weakened the nations! (Isaiah 14:12)