Questione annosa quella del "jolly", come dice il famoso aforisma:
jack of all trades, master of none,
certainly better then a master of one
Mi associo alle osservazioni fatte da Kaya, limitare il lavoro del sistemista al tuttofare aziendale o all'omino che mette online i siti è riduttivo e non corrisponde per nulla alla realtà di questa professione.
Bisognerebbe poi distinguere tra sistemisti puri (ovvero amministratori di sistema), hardwaristi, sistemisti di rete (detti anche tecnici di rete), dba, sistemisti applicativi (che si occupano in modo specifico di uno o più servizi applicativi).
Insomma c'è di tutto un po' e sicuramente non è possibile ridurre tutto ad un corso o due, tantomeno gratis (gratis? mai sentita questa parola...

).
In Italia ahimè ci si deve adattare a fare un po' di tutto, e questo vale tanto per il sistemista quanto per lo sviluppatore (che infatti spesso esce dal seminato improvvisandosi sistemista, dba, web designer, project manager etc etc).
In tal senso l'essere in grado di cavarsela un po' in tutte le occasioni imho è una caratteristica fondamentale nell'IT di oggi (un livello elevato di specializzazione imho è molto rischioso, lo era 10 anni fa e oggi lo è ancora di più), insomma l'antico significato dell'aforisma che ho citato sta tornando, in contrapposizione al significato dispregiativo di "smanettone" che ha dominato negli ultimi anni.
Una cosa fondamentale che imho occorre sviluppare per essere buoni sistemisti è un ottimo livello e sensibilità sul problem solving.
Non è importante trovare una soluzione a tutto, nessuna azienda pretenda da un proprio professionista di saper fare tutto, ma il capire dove sta un problema, isolarlo, saper individuare la figura professionale specialistica adatta a risolverlo, beh tutte queste cose non sono banali e un buon sistemista deve sviluppare anzitutto questo.
Va da se che tutto questo richieda una notevole propensione alla ricerca, alla sperimentazione, al saper cavare le informazioni giuste dai sistemi e dalla rete, e anche questo non è banale (della serie "si fa presto a dire Google"

).
Le attività come saper modificare la configurazione di un webserver, installare un db o modificare la configurazione di un servizio imho sono cretinate, sono cosette che trovi facendo una ricerca sulla documentazione o in rete.
Non sono certo quelle le attività importanti, basta spulciare una reference o un manuale e un modo si trova, la parte complessa è interpretare correttamente la logica che sta dietro ai servizi, come funzionano veramente dietro le interfacce in modo da capire bene cosa si sta facendo mettendo mano ad una configurazione o leggendo un log.
Per farti un esempio, se io dovessi valutare un sistemista ad un colloquio (scena già vista...) sicuramente valuterei in modo positivo uno che magari non mi sa modificare la configurazione di un webserver o di un db o fare il "compitino" come attivare un nuovo virtualhost (e che magari mi risponde "non sono un'enciclopedia vivente e non posso ricordarmi la sintassi di ogni comando o tutte le direttive di un file di configurazione, se mi serve fare una cosa del genere la cerco sulla documentazione di <apache|db2|oracle|nginx>"), ma che di fronte ad un problema su un sistema del tutto ignoto mi parte da un semplice netstat e arriva trovare il servizio corretto, il log corretto, il file di configurazione corretto e magari mi prepara un bel report da girare al dba o allo specialista di turno con già 3/4 delle informazioni utili per capire bene il problema e risolverlo.
Detto questo il mio consiglio è di diffidare delle "formuline magiche" o dei "compitini" (sistemo il webserver, sistemo il db etc etc) e di concentrarsi sulle basi del problem solving, il che implica una buona conoscenza teorica sui sistemi operativi, sulle architetture e sulle reti.
Poi il resto (compitini e formuline magiche) vengono da se man mano che si lavora, si cercano soluzioni, si fa esperienza.
Il tutto ovviamente imho, da consulente IT sistemista da 13 anni.