cercherò di essero chiaro e conciso.
per avere la push-mail hai bisogno di un account che supporti questa "funzione" (es. gmail,yahoo,mobile me, etc..), alice non è uno di questi.
Ricevi le mail a intervalli regolari perchè se l'account non supporta il push, il client mail va controllare il tuo account a intervalli regolari (impostabili da te), e se trova un nuovo messaggio lo scarica.
Se vuoi avere le mail "in tempo reale" hai due soluzioni, la prima (che consiglio) è di farti un account con gmail, la seconda è scaricare un software che ti avverta tramite notifiche push, il funzionamento si basa sulla possibilità che ha il tuo attuale account di fare il forwarding delle email verso un altro indirizzo, guarda questo link per capire il principio
http://dopushmail.com/