[variabilepippo]

L'hai fatta troppo complicata!

Scrivo direttamente qui (modificando il tuo codice) senza testare:

#include<iostream>

using namespace std;

int main(void)
{
	int counter = 1;
	int number = 0;
	int largest1 = 0;
	int largest2 = 0;

	while ( counter <= 10)
	{
		// Continua a chiedere i numeri se <= 2
		do {
			cout << "Inserisci il " << counter << "o numero (diverso da 1 e 2): ";
			cin >> number;
		} while (number <= 2); // Se non ti piace puoi cambiare questa condizione

		counter++;
		
		// E' importante il >= altrimenti rischi di avere 2 numeri uguali in output
		if (number >= largest1)
			largest1 = number;
		else
			if (number > largest2)
				largest2 = number;
	}

	cout << "I due numeri interi maggiori inseriti sono: " << largest1 << " e " << largest2 << endl;

	return 0;
}