[Lucrezio]

Originariamente inviato da pietro84

piccolo dubbio.

l'integrale generale di una equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine è del tipo :

y(t)=c1*e(z1t)+c2*e(z2t) (se z1 è diverso da z2)
nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia radici complesse e coniugate, z1 e z2 sono numeri complessi, per semplicità suppongo che la parte reale di z1 e z2 sia nulla.

utilizzando le formule di eulero si ottiene:

y(t)= (c1+c2) cos(z1t) + j(c1-c2) sen(z2t)= Acos(z1t)+jBsen(z2t)
con z1=z2

nei libri di analisi però la soluzione riportata è di questo tipo:

y(t)= A cos(z1t) + Bsen(z1t)

quando si cercano soluzioni puramente reali.

però io mi chiedo: in base a quale considerazione rigorosa l'unità immaginaria sparisce? intuitivamente il ragionamento fila, ma non riesco a giustificare con rigore questo passaggio

L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare di secondo ordine è uno spazio vettoriale di dimensione 2.
che tu prenda exp(iwt), exp(-iwt) come base va benissimo, ma se tu decidi che vuoi applicare lo studio che stai facendo ad un sistema fisico "reale", puoi decidere arbitrariamente, senza problemi, di prendere solo la parte reale delle tue soluzioni. Devi però trovare due funzioni che siano linearmente indipendenti e al contempo soluzione entrambe dell'equazione differenziale: il seno e il coseno godono di queste proprietà (sono ortogonali e risolvono l'equazione se il termine dissipativo è nullo; altrimenti ti viene un fattore esponenziale che però ha argomento in ogni caso reale, quindi interessa poco, ai fini di quello che vogliamo vedere!) quindi, restringendosi ad R, siamo a posto

P.S.: in poche parole: vedila come un problema di geometria, non di analisi!
Un'altra risposta possibile è che seno e coseno sono combinazioni lineari (e quindi, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale, a loro volta soluzioni) di e^{iwx} ed e^{-iwx}... alla fine il succo è lo stesso