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Originariamente inviato da Lucrezio
Funziona!
L'abbiamo fatto l'anno scorso in un'esercitazione di cinematica... non trovo gli appunti e non mi ricordo come si fa, magari cerco di procurarmeli o chiedo ad Alexzeta, che dovrebbe averli (in più è anche un malefico fisico  ) |
Se hai tempo facci sapere la risposta, o meglio il testo che ti ritrovi tu...E magari mandaci il fisico malefico....Daltronde, un chimico ce l'abbiamo (indovina chi è
), un matematico pure (ZioSilvio)....solo il fisico ci manca e siamo a posto
X tutti: nessuno ha un idea sul semplice problema della regolarità del dominio?Oggi ho fatto il compito di Analisi II e giovedì ho l'orale
Ah, a proposito, altro piccolo quesito: risolvere l'equazione differenziale
Codice:
2 2
x - 3xy + 2y
y'= -------------- (1)
2
x + 2xy
Tralascio la parte teorica (dove sono definite le funzioni etc etc) che comunque sul compito ho riportato con cura e mi concentro sui "conti"
E' un'equazione differenziale omogenea e quindi posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili operando la sostituzione y/x = t da cui y = xt' (e quindi y'= x + xt')
Dopo un pò di passaggini (ed è qui che mi sbaglio spesso) giungo a:
Codice:
1 - 4t 1
y'= ----------- * --- (2)
1 + 2t x
Se 1 - 4t = 0 <=> t=1/4 allora la funzione t1(x)=1/4 è soluzione dell'equazione differenziale (anche qui tralasciamo il discorso teorico, comunque la soluzione è unica per la lipschitzianità della funzione a secondo membro). A questa soluzione corrisponde, per la (1) la funzione y(x)=(1/4)x
Se 1 - 4t diverso da 0 allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono definite implicitamente dall'equazione:
Codice:
_ _
| 1 + 2t | 1
| ----------- dt = | --- dt
_| 1 - 4t _| t
Risolvendo ottengo:
Codice:
-t 3
Per la (2): --- - --- log |1-4t| = log |t| + c
2 8
Per la (1): basta sostituire y/x=t
(si potrebbe fare qualche altro passaggio) con c variabile reale.
Ci siamo?