[URGENTE]Esercizi di analisi per l'11

[tazok]

ciao a tutti.
come da topic,ho un grave problema.
l'11 ho l'orale di analisi 1(vecchio ordinamento,5cfu),e debbo saper svolgere questi esercizi.
se qualcuno mi può postare la soluzione eventuale di qualcuno,ve ne sarei grato x sempre :)

calcolo limiti:

--------------------- limite 1
lim n-->inf (n/n+1)(1-(-1)^n)

a me questo sembra non esistere,mi sbaglio?

---------------------- limite 2
lim n-->inf n(ln(n+2) -ln(n+1))

a me sembra 0,poichè metto a rapporto la differenza di ln ,quindi n(ln1) = inf *0 = 0 sbaglio ? ^_^

---------------------- limite 3
lim n-->inf (1+2+3+4+...n)/n^2

questo mi sembra che riporti 1/2 in base a (somma primo n numeri=n(n+1)/2)

---------------------- limite 4
lim x-->+inf sinx(radq(x^2+1)-x)

questo nn so dove mettergli mano T_T

---------------------- limite 5
lim x-->+inf (x^2 +x sinx)/5x^2 - 3

ibidem come sopra :(

inoltre,la soluzione per questo esercizio,che non ho capito bene x niente


ESERCIZIO

a)dimostrare che l'equazione 2x + sinx=0 ammette solo una radice reale
b)dimostrare l'invertibilità della funzione f(x) =2x+sinx
c)dimostrare la derivabilità della funzione f^-1
d)calcolare (f^-1)'(0)

questo manco ho idea di cosa voglia dire.
la a) forse chiede di verificare che 2x=-sinx abbia solo una soluzione..
per il resto,nn sono riuscito ad andare avanti :(

---------------------------

ultimo esercizio,qst è abbastanza facile


data la funzione definita come

x^3+1 x<= -1
-x^2+1 -1<x<0
x^3+1 x >= 0

studiarne la continuità e la derivabilità in R

io ho calcolato i limiti a -1 e a 0 sia destra che sinistra.
se sono uguali,la f è continua.
per la derivabilità...??come si fà?


grazie in anticipo :)

[tazok]

hehe,up? :P

[JL_Picard]

limite 1: il limite non esiste: la prima parentesi tende a 1, la seconda vale 0 (per n pari) e 2 (per n dispari)

limite 2: sei nella forma 0 x infinito quindi devi trasformarla nella forma 0 / 0 oppure infinito diviso infinito e applicare il T. di de l'Hopital.

(non ho svolto l'esercizio, ma credo che il risultato sia 1)

limite 3: OK

limite 4: moltiplica e dividi per (radq(x^2+1)+x)
al numeratore svolgi il prodotto (radq(x^2+1)-x) (radq(x^2+1)+x) che da come risultato x^2+1-x^2 = 1

quindi ora hai il limite di senx / [(radq(x^2+1)+x)]

il numeratore è limitato, il denominatore tende a 2x, per cui il limite è 0

limite 5: l'espressione non è chiara

stai calcolando lim x-->+inf [(x^2 +x sinx)/5x^2] - 3 oppure

lim x-->+inf (x^2 +x sinx)/(5x^2 - 3)?

nel primo caso porta a fattor comune x^2: ottieni

[x^2 [1+(senx)/x] / [5x^2]]-3 da cui semplificando x^2

[1+(senx)/x] / 5]-3 = 1/5 - 3 = -14/5

nel secondo caso porta a fattor comune x^2: ottieni

[x^2 [1+(senx)/x] / [(5x^2)[1 - 3 / x^2]]] da cui semplificando x^2

[1+(senx)/x] / [1 - 3 / x^2)] = 1/1 = 1

ESERCIZIO

a) come hai detto tu dimostrare che ha una sola radice reale

b) sia y=f(x)= 2x + sen x la funzione inversa è una funzione del tipo x=g(y)
affinchè sia possibile f(x) deve essere monotonicamente crescente o decrescente ... in altre parole non ammette massimi o minimi relativi, ma eventualmente solo punti di flesso.

c) una volta trovata la funzione inversa [definita come f^-1] devi dimostrare che sia derivabile

d) devi calcolare la derivata in (0) della funzione inversa

Ultimo esercizio: perchè una funzione sia derivabile, deve essere continua l'espressione della derivata:

per cui calcoli le derivate nei tre intervalli
e verifica che i limiti sinistro destro della derivata intorno a -1 e 0 siano uguali.

[tazok]

nel secondo caso porta a fattor comune x^2: ottieni

[x^2 [1+(senx)/x] / [(5x^2)[1 - 3 / x^2]]] da cui semplificando x^2

[1+(senx)/x] / [1 - 3 / x^2)] = 1/1 = 1


hai pvt di ringraziamento!!

cmq mi sembra che hai lasciato un pezzo,o ho capito male.

se semplifico per x^2,sotto rimane il 5 (era 5x^2).
e vabè,quindi è 1/5 se non erro.

ultima cosa:senx/x lo si riconduce a 0 poichè ad infinito è il rapporto tra una quantità finita(senx)al num. e una infinita(x) al denom. era questo il passaggio che mi mancava :D


per la funzione inversa:qualcuno sa come si calcola? :)

[tazok]

cmq mi sembra che hai lasciato un pezzo,o ho capito male.

se semplifico per x^2,sotto rimane il 5 (era 5x^2).
e vabè,quindi è 1/5 se non erro.



up? :)

[JL_Picard]

up? :)

Hai ragione... è corretto 1/5.

Di sera qualche svista ci sta pure...

[tazok]

Hai ragione... è corretto 1/5.

Di sera qualche svista ci sta pure...

era solo per esserne sicuri!!grazie ancora :)

[DarkSiDE]

ma scusa quando si tratta di controllare la correttezza di un calcolo perchè non utilizzi derive? per i limiti (e non solo) è una gran bell'aiuto ;)

[tazok]

ma scusa quando si tratta di controllare la correttezza di un calcolo perchè non utilizzi derive? per i limiti (e non solo) è una gran bell'aiuto ;)

mai usato,che roba è? :)

[Silver_1982]

Probabilmente non è colpa degli studenti se le università non mettono a disposizione questi INDISPENSABILI strumenti,ma la cosa mi pare davvero strana,io ad esempio avevo all'interno di diversi corsi la parte di laboratorio OBBLIGATORIA, e con valutazione...e programmi tipo matlab (e un po meno derive e mathematica) sono utilizzati a iosa, dall'analisi matematica allo studio di sistemi di equazioni diffenziali,dall'automatica alla teoria dei segnali.....e per tante altre materie!

Ripeto... questi software dovrebbero essere messi a disposizione in modo gratuito dalla tua università.....ad esempio al politecnico di milano dove studio io,vengono forniti un'infinità di software LICENZIATI...tra cui quelli appena citati...prova ad informarti,sicuramente anche da te dovrebbero fornire un servizio analogo!

cmq per calcolare limiti,derivate integrali...lo strumento + semplice è derive...mentre se devi utilizzare sistemi (e dunque matrici) di ogni tipo,ripeto di ogni tipo, MatLab (Matrix Laboratory) è lo strumento + adatto!

le ultime versioni di questi software dovrebbero essere :

Matlab v7.0.1 r14 sp2
Derive 6.0.1
Mathematica 5.1.1

[DarkSiDE]

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=972965 :fiufiu:

[tazok]

limite 2: sei nella forma 0 x infinito quindi devi trasformarla nella forma 0 / 0 oppure infinito diviso infinito e applicare il T. di de l'Hopital.

(non ho svolto l'esercizio, ma credo che il risultato sia 1)


il risultato è esatto,poichè alla fine si ottiene ln e =1.
il problema è che portando nella forma inf/inf e applicando hopital,non si ottiene granchè.
l'unica soluzione è svolgere il rapporto dentro l'ln e aggiungere e sottrarre 1.
in questo caso poi ci si riconduce ad un limite notevole (1+(1/n+1))^n+1 che equivale ad e..


mamma mia che macello! :doh:

si vede che odio la matematica(cioè nn la matematica in se e per se,quella è bella,ma sti esercizi coi trucchetti,lol)

[tazok]

dubito che qualcuno mi risponderà x tempo,cmq ci provo..

il limite di x-->PI (1+cosx)/x come si risolve?
cioè nn è un limite notevole..

la forma è 0/0 ,quindi posso usare Hopital,il risultato è senx con x--> PI =0
è corretta come interpretazione o ho sbagliato ragionamento? :)