Nepero o Napier

[misterx]

che c'entra

lim x -> +inf (1+1/x)^x = e

col tempo di scarica di un condensatore su una resistenza o col tempo di riproduzione di batteri ?

[Banus]

Originariamente inviato da misterx
col tempo di scarica di un condensatore su una resistenza o col tempo di riproduzione di batteri ?
C'entra perchè quei sistemi sono facilmente modellizzabili con un sistema di equazioni differenziali lineare. La soluzione tipica che si trova è:

x(t) = A*e^(-t/T)

dove T è chiamata costante di tempo. Nel caso del circuito resistore-condensatore è T = RC.

[Goldrake_xyz]

Qui base luna c'è un ufo in avvicinamento ! :D

La funzione e^x è particolare xchè si può considerare
come un elemento neutro rispetto a derivata e integrale.

La corrente in funzione del tempo x un condensatore è :

d v(t)
i(t) = C --------- ;
d t

invece per la resistenza vale la nota legge di Ohm :)

v(t) = R* i(t) ;

da queste si ricava un' equazione differenziale
che risolta dà la nota formula :

- t/RC
vr(t) = Eo * e


Quindi è solo una questione matematica.

P.S. una spiegazione peggiore non la potevo scrivere :cry:

[gurutech]

come già detto, in un condensatore

i(t) = C (dv/dt)

ora i(t) è la corrente nel tempo, e fisicamente rappresenta le cariche che vengono aggiunte/tolte al condensatore nell'unità di tempo.

dv/dt è la derivata della tensione ai capi del condensatore rispetto al tempo.

se prendi un C già carico e gli attacchi una R in parallelo stai imponendo, tramite la legge di ohm, i(t) = v(t) / R . qundi puoi riscrivere la prima formula come

v(t) = RC (dv/dt)

scrivo, solo per comodità, DV al posto di dv/dt

v = RC DV
allora
DV / v = 1 / RC

guarda quest'ultima formula: dice che il tasso di decrescita della tensione è costante e pari a 1/RC

ad esempio all'istante iniziale, t=0 hai 5 V ai capi del condensatore, e RC=1ms (millisecondo)

ora vuoi studiare come cambia nel tempo la tensione.
per fare ciò prendiamo una fettina di tempo molto più piccola di RC, ad esempio dt = 10 us (microsecondi).
il nostro dt è esattamente l'un per cento di RC
dopo un intervallino di esattamente 10us abbiamo perso l1% di 5 Volt, perciò siamo a 4.95.
dopo altri 10us (quindi a t=20us) perdiamo ancora un 1% perchè il tasso di decrescita è costante. l'1% di 4.95 vale 0.0495, per cui andiamo a circa 4.9 volt
altri 10us, t=30us e perdi acora l'1%, quindi vai a V=4.85 V e così via.

nella figura sottostante ho tracciato il grafico di quello che ho appena detto per 500 punti. da notare che per farlo non ho MAI usato il numero di nepero, ma solo la considerazione che il tasso di decrescita sia costante
http://www.gurutech.it/images/scarica.jpg

una funzione matematica con il tasso di decrescita/crescita costante si chiama esponenziale e si indica con f(x) = e^x

[gurutech]

dimenticavo: misterx che classe fai?

[lowenz]

La base dei logaritmi neperiani colpisce ancora :)

[gurutech]

Originariamente inviato da lowenz
La base dei logaritmi neperiani colpisce ancora :)

per non citare la notazione di logaritmo naturale: sembra che i prof facciano a gara tra chi scrive ln x e chi scrive log x (in quest'ultimo caso il logaritmo decimale è indicato con log10 x)