Spazi vettoriali

[misterx]

Per definizione se non ho compreso male, sono un insieme dotato di una operazione interna + ed una esterna *

finon a quando si parla di spazi stile (piano cartesiani) contenenti vettori (frecce orientate) riesco a capirlo, ma:

- spazio di polinomi ?
- spazio delle matrici ?

parlando di polinomi, è possibile usare come riferimento:
il piano cartesiano con assi ortogonali e come identificativo degli stessi, le basi dei polinomi ?

esempio:
la base canonica dei polinomi è 1 x

per i polinomi di grado <=2 metterei in ascissa (1) ed in ordinata (x)

correggetemi grazie

[fabio80]

no, non cercare di rappresentare tutto su un piano, ragiona coi polinomi per come sono. il concetto di spazio vettoriale è astratto ed esula dalla rappresentazione grafica che è possibile per i vettori fino R3 o con le matrici che bene o male le scrivi....

[Ziosilvio]

Anzitutto: ha senso parlare di spazio vettoriale su un certo campo.
Usa la definizione astratta: un gruppo abeliano (V,+) è uno spazio vettoriale sul campo K quando è definita una operazione * : KxV --> V che soddisfa le regole:
1) (a+b)*v = a*v + b*v, dove + è la somma in K nel primo membro, e l'operazione di V nel secondo;
2) a*(b*v) = (ab)*v, dove ab è il prodotto di a e b in K;
3) a*(v+w) = a*v + a*w;
4) 1*v=v, dove 1 è l'elemento unità di K.

Considera l'insieme dei polinomi a coefficienti reali: è un gruppo abeliano rispetto alla somma, e se poni a*(a_n x^n +...+ a_1 x + a_0) = (a a_n)x^n + .. + (a a_1)x + (aa_0), hai un'operazione che soddisfa le quattro regole.
Quindi, R[x] è uno spazio vettoriale su R (di dimensione infinita).

Per motivi analoghi, lo spazio delle matrici mxn a coefficienti reali, è uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita).

[fabio80]

sono questi episodi che mi rendono felicissimo di avere ormai messo una pietra sopra certi argomenti :D

[misterx]

Originariamente inviato da fabio80
no, non cercare di rappresentare tutto su un piano, ragiona coi polinomi per come sono. il concetto di spazio vettoriale è astratto ed esula dalla rappresentazione grafica che è possibile per i vettori fino R3 o con le matrici che bene o male le scrivi....


hai colto nel segno :(

io ho bisogno di ricondurre tutto ad una rappresentazione grafica, aaaahhhh, se avessi fatto il liceo scientifico :muro:

[fabio80]

Originariamente inviato da misterx
hai colto nel segno :(

io ho bisogno di ricondurre tutto ad una rappresentazione grafica, aaaahhhh, se avessi fatto il liceo scientifico :muro:


ma che stai facendo per curiosità? :O

[misterx]

Originariamente inviato da fabio80
ma che stai facendo per curiosità? :O


in che senso ?

[fabio80]

Originariamente inviato da misterx
in che senso ?


come mai hai a che fare con algebra lineare :D

[misterx]

Originariamente inviato da fabio80
come mai hai a che fare con algebra lineare :D



:O perchè sono uno studente universitario :)

[misterx]

---

[deggial]

per i polinomi di grado 1 hai due assi:
1 e x
per i polinomi di grado 2 hai tre assi:
1, x, x^2
per i polinomi di grado n hai (n+1) assi:
1, x, x^2, .... x^n

facciamo un esempio:

3*x^3 + 1*x^2 + 10 *x +2

è riconducibile ad un vettore che ha:

quota 3 sull'asse x^3
quota 1 sull'asse x^2
quota 10 sull'asse x^1
quota 2 sull'asse x^0

questa è la tua rappresentazione grafica, spero di vaer risposto alla tua domanda.
poi ci sono dei casini da tenere in conto, ad esempio che lo spazio dei polinomi è infinito-dimensionale.

purtroppo non ho tempo di andare avanti, altrimenti mi perderei (e ti farei perdere) in chiacchere!


spazio delle matrici non mi viene in mente nessuna rappresentazione grafica, ma forse solo perchè ora sono stanco.
ciao