dooka
26-05-2004, 14:26
Qual'è la definizione di integrale, integrale di Reimann e integrale come limite della sommatoria?
thx :)
thx :)
View Full Version : Analisi, definizione di Integrale
gtr84
26-05-2004, 15:03
l'integrale, detto in maniera generale, è un numero, o sempre una funzione che dipende da 1 variablie in meno rispetto alla funzione integranda.
con integrale, di una funzione convergente, si può indicare l'area che essa sottende in un determinato dominio della, o delle, variabili indipententi della funzione.
l'area può avere un significato puramente geometrico, che però può riguardare la statistica, la fisica ecc; ciò a seconda di cosa rappresenta la funzione.
ad esempio, in statistica, se si ha una funzione che determina, al variare delle variabili indipententi, la densità della probabilità con cui si può manifestare un fenomeno, l'integrale di quella funzione su in certo intervallo delle variabili indipententi, indica numericamente la probabilità con cui si manifesterebbe lo stesso fenomeno nel medesimo intervallo di integrazione.
il concetto di funzione Riemann integrabile è strettamente legato al a quello di limite di una serie convergente.
già al liceo, per spiegare il significato di integrale definito di una funzione, si disegna un'area, e la si frammenta in tanti rettangoli, quelli che tangono la funzione da "sotto" a quelli che tangono la funzione da "sopra". la somma delle aree dei primi, ovviamente, è minore della somma delle aree dei secondi. E' facile pensare però, che più sono piccole le basi dei rettangoli (detti anche trapezoidi) (l'i-esimo rettangolo piccolo e l'i-esimo rettangolo grande hanno base in comune) più la differenza di area tra le due sommatorie diventa piccola. quindi, se faccio il limite per h (dove h è l'ampiezza della base) che tende a 0 delle due sommatorie, i limite per la sommatoria grande e il limite della sommatoria piccola coincidono, e sono entrambe uguali al valore dell'integrale definito della funzione integrata sull'intervallo che è stato suddiviso in trapezoidi.
con integrale, di una funzione convergente, si può indicare l'area che essa sottende in un determinato dominio della, o delle, variabili indipententi della funzione.
l'area può avere un significato puramente geometrico, che però può riguardare la statistica, la fisica ecc; ciò a seconda di cosa rappresenta la funzione.
ad esempio, in statistica, se si ha una funzione che determina, al variare delle variabili indipententi, la densità della probabilità con cui si può manifestare un fenomeno, l'integrale di quella funzione su in certo intervallo delle variabili indipententi, indica numericamente la probabilità con cui si manifesterebbe lo stesso fenomeno nel medesimo intervallo di integrazione.
il concetto di funzione Riemann integrabile è strettamente legato al a quello di limite di una serie convergente.
già al liceo, per spiegare il significato di integrale definito di una funzione, si disegna un'area, e la si frammenta in tanti rettangoli, quelli che tangono la funzione da "sotto" a quelli che tangono la funzione da "sopra". la somma delle aree dei primi, ovviamente, è minore della somma delle aree dei secondi. E' facile pensare però, che più sono piccole le basi dei rettangoli (detti anche trapezoidi) (l'i-esimo rettangolo piccolo e l'i-esimo rettangolo grande hanno base in comune) più la differenza di area tra le due sommatorie diventa piccola. quindi, se faccio il limite per h (dove h è l'ampiezza della base) che tende a 0 delle due sommatorie, i limite per la sommatoria grande e il limite della sommatoria piccola coincidono, e sono entrambe uguali al valore dell'integrale definito della funzione integrata sull'intervallo che è stato suddiviso in trapezoidi.
Morpheus_/_Neo
26-05-2004, 15:20
integrale DEFINITO
beh, per farla semplice, il problema che si vuol risolvere e' questo.
data una funzione y = f(x) definita e continua in un intervallo (a,b) si vuole calcolare l'area della parte di piano delimitata dall'asse x, dal grafico della funzione f e dalle rette parallele all'asse y di equazione rispettivamente x=a, x=b.
in particolare si vuole che la definizione di area a cui si giungera' comprenda come caso particolare l'area dei rettangoli in modo che la def di area a cui giungeremo, applicata al caso di un rettangolo, dia proprio la formula nota: A=base*altezza.
ora, il procedimento e' questo: considero la figura delimitata dal grafico di f(x) (figura definita alla riga 3 di questo testo). considero tutti i plurirettangoli contenenti tale figura e tutti i plurirettangoli contenuti in tale figura.
x ciascuno di questi plurirettangoli calcolo l'area come somma dei rettangoli componenti.
ora, prendo l'insieme dei plurirett. contenuti e considero il massimo dei valori delle aree calcolate.
prendo l'insieme dei plurirett. contenenti e considero il minimo dei valori delle aree calcolate
se minimo = massimo, allora dico che y = f(x), a<= x <= b e' integrabile e la sua area vale A=minimo=massimo. per indicare tale area e tale procedimento di calcolo uso il simbolo di integrale.
ora, un modo per avere plurirett. contenuti e' prendere l'intervallo (a,b) e dividerlo in N parti uguali e considerare i punti a,b e quelli dati dalle "tacche" di divisione. per ognuno di questi punti considera la corrispondente immagine sul grafico di f(x) e costriusci dei rettangoli che abbiano per base una delle N parti in cui hai diviso (a,b) e per altezza l'immagine dei punti di cui sopra e fatti in modo che il rettangolo sia contenuto nella figura.
in modo analogo si costriuscono i plurirettangoli contenenti.
ora, si dimostra che se f e' integrabile, l'area calcolata usando questi plurirett, al variare di N e' la stessa calcolata con la definizione data prima. Inoltre se fai tendere N all'infinito ottieni con naturalezza la definizione di integrale come limite della sommatoria delle aree dei rettangoli che compongono i plurirett.
spero di essermi spiegato a sufficienza, senza disegnare non e' semplice!
fammi sapere ciao
M_/_N
beh, per farla semplice, il problema che si vuol risolvere e' questo.
data una funzione y = f(x) definita e continua in un intervallo (a,b) si vuole calcolare l'area della parte di piano delimitata dall'asse x, dal grafico della funzione f e dalle rette parallele all'asse y di equazione rispettivamente x=a, x=b.
in particolare si vuole che la definizione di area a cui si giungera' comprenda come caso particolare l'area dei rettangoli in modo che la def di area a cui giungeremo, applicata al caso di un rettangolo, dia proprio la formula nota: A=base*altezza.
ora, il procedimento e' questo: considero la figura delimitata dal grafico di f(x) (figura definita alla riga 3 di questo testo). considero tutti i plurirettangoli contenenti tale figura e tutti i plurirettangoli contenuti in tale figura.
x ciascuno di questi plurirettangoli calcolo l'area come somma dei rettangoli componenti.
ora, prendo l'insieme dei plurirett. contenuti e considero il massimo dei valori delle aree calcolate.
prendo l'insieme dei plurirett. contenenti e considero il minimo dei valori delle aree calcolate
se minimo = massimo, allora dico che y = f(x), a<= x <= b e' integrabile e la sua area vale A=minimo=massimo. per indicare tale area e tale procedimento di calcolo uso il simbolo di integrale.
ora, un modo per avere plurirett. contenuti e' prendere l'intervallo (a,b) e dividerlo in N parti uguali e considerare i punti a,b e quelli dati dalle "tacche" di divisione. per ognuno di questi punti considera la corrispondente immagine sul grafico di f(x) e costriusci dei rettangoli che abbiano per base una delle N parti in cui hai diviso (a,b) e per altezza l'immagine dei punti di cui sopra e fatti in modo che il rettangolo sia contenuto nella figura.
in modo analogo si costriuscono i plurirettangoli contenenti.
ora, si dimostra che se f e' integrabile, l'area calcolata usando questi plurirett, al variare di N e' la stessa calcolata con la definizione data prima. Inoltre se fai tendere N all'infinito ottieni con naturalezza la definizione di integrale come limite della sommatoria delle aree dei rettangoli che compongono i plurirett.
spero di essermi spiegato a sufficienza, senza disegnare non e' semplice!
fammi sapere ciao
M_/_N
StepsOTM
26-05-2004, 18:40
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
dooka
26-05-2004, 18:55
esaustivi tutti e 3 grazie ;)
a noi 2 analisi :asd:
a noi 2 analisi :asd:
Nabrez
26-05-2004, 19:23
Originariamente inviato da StepsOTM
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
spinbird
26-05-2004, 21:41
Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
un caso?:D
la matematica non è un caso...è tutta definita molto rigorosamente e formalmente....non esce una cosa per "caso" in matematica...
il teorema fondamentale del calcolo integrale spiega appunto perchè si utilizzano le primitive per calcolare l'area sottesa a una curva, è stato dimostrato, e non per caso...
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
un caso?:D
la matematica non è un caso...è tutta definita molto rigorosamente e formalmente....non esce una cosa per "caso" in matematica...
il teorema fondamentale del calcolo integrale spiega appunto perchè si utilizzano le primitive per calcolare l'area sottesa a una curva, è stato dimostrato, e non per caso...
spinbird
26-05-2004, 21:47
Originariamente inviato da StepsOTM
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
Fede
26-05-2004, 22:11
Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
:eek:
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
:eek:
luckye
26-05-2004, 22:14
...........e^x che sta lì nell'angolino tutto solo. Poverino non si integra mai...... :old: ;)
spinbird
26-05-2004, 22:22
Originariamente inviato da luckye
...........e^x che sta lì nell'angolino tutto solo. Poverino non si integra mai...... :old: ;)
battutona da ingegnere:eheh:
...........e^x che sta lì nell'angolino tutto solo. Poverino non si integra mai...... :old: ;)
battutona da ingegnere:eheh:
luigiaratamigi
26-05-2004, 22:26
La conoscevo diversamente:
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
spinbird
26-05-2004, 22:28
Originariamente inviato da luigiaratamigi
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
e qui arriviamo al dottorato:D
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
e qui arriviamo al dottorato:D
riaw
26-05-2004, 22:33
Originariamente inviato da spinbird
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
già!
e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a:mad: :mad: :mad: :mad:
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
già!
e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a:mad: :mad: :mad: :mad:
spinbird
26-05-2004, 22:36
Originariamente inviato da riaw
già!
e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a:mad: :mad: :mad: :mad:
se non studi sono solo cazzi tua:read:
già!
e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a:mad: :mad: :mad: :mad:
se non studi sono solo cazzi tua:read:
riaw
26-05-2004, 22:38
Originariamente inviato da spinbird
se non studi sono solo cazzi tua:read:
certe cose non serve studiarle :cool:
se non studi sono solo cazzi tua:read:
certe cose non serve studiarle :cool:
StepsOTM
27-05-2004, 17:30
Originariamente inviato da spinbird
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
Sai com'è. io non studio analisi.......................
Sono un semplice liceale che ha voluto dire la sua :)
Ho studiato per ora solo gli integrali indefiniti (pure sui miei libri di testo sono spiegati prima di quelli definiti), quindi pensavo di non dire amenità con la mia umile spiegazione, che comunque è giusta e mancava nelle prime due.
Sicuramente il calcolo integrale è molto più usato per il calcolo delle aree, ma serve pure a trovare le funzioni primitive, e ho voluto ricordarlo.
D'altronde quando la mia prof ha iniziato la lezione, la prima cosa che ha detto è stata proprio che il calcolo integrale è l'operazione inversa della derivazione, e così è spiegato pure sui miei libri da liceo scientifico.
Io per ora ho una conoscenza molto vaga di quelli definiti, ma da quel poco che so e che ho potuto applicare, per calcolare le aree sottese dalle curve fino all'asse delle ascisse serve comunque trovare la funzione primitiva, giusto?
Esempio:
[lo scrivo a parole non potendo usare i simboli]
integrale definito da 0 a pigreco di senx
prima si calcola la primitiva di senx, cioè -cosx (essendo Dcosx = -senx), poi si fa (-cospigreco) - (-cos0) = (-(-1)) - (-1) = 2
Quindi l'area compresa fra la funzione y=senx nell'intervallo [0;pigreco] vale 2. Ma prima di calcolarla ho dovuto trovare la sua primitiva, e per farlo bisogna aver studiato gli integrali indefiniti.
La tua osservazione poi sarà giusta se bisogna esporre questa teoria ad un prof universitario di un politecnico (o simili). Uso il condizionale perché ammetto di non saperlo.
Byeee!
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale
si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa;)
Sai com'è. io non studio analisi.......................
Sono un semplice liceale che ha voluto dire la sua :)
Ho studiato per ora solo gli integrali indefiniti (pure sui miei libri di testo sono spiegati prima di quelli definiti), quindi pensavo di non dire amenità con la mia umile spiegazione, che comunque è giusta e mancava nelle prime due.
Sicuramente il calcolo integrale è molto più usato per il calcolo delle aree, ma serve pure a trovare le funzioni primitive, e ho voluto ricordarlo.
D'altronde quando la mia prof ha iniziato la lezione, la prima cosa che ha detto è stata proprio che il calcolo integrale è l'operazione inversa della derivazione, e così è spiegato pure sui miei libri da liceo scientifico.
Io per ora ho una conoscenza molto vaga di quelli definiti, ma da quel poco che so e che ho potuto applicare, per calcolare le aree sottese dalle curve fino all'asse delle ascisse serve comunque trovare la funzione primitiva, giusto?
Esempio:
[lo scrivo a parole non potendo usare i simboli]
integrale definito da 0 a pigreco di senx
prima si calcola la primitiva di senx, cioè -cosx (essendo Dcosx = -senx), poi si fa (-cospigreco) - (-cos0) = (-(-1)) - (-1) = 2
Quindi l'area compresa fra la funzione y=senx nell'intervallo [0;pigreco] vale 2. Ma prima di calcolarla ho dovuto trovare la sua primitiva, e per farlo bisogna aver studiato gli integrali indefiniti.
La tua osservazione poi sarà giusta se bisogna esporre questa teoria ad un prof universitario di un politecnico (o simili). Uso il condizionale perché ammetto di non saperlo.
Byeee!
Morpheus_/_Neo
29-05-2004, 00:46
beh, in effetti l'integrale è ANCHE l'inverso della derivazione! non è ne una cavolata ne un caso.
sentite, col termine integrale si intendono piu cose, che poi si dimostrano essere legate tra loro.
in particolare l'integrale definito serve per l'area mentre quello indefinito è la famiglia delle primitive e quindi è a tutti gli effetti l'inverso della derivazione.
poi si dimostra che l'integrale definito si calcola usando quello indefinito.
sentite, col termine integrale si intendono piu cose, che poi si dimostrano essere legate tra loro.
in particolare l'integrale definito serve per l'area mentre quello indefinito è la famiglia delle primitive e quindi è a tutti gli effetti l'inverso della derivazione.
poi si dimostra che l'integrale definito si calcola usando quello indefinito.
tidal kraken
25-08-2004, 00:18
Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
concordo
si tratta di un abuso di linguaggio definire l'operazione di integrazione come inversa a quella di derivazione
sarebbe invece corretto parlare di complementarietà (simmetria) di operatori, l'invertibilità lasciatela alle funzioni biunivoche... :rolleyes: e pensare che la confusione l'hanno creata dei professori e divulgata sui libri di testo!
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!
;)
concordo
si tratta di un abuso di linguaggio definire l'operazione di integrazione come inversa a quella di derivazione
sarebbe invece corretto parlare di complementarietà (simmetria) di operatori, l'invertibilità lasciatela alle funzioni biunivoche... :rolleyes: e pensare che la confusione l'hanno creata dei professori e divulgata sui libri di testo!
Dias
25-08-2004, 02:33
Integrale è l'operatore inverso della derivata.
tidal kraken
25-08-2004, 14:05
Originariamente inviato da Dias
Integrale è l'operatore inverso della derivata.
e la terra era piatta :rolleyes:
Integrale è l'operatore inverso della derivata.
e la terra era piatta :rolleyes:
Dias
25-08-2004, 14:19
E' la definizione ufficiale, bimbo, studia.
tidal kraken
25-08-2004, 14:47
Originariamente inviato da Dias
E' la definizione ufficiale, bimbo, studia.
era definizione ufficiale anche la piattezza della terra, poi un giorno un uomo decise che non voleva solo studiare ma iniziò a pensare
purtroppo l'evoluzione non implica sempre il progresso (reziel)
E' la definizione ufficiale, bimbo, studia.
era definizione ufficiale anche la piattezza della terra, poi un giorno un uomo decise che non voleva solo studiare ma iniziò a pensare
purtroppo l'evoluzione non implica sempre il progresso (reziel)
jumpermax
25-08-2004, 22:20
Originariamente inviato da tidal kraken
concordo
si tratta di un abuso di linguaggio definire l'operazione di integrazione come inversa a quella di derivazione
sarebbe invece corretto parlare di complementarietà (simmetria) di operatori, l'invertibilità lasciatela alle funzioni biunivoche... :rolleyes: e pensare che la confusione l'hanno creata dei professori e divulgata sui libri di testo!
giusto anche perché anche considerando gli spazi di funzioni essendo la derivata non iniettiva la vedo difficile che si possa invertire... se non restrigendo il dominio...
concordo
si tratta di un abuso di linguaggio definire l'operazione di integrazione come inversa a quella di derivazione
sarebbe invece corretto parlare di complementarietà (simmetria) di operatori, l'invertibilità lasciatela alle funzioni biunivoche... :rolleyes: e pensare che la confusione l'hanno creata dei professori e divulgata sui libri di testo!
giusto anche perché anche considerando gli spazi di funzioni essendo la derivata non iniettiva la vedo difficile che si possa invertire... se non restrigendo il dominio...
ciriccio
25-08-2004, 22:25
eh jumper su 'ste cose mi piace sempre :p
Krammer
25-08-2004, 23:00
quindi Nabrez aveva ragione :eek:
un mito quell'uomo!
un mito quell'uomo!
ciriccio
25-08-2004, 23:18
e infatti si dice: calcolo UNA primitiva:p
tidal kraken
25-08-2004, 23:21
Originariamente inviato da Krammer
quindi Nabrez aveva ragione :eek:
un mito quell'uomo!
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
quindi Nabrez aveva ragione :eek:
un mito quell'uomo!
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
Krammer
25-08-2004, 23:31
Originariamente inviato da tidal kraken
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
tranquillo, la mia era solo una battuta fuori dal contesto ;)
quel tipo ne aveva sparate talmente tante da essersi fatto una fama non indifferente all'interno del forum :eek: :D
e mi ha stupito che c'avesse azzeccato :eek:
speriamo torni a postare :sofico:
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
tranquillo, la mia era solo una battuta fuori dal contesto ;)
quel tipo ne aveva sparate talmente tante da essersi fatto una fama non indifferente all'interno del forum :eek: :D
e mi ha stupito che c'avesse azzeccato :eek:
speriamo torni a postare :sofico:
tidal kraken
25-08-2004, 23:49
Originariamente inviato da Krammer
tranquillo, la mia era solo una battuta fuori dal contesto ;)
quel tipo ne aveva sparate talmente tante da essersi fatto una fama non indifferente all'interno del forum :eek: :D
e mi ha stupito che c'avesse azzeccato :eek:
speriamo torni a postare :sofico:
è stato bannato mi pare, peraltro non so tutto quello che ha scitto ma ho letto uno stralcio di discussione tra lui e alcuni utenti ("civili", mod e admin) e l'atteggiamento nei suoi confronti mi è sembrato sbagliato (scorretto?), ho percepito una conflittualità nei suoi confronti che mi è sembrata eccessiva... boh comunque i suoi "adepti" mi sembra che lo seguissero (perseguitassero) più per ridere di lui che per "farsi illuminare" dagli exploit a tratti geniali e sicuramente originali (improbabili)
temo che abbia pagato più per questo ma credo di sbagliarmi (spero)
tranquillo, la mia era solo una battuta fuori dal contesto ;)
quel tipo ne aveva sparate talmente tante da essersi fatto una fama non indifferente all'interno del forum :eek: :D
e mi ha stupito che c'avesse azzeccato :eek:
speriamo torni a postare :sofico:
è stato bannato mi pare, peraltro non so tutto quello che ha scitto ma ho letto uno stralcio di discussione tra lui e alcuni utenti ("civili", mod e admin) e l'atteggiamento nei suoi confronti mi è sembrato sbagliato (scorretto?), ho percepito una conflittualità nei suoi confronti che mi è sembrata eccessiva... boh comunque i suoi "adepti" mi sembra che lo seguissero (perseguitassero) più per ridere di lui che per "farsi illuminare" dagli exploit a tratti geniali e sicuramente originali (improbabili)
temo che abbia pagato più per questo ma credo di sbagliarmi (spero)
ciriccio
25-08-2004, 23:53
ma questo sito (http://www.bigbibol.altervista.org/NABREZ/nabrez3.htm) l'avete visto? :asd:
Krammer
25-08-2004, 23:53
Originariamente inviato da tidal kraken
è stato bannato mi pare, peraltro non so tutto quello che ha scitto ma ho letto uno stralcio di discussione tra lui e alcuni utenti ("civili", mod e admin) e l'atteggiamento nei suoi confronti mi è sembrato sbagliato (scorretto?), ho percepito una conflittualità nei suoi confronti che mi è sembrata eccessiva... boh comunque i suoi "adepti" mi sembra che lo seguissero (perseguitassero) più per ridere di lui che per "farsi illuminare" dagli exploit a tratti geniali e sicuramente originali (improbabili)
temo che abbia pagato più per questo ma credo di sbagliarmi (spero)
naturalmente è come dici, ma tanti suoi post erano veramente da sbellicarsi dalle risate :D
cmq i suoi primi adepti sono suoi compagni di università, si conoscono, non c'e' cattiveria nello sfottò :)
ps: a norma di regolamento ora si potrebbe reiscrivere ;)
è stato bannato mi pare, peraltro non so tutto quello che ha scitto ma ho letto uno stralcio di discussione tra lui e alcuni utenti ("civili", mod e admin) e l'atteggiamento nei suoi confronti mi è sembrato sbagliato (scorretto?), ho percepito una conflittualità nei suoi confronti che mi è sembrata eccessiva... boh comunque i suoi "adepti" mi sembra che lo seguissero (perseguitassero) più per ridere di lui che per "farsi illuminare" dagli exploit a tratti geniali e sicuramente originali (improbabili)
temo che abbia pagato più per questo ma credo di sbagliarmi (spero)
naturalmente è come dici, ma tanti suoi post erano veramente da sbellicarsi dalle risate :D
cmq i suoi primi adepti sono suoi compagni di università, si conoscono, non c'e' cattiveria nello sfottò :)
ps: a norma di regolamento ora si potrebbe reiscrivere ;)
Krammer
25-08-2004, 23:54
Originariamente inviato da ciriccio
ma questo sito (http://www.bigbibol.altervista.org/NABREZ/nabrez3.htm) l'avete visto? :asd:
a voja :D :D :D
ma questo sito (http://www.bigbibol.altervista.org/NABREZ/nabrez3.htm) l'avete visto? :asd:
a voja :D :D :D
Buffus
26-08-2004, 00:14
Originariamente inviato da Dias
E' la definizione ufficiale, bimbo, studia.
perfavore non sproloquiare ;)
E' la definizione ufficiale, bimbo, studia.
perfavore non sproloquiare ;)
tidal kraken
26-08-2004, 00:21
Originariamente inviato da Krammer
non c'e' cattiveria nello sfottò :)
of course ;)
non c'e' cattiveria nello sfottò :)
of course ;)
Lucrezio
11-01-2005, 21:27
A dir la verità, se proprio si vuole, è l'operatore inverso del differenziale ( int[df(x)] = f(x) )... d'altra parte, eccezion fatta per l'analisi non standard, il differenziale è un concetto "arcano" e poco definito; definire l'integrale come inverso del differenziale, quindi, toglie precisione ad una definizione esatta ( nel senso di soluzione dell'equazione differenziale y'=f(x) o nel senso di riemann! )
Fede
11-01-2005, 21:41
Originariamente inviato da Lucrezio
A dir la verità, se proprio si vuole, è l'operatore inverso del differenziale ( int[df(x)] = f(x) )... d'altra parte, eccezion fatta per l'analisi non standard, il differenziale è un concetto "arcano" e poco definito; definire l'integrale come inverso del differenziale, quindi, toglie precisione ad una definizione esatta ( nel senso di soluzione dell'equazione differenziale y'=f(x) o nel senso di riemann! )
hai ripescato il nabrez...:sofico:
A dir la verità, se proprio si vuole, è l'operatore inverso del differenziale ( int[df(x)] = f(x) )... d'altra parte, eccezion fatta per l'analisi non standard, il differenziale è un concetto "arcano" e poco definito; definire l'integrale come inverso del differenziale, quindi, toglie precisione ad una definizione esatta ( nel senso di soluzione dell'equazione differenziale y'=f(x) o nel senso di riemann! )
hai ripescato il nabrez...:sofico:
Fede
11-01-2005, 21:42
Originariamente inviato da tidal kraken
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
e comunque diceva sul serio...
In quel periodo facevamo calcolo 2 ;)
non è detto che nabrez abbia pensato a quello che ha detto jumper, forse l'ha menata a caso per fare polemica o forse è un vero guru e voleva mettere una pulce "nell'occhio di chi legge" per far si che oltre a studiare si inizi a ragionare (no flame per nessuno, solo un punto di vista)
e comunque diceva sul serio...
In quel periodo facevamo calcolo 2 ;)
lowenz
12-01-2005, 10:56
Scusate ma l'integrale è semplicemente nato come limite di una somma integrale.....POI è venuto tutto il resto, come ad esempio il calcolo di tale limite (col teorema del calcolo integrale e primitive).
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2.htm
e successive pagine ;)
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0009M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0011M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0017M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2.htm
e successive pagine ;)
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0009M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0011M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0017M.gif
ChristinaAemiliana
12-01-2005, 13:25
Originariamente inviato da lowenz
Scusate ma l'integrale è semplicemente nato come limite di una somma integrale.....POI è venuto tutto il resto, come ad esempio il calcolo di tale limite (col teorema del calcolo integrale e primitive).
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2.htm
e successive pagine ;)
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0009M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0011M.gif
Bel sito, aggiungo in lista :D
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0017M.gif
Scusate ma l'integrale è semplicemente nato come limite di una somma integrale.....POI è venuto tutto il resto, come ad esempio il calcolo di tale limite (col teorema del calcolo integrale e primitive).
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2.htm
e successive pagine ;)
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0009M.gif
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0011M.gif
Bel sito, aggiungo in lista :D
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntegraleDefinitoColorato2_file/eq0017M.gif
8310
23-06-2006, 14:03
Allora, vediamo di dare la definizione di integrale di Riemann, quella da cui “nasce tutto”.
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Sia http://operaez.net/mimetex/P = \{ x_0 ,x_1 ,x_2 ,...x_n \} con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:
- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/s(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {m_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/m_i = \inf \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/S(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {M_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/M_i = \sup \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
Si consideri ora la famiglia http://operaez.net/mimetex/ \Im di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:
- Integrale inferiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im }
- Integrale superiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato superiormente
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato inferiormente.
Quindi:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
Si dimostra inoltre che
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im }
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im }
sono insiemi separati e che, di conseguenza
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \leq \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Se avviene che
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = \sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Condizione sufficiente affinché f sia integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] è che l’insieme dei punti di discontinuità della f in [a,b] sia finito o, al più, numerabile.
Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Sia http://operaez.net/mimetex/P = \{ x_0 ,x_1 ,x_2 ,...x_n \} con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:
- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/s(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {m_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/m_i = \inf \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/S(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {M_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/M_i = \sup \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
Si consideri ora la famiglia http://operaez.net/mimetex/ \Im di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:
- Integrale inferiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im }
- Integrale superiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato superiormente
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato inferiormente.
Quindi:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
Si dimostra inoltre che
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im }
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im }
sono insiemi separati e che, di conseguenza
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \leq \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Se avviene che
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = \sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Condizione sufficiente affinché f sia integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] è che l’insieme dei punti di discontinuità della f in [a,b] sia finito o, al più, numerabile.
Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
lowenz
23-06-2006, 14:14
hai ripescato il nabrez...:sofico:
Il Nabrez :ave:
Ma ci fa ancora l'onore di camminare su questa misera Terra? :D
Il Nabrez :ave:
Ma ci fa ancora l'onore di camminare su questa misera Terra? :D
Lucrezio
23-06-2006, 15:00
Allora, vediamo di dare la definizione più "generale di integrale" (integrale di Riemann), quella da cui “nasce tutto”.
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Sia http://operaez.net/mimetex/P = \{ x_0 ,x_1 ,x_2 ,...x_n \} con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:
- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/s(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {m_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/m_i = \inf \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/S(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {M_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/M_i = \sup \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
Si consideri ora la famiglia http://operaez.net/mimetex/ \Im di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:
- Integrale inferiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im }
- Integrale superiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato superiormente
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato inferiormente.
Quindi:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
Si dimostra inoltre che
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im }
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im }
sono insiemi separati e che, di conseguenza
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \leq \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Se avviene che
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = \sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:
Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} con f limitata in [a,b]. Sia http://operaez.net/mimetex/P = \{ x_0 ,x_1 ,x_2 ,...x_n \} con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:
- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/s(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {m_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/m_i = \inf \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:
http://operaez.net/mimetex/S(P,f) = \sum\limits_{i = 1}^n {M_i (x_i - x_{i - 1} )}
dove
http://operaez.net/mimetex/M_i = \sup \{f(x)|x \in [x_{i - 1} ,x_i ] \}
Si consideri ora la famiglia http://operaez.net/mimetex/ \Im di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:
- Integrale inferiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im }
- Integrale superiore di Riemann:
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato superiormente
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im } è limitato inferiormente.
Quindi:
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
http://operaez.net/mimetex/\inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im } \in \mathbb{R}
Si dimostra inoltre che
http://operaez.net/mimetex/\{S(P,f) \}_{P \in \Im }
http://operaez.net/mimetex/\{s(P,f) \}_{P \in \Im }
sono insiemi separati e che, di conseguenza
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } \leq \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Se avviene che
http://operaez.net/mimetex/\sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = \sup \{s(P,f) \}_{P \in \Im } = \inf \{S(P,f) \}_{P \in \Im }
Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:
Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
8310
23-06-2006, 15:13
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Interessante!
Prossimamente due paroline sull'integrazione in senso improprio (o generalizzato che dir si voglia) :)
Interessante!
Prossimamente due paroline sull'integrazione in senso improprio (o generalizzato che dir si voglia) :)
pietro84
23-06-2006, 15:39
Integrale è l'operatore inverso della derivata.
all'esame di analisi 1 la mia prof bocciò uno dello scientifico per aver detto questo e ne era anche sicurissimo :asd:
il concetto di inversa di una funzione implica una relazione 1 a 1.
mentre la derivata di una funzione è una singola funzione, l'integrale indefinito di una funzione è un insieme non limitato di funzioni.
quindi non si può parlare di inversa.
all'esame di analisi 1 la mia prof bocciò uno dello scientifico per aver detto questo e ne era anche sicurissimo :asd:
il concetto di inversa di una funzione implica una relazione 1 a 1.
mentre la derivata di una funzione è una singola funzione, l'integrale indefinito di una funzione è un insieme non limitato di funzioni.
quindi non si può parlare di inversa.
8310
23-06-2006, 17:30
Definiamo ora l'integrale improrio (o, con dizione equivalente, in senso generalizzato). E' un concetto molto semplice e intuitivo e allo stesso tempo molto importante per le applicazioni che trova in diversi campi. Consideriamo in proposito funzioni (continue) definite in intervalli non limitati superiormente, in intervalli non limitati inferiormente, in intervalli non limitati inferiormente né superiormente e infine funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli.
Si fa uso del concetto di funzione integrale:
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} , Riemann integrabile in [a,b]. Si definisce funzione integrale della f in [a,b], la funzione http://operaez.net/mimetex/F:[a,b] \to \mathbb{R} tale che http://operaez.net/mimetex/\forall x \in [a,b]
http://operaez.net/mimetex/F(x) = \int_a^x {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: [a, + \infty ) \to \mathbb{R}, continua in [a,+inf). Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_a^x {f(t)dt}
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,+inf) e si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^{ + \infty } {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_a^x {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati inferiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: (- \infty, a] \to \mathbb{R} , continua in (-inf, a]. Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to -\infty } \int_x^a {f(t)dt}
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in (-inf,a] e si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_{ - \infty }^a {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to -\infty } \int_x^a {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente né inferiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: (- \infty, + \infty ) \to \mathbb{R} , continua in (-inf,+inf). In questo caso la f è integrabile in senso improprio in (-inf,+inf) se e solo se esiste un c reale tale che la f è integrabile in senso improprio in (-inf,c] e in [c,+inf). In tal caso si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = \int_{ - \infty }^c {f(x)dx} + \int_c^{ + \infty } {f(x)dx}
(N.B.: la scelta di c è assolutamente arbitraria e il risultato dell’integrazione è indipendente da c)
- Funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: [a, b) \to \mathbb{R} , continua in [a,b) e ivi non limitata. La f è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,b) se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to b^ - } \int_a^x {f(t)dt}
In tal caso si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to b^ - } \int_a^x {f(t)dt}
Stesso ragionamento per funzioni definite in intervalli del tipo (a,b] o (a,b) (e ivi non limitate).
Si fa uso del concetto di funzione integrale:
Sia http://operaez.net/mimetex/f:[a,b] \to \mathbb{R} , Riemann integrabile in [a,b]. Si definisce funzione integrale della f in [a,b], la funzione http://operaez.net/mimetex/F:[a,b] \to \mathbb{R} tale che http://operaez.net/mimetex/\forall x \in [a,b]
http://operaez.net/mimetex/F(x) = \int_a^x {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: [a, + \infty ) \to \mathbb{R}, continua in [a,+inf). Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_a^x {f(t)dt}
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,+inf) e si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^{ + \infty } {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int_a^x {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati inferiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: (- \infty, a] \to \mathbb{R} , continua in (-inf, a]. Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to -\infty } \int_x^a {f(t)dt}
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in (-inf,a] e si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_{ - \infty }^a {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to -\infty } \int_x^a {f(t)dt}
- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente né inferiormente:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: (- \infty, + \infty ) \to \mathbb{R} , continua in (-inf,+inf). In questo caso la f è integrabile in senso improprio in (-inf,+inf) se e solo se esiste un c reale tale che la f è integrabile in senso improprio in (-inf,c] e in [c,+inf). In tal caso si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = \int_{ - \infty }^c {f(x)dx} + \int_c^{ + \infty } {f(x)dx}
(N.B.: la scelta di c è assolutamente arbitraria e il risultato dell’integrazione è indipendente da c)
- Funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli:
Sia http://operaez.net/mimetex/f: [a, b) \to \mathbb{R} , continua in [a,b) e ivi non limitata. La f è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,b) se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/ {\lim }\limits_{x \to b^ - } \int_a^x {f(t)dt}
In tal caso si ha:
http://operaez.net/mimetex/\int_a^b {f(x)dx} = {\lim }\limits_{x \to b^ - } \int_a^x {f(t)dt}
Stesso ragionamento per funzioni definite in intervalli del tipo (a,b] o (a,b) (e ivi non limitate).
nin
23-06-2006, 21:34
Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Aspetto Lebesgue :D
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Aspetto Lebesgue :D
The_ouroboros
10-08-2007, 10:20
discussione interessante...uppete:fagiano:
debiandarko
10-08-2007, 11:14
mmm penso che per una migliore definizione di integrale di Riemann bisogna introdurre anche la misura di un insieme , insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e quindi la funzione caratteristica di un insieme ...
The_ouroboros
10-08-2007, 11:24
mmm penso che per una migliore definizione di integrale di Riemann bisogna introdurre anche la misura di un insieme , insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e quindi la funzione caratteristica di un insieme ...
se riuscissi a fare una cosa concisa non sarebbe malaccio :D
se riuscissi a fare una cosa concisa non sarebbe malaccio :D
lupin87
10-08-2007, 11:52
per integrale si intende il limite per x tendente all infinito di Sn(Somma di cauchy)...La somma di Cauchy è la sommatoria per x=1 a x=n di f(ck) con ck elemento dell intervallo x(n)..x(n-1)con n>1 * (n-(n-1))..correggetemi se sbaglio
mithrandirxxx
13-03-2008, 22:38
Integrale è l'operatore inverso della derivata.
non proprio...in realtà si dimostra che data un funzione def in un intervallo la funzione integrale F di f è derivabile nello stesso intervallo e si ha che F' = f per ogni x dell'intervallo.
inoltre ricordiamo che l'integrale non restituisce una sola primitiva della funzione ma un insieme (infinito per altro) di funzioni.
non proprio...in realtà si dimostra che data un funzione def in un intervallo la funzione integrale F di f è derivabile nello stesso intervallo e si ha che F' = f per ogni x dell'intervallo.
inoltre ricordiamo che l'integrale non restituisce una sola primitiva della funzione ma un insieme (infinito per altro) di funzioni.
Boostern
14-03-2008, 13:29
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
Eresia! :eek: Questa non è una definizione, tant'è che puoi integrare una funzione che non ammette primitiva.
L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.
Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c
c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:
D(x^3)/3 + c = x^2
E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).
L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.
Byeee
Eresia! :eek: Questa non è una definizione, tant'è che puoi integrare una funzione che non ammette primitiva.
Boostern
14-03-2008, 13:32
Ottimo, 8310 ha dato la definizione ;)
Boostern
14-03-2008, 13:33
Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Sai quante pagine ti ci vorrebbero per Lebesgue? :asd:
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!
Sai quante pagine ti ci vorrebbero per Lebesgue? :asd:
kus90
14-03-2008, 13:49
La definizione esatta? Flinstones:O
L'integrale è una famiglia di primitive (scherzi a parte!:D )
infatti la costante da aggiungere alla soluzione dell'integrale indefinito sta proprio a significare che la funzione trovata è solo una delle miriadi di funzioni che derivate danno l'integrale e differiscono tutte per una costante:stordita:
L'integrale è una famiglia di primitive (scherzi a parte!:D )
infatti la costante da aggiungere alla soluzione dell'integrale indefinito sta proprio a significare che la funzione trovata è solo una delle miriadi di funzioni che derivate danno l'integrale e differiscono tutte per una costante:stordita:
Cfranco
14-03-2008, 14:08
Sai quante pagine ti ci vorrebbero per Lebesgue? :asd:
Difatti sono passati due anni :asd:
Difatti sono passati due anni :asd:
gugoXX
17-03-2008, 22:58
La conoscevo diversamente:
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
C'e' anche la versione da Analisi III.
Ad una festa di distribuzioni, c'è la Delta di Dirac che se ne sta tutta sola.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non cerchi di coinvolgerti con qualcuno?"
E la delta di Dirac risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
C'e' anche la versione da Analisi III.
Ad una festa di distribuzioni, c'è la Delta di Dirac che se ne sta tutta sola.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non cerchi di coinvolgerti con qualcuno?"
E la delta di Dirac risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."
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