A tutti i matematici del forum....

[Bandit]

Abbiamo una funzione f(x) definita in un campo di esistenza qualunque D; un'altra funzione g(x) continua in questo D; e poi ho un'altra funzione z(x)=f(x)+g(x). La funzione z(x) è definita e continua in D?

Ciao e ditemi gentilmente il tempo che impiegate a risolverlo.

[kaioh]

se f e g sono continue e definite in D allora pure z lo è.

[Ziosilvio]

z(x) è definita in tutto D.
z(x) ed f(x) sono entrambe continue oppure entrambe non continue.

Meno di un minuto.

[Bandit]

Allora so solo che f(x) è definita in D.(questo non significa che è continua in D.giusto?)

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Bandit
Allora so solo che f(x) è definita in D.(questo non significa che è continua in D.giusto?)

Giusto.
"Definita" non implica "continua".

Esempio:
D=[0,1];
f(x) = 1 se x=/2; 1/2 se x=1; x se x<>1/2, x<>1, ma x razionale; 1-x se x è irrazionale.
Allora f(x) è definita in tutto D (ed è pure invertibile), ma non è continua in nessun punto di D.

Altro esempio (tanto per fare un po' di polemica :D):
D=[0,1];
f(x) = x^x se x>0, 0 se x=0.
Allora f(x) è definita in tutto D, ma non è continua nel punto x=0, che appartiene a D, quindi non è continua in D.

[Bandit]

Si ma io voglio sapere la z(x).

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Bandit
Si ma io voglio sapere la z(x).

Anzitutto: l'insieme delle funzioni definite su un insieme fissato e ivi continue è chiuso rispetto alla somma e alla sottrazione (esercizio).

A questo punto:
E' noto che g(x) è continua.
Se f(x) è continua, allora z(x)=f(x)+g(x) è continua.
Se z(x) è continua, allora f(x)=z(x)-g(x) è continua.
Quindi, z(x) è continua se e solo se è continua f(x).

[^TiGeRShArK^]

visto ke siamo in tema di matematica, anke se nn c'entra niente con la domanda di prima....

Se io ho una funzione senx/x da integrare tra -inf e +inf mediante Lebesgue, perchè posso estenderla nel campo dei numeri complessi usando la funzione (e^(iz))/z???
so ke e^ix = cos x + i sen x ma così facendo ke fine fa il cos x???

Tanto domani mattina ho esami di metodi 2 e spero ke non mi kali!!!

[Bandit]

Io ho pensato che z(x) non è definita in D poiche: supponiamo D[8,30] z(x)=9+29=38 che non appartiene al campo si esistenza.
però Z(x) dovrebbe essere continua in D poichè f(x) lo è, no?
Z(x) non è continua nel SUO campo di esistenza, ma non in D, nel quale è continua. giusto?

[IroNLieR]

z(x) è continua perchè somma di funzioni continue. facile facile:D 1/2 SEC. di tempo

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Giusto.
"Definita" non implica "continua".

Esempio:
D=[0,1];
f(x) = 1 se x=/2; 1/2 se x=1; x se x<>1/2, x<>1, ma x razionale; 1-x se x è irrazionale.
Allora f(x) è definita in tutto D (ed è pure invertibile), ma non è continua in nessun punto di D.

Altro esempio (tanto per fare un po' di polemica :D):
D=[0,1];
f(x) = x^x se x>0, 0 se x=0.
Allora f(x) è definita in tutto D, ma non è continua nel punto x=0, che appartiene a D, quindi non è continua in D.

E ridagli.....

Ci siamo squartati un bel pò in un altro 3d

per dire che 0^0=1

[^TiGeRShArK^]

ma non ti ha detto ke anke f(x) è continua, si sa x certo ke g(x) è continua....
cmq alla fine se f(x) e g(x) dono entrambe continue allora anke la funzione somma z(x) sarà continua, se invece f(x) è discontinua, allora la z(x) sarà anch'essa discontinua.
Ci sarebbe potuta stare un'altra soluzione nel caso in cui sia la f(x) che la g(x) fossero state discontinue nel punto x0.
Infatti se la f(x) e g(x) fossero state sempre continue TRANNE che nel punto x0, mi viene da pensare ke è possibile ke le due discontinuità si compensino a vicenda, venendo a creare nella funzione somma una funzione continua.
Cmq questo non è assolutamente il nostro caso in quanto sappiamo ke almeno una delle due è continua, quindi, CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE affinché la z(x) sia continua è che la f(x) deve essere continua.

Qualcuno mi sa rsp alla domanda ke avevo fatto qualke post prima????? :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

[gtr84]

Originariamente inviato da ^TiGeRShArK^
visto ke siamo in tema di matematica, anke se nn c'entra niente con la domanda di prima....

Se io ho una funzione senx/x da integrare tra -inf e +inf mediante Lebesgue, perchè posso estenderla nel campo dei numeri complessi usando la funzione (e^(iz))/z???
so ke e^ix = cos x + i sen x ma così facendo ke fine fa il cos x???

Tanto domani mattina ho esami di metodi 2 e spero ke non mi kali!!!

Scusa come fai a sapere che si può estendere la funz ai complessi senza sapere come è possibile farlo?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ^TiGeRShArK^
visto ke siamo in tema di matematica, anke se nn c'entra niente con la domanda di prima....

Se io ho una funzione senx/x da integrare tra -inf e +inf mediante Lebesgue, perchè posso estenderla nel campo dei numeri complessi usando la funzione (e^(iz))/z???
so ke e^ix = cos x + i sen x ma così facendo ke fine fa il cos x???

Tanto domani mattina ho esami di metodi 2 e spero ke non mi kali!!!


In bocca al lupo per l'esame.

Anzitutto: è noto che f(x)=(sen x)/x non è integrabile secondo Lebesgue sulla retta reale.
(E non vorrei sbagliare, ma mi pare che non sia integrabile neanche secondo Riemann.)
Quello che puoi sempre fare, però, se f:R-->R ha una singolarità nell'origine e per il resto è continua, è calcolare il valor principale del suo integrale, ossia il limite simultaneo, per r che diverge, dell'integrale di f esteso all'insieme degli x in R con 1/r < |x| < r.

Con f(x)=(sen x)/x ti conviene fare così.
Considera F(z)=(e^(iz))/z: è olomorfa in C meno l'origine.
Considera un circuito che parte da 1/r, arriva a r, fa un mezzo giro in senso antiorario fino a -r, arriva a -1/r, e fa un mezzo giro in senso orario fino a 1/r.
Siccome il circuito è interamente contenuto nel campo di olomorfia di F,l'integrale di F sul circuito è zero. Ossia, l'integrale di F sul pezzo di circuito costituito dai due segmenti, è uguale e contrario all'integrale di F sul pezzo di circuito costituito dalle due semicirconferenze.
Ora, se fai un po' di conti, scopri che il pezzo sul semicerchio in senso antiorario (mi raccomando il verso, con gli integrali complessi!) tende a zero (cosa che (sen z)/z non fa), mentre il pezzo sul semicerchio in senso orario converge.
Dato che sulla parte "reale" del circuito F(z) è (cos x)/x + i (sen x)/x, il valor principale che cerchi è proprio la parte immaginaria dell'opposto del limite dell'integrale di F sul semicerchio in senso orario. (Spero di non essermi impappinato con i segni qui :D )

Il problema è trovare buone funzioni su buoni circuiti.
Fatto questo, il Teorema di Goursat e quello dei residui ti tirano fuori da un sacco di impicci.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
In bocca al lupo per l'esame.

Anzitutto: è noto che f(x)=(sen x)/x non è integrabile secondo Lebesgue sulla retta reale.
(E non vorrei sbagliare, ma mi pare che non sia integrabile neanche secondo Riemann.)
Quello che puoi sempre fare, però, se f:R-->R ha una singolarità nell'origine e per il resto è continua, è calcolare il valor principale del suo integrale, ossia il limite simultaneo, per r che diverge, dell'integrale di f esteso all'insieme degli x in R con 1/r < |x| < r.

Con f(x)=(sen x)/x ti conviene fare così.
Considera F(z)=(e^(iz))/z: è olomorfa in C meno l'origine.
Considera un circuito che parte da 1/r, arriva a r, fa un mezzo giro in senso antiorario fino a -r, arriva a -1/r, e fa un mezzo giro in senso orario fino a 1/r.
Siccome il circuito è interamente contenuto nel campo di olomorfia di F,l'integrale di F sul circuito è zero. Ossia, l'integrale di F sul pezzo di circuito costituito dai due segmenti, è uguale e contrario all'integrale di F sul pezzo di circuito costituito dalle due semicirconferenze.
Ora, se fai un po' di conti, scopri che il pezzo sul semicerchio in senso antiorario (mi raccomando il verso, con gli integrali complessi!) tende a zero (cosa che (sen z)/z non fa), mentre il pezzo sul semicerchio in senso orario converge.
Dato che sulla parte "reale" del circuito F(z) è (cos x)/x + i (sen x)/x, il valor principale che cerchi è proprio la parte immaginaria dell'opposto del limite dell'integrale di F sul semicerchio in senso orario. (Spero di non essermi impappinato con i segni qui :D )

Il problema è trovare buone funzioni su buoni circuiti.
Fatto questo, il Teorema di Goursat e quello dei residui ti tirano fuori da un sacco di impicci.

Ma non è più semplice trasformare senx in serie di potenze?

o nella serie di Fuorier?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
E ridagli.....

Ci siamo squartati un bel pò in un altro 3d

per dire che 0^0=1

Come numero, 0^0=1.

Come limite, e da questo era nata la polemica, dipende.
Qui viene, perche x^x=e^(x ln x) per x>0, l'esponenziale è continuo, e x ln x --> 0 per x --> 0+ (si vede con de l'Hospital; trucco: x ln x = (ln x)/(1/x)).

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Bandit
Io ho pensato che z(x) non è definita in D poiche: supponiamo D[8,30] z(x)=9+29=38 che non appartiene al campo si esistenza.
però Z(x) dovrebbe essere continua in D poichè f(x) lo è, no?
Z(x) non è continua nel SUO campo di esistenza, ma non in D, nel quale è continua. giusto?

"f(x) è definita su D" significa "per ogni x in D, esiste il valore f(x)".
Che il valore f(x) appartenga o no a D, non ha alcuna importanza.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Come numero, 0^0=1.

Come limite, e da questo era nata la polemica, dipende.
Qui viene, perche x^x=e^(x ln x) per x>0, l'esponenziale è continuo, e x ln x --> 0 per x --> 0+ (si vede con de l'Hospital; trucco: x ln x = (ln x)/(1/x)).

Beh anche con il limite

hai dimostrato che fa 1

lim (x--> 0+) e^(x lnx) =1 giusto?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Ma non è più semplice trasformare senx in serie di potenze?

o nella serie di Fuorier?

Vediamo:
il termine generico della serie di potenze di (sen x)/x mi pare sia un x^(2k)/((2k+1)!), non proprio immediato, e non so neanche se si possa scambiare l'integrale con la serie...
... serie di Fourier di funzioni definite su un dominio parametrizzato mi paiono rischiose...

... no, a colpo d'occhio direi che conviene l'analisi complessa.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Vediamo:
il termine generico della serie di potenze di (sen x)/x mi pare sia un x^(2k)/((2k+1)!), non proprio immediato, e non so neanche se si possa scambiare l'integrale con la serie...
... serie di Fourier di funzioni definite su un dominio parametrizzato mi paiono rischiose...

... no, a colpo d'occhio direi che conviene l'analisi complessa.

SI ma se ti basta l'approssimazione del miliardesimo

ti fermi a k=7 o 8 no?

Questo integrale, che vale Radq(Pi) se nn sbaglio, so che è stato calcolato numericamente, non esistendo una primitiva di senx/x

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Beh anche con il limite

hai dimostrato che fa 1

lim (x--> 0+) e^(x lnx) =1 giusto?

OK, perché x ln x --> 0 per x --> 0+.

In altri casi potrebbe non essere così. Però non mi viene in mente nessun esempio.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
SI ma se ti basta l'approssimazione del miliardesimo

ti fermi a k=7 o 8 no?

Questo integrale, che vale Radq(Pi) se nn sbaglio, so che è stato calcolato numericamente, non esistendo una primitiva di senx/x

Il valore non me lo ricordo, ma quasi sicuramente c'entra Pi greco.
L'analisi complessa consente un calcolo esatto, sostanzialmente aggirando il problema della non esistenza di una primitiva esplicita.
Se poi si deve fare un calcolo numerico... sì, l'approssimazione dovrebbe bastare.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
OK, perché x ln x --> 0 per x --> 0+.

In altri casi potrebbe non essere così. Però non mi viene in mente nessun esempio.

Le calcolatrici danno 1

per esempio se faccio

0,00000000000001 ^0,0000000000001

più sono piccoli base ed asponente più la potenza si avvicina ad 1

La calcolatrice di WinXP da direttamente 1 se faccio 0^0

Altre no.


I programmi più potenti di Matematica come il

Mathematica ed Il Scientific Workplace, facendogli disegnare la

f(x,y)=x^y

non sono coerenti

Non riescono a trattare il punto di discontinuità della funzione

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Le calcolatrici danno 1

per esempio se faccio

0,00000000000001 ^0,0000000000001

più sono piccoli base ed asponente più la potenza si avvicina ad 1

La calcolatrice di WinXP da direttamente 1 se faccio 0^0

Altre no.

Quindi le idee sono molto confuse...


I programmi più potenti di Matematica come il

Mathematica ed Il Scientific Workplace, facendogli disegnare la

f(x,y)=x^y

non sono coerenti

Non riescono a trattare il punto di discontinuità della funzione

In effetti, mi sembra di ricordare che il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x --> 0+ e y --> 0+, non esiste.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Quindi le idee sono molto confuse...



In effetti, mi sembra di ricordare che il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x --> 0+ e y --> 0+, non esiste.

nn ho mai risolto limiti simultanei

cmq non si può usare il solito trucchetto?

x^y = e ^ln (x^y) = e^ (y ln x) ?

e quindi lim x^y =1 ?

forse non si può fare.....boh

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
nn ho mai risolto limiti simultanei

cmq non si può usare il solito trucchetto?

x^y = e ^ln (x^y) = e^ (y ln x) ?

e quindi lim x^y =1 ?

forse non si può fare.....boh

Il trucco sarebbe quello, ma temo che qui non si possa adoperare.
Se mi viene in mente un controesempio lo posto, ma mi sa che ci sarà da aspettare domani :D

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Il trucco sarebbe quello, ma temo che qui non si possa adoperare.
Se mi viene in mente un controesempio lo posto, ma mi sa che ci sarà da aspettare domani :D

SI me na vado pure io a dormì

Buonanotte e non fare incubi pieni di equazioni e formule ok?

:D :D

[^TiGeRShArK^]

Si infatti ziosilvio, x integrare secondo Lebesgue intendevo proprio quello ke hai spiegato tu, ovvero il lim x R che tende a inf dell ' integrale esteso tra + o - R. Cmq poi ho capito stamatttina sul cesso prima di andare a fare l'esame come funzionava. Dopo ke si risolve tutto, il contributo relativo al cos x/x si annulla e qdi restava solamente il contributo di (i sen x)/x.
Cmq oggi all'esame il prof. mi ha chiesto un integrale di x/(1+x^4) da risolvere semrpe alla stessa maniera secondo Lebesgue. A parte la nassa assurda a lavorare con gli esponenziali, c'ero quasi riuscito a svolgerlo tutto, se non fosse x il fatto ke mi sono dimenticato di moltiplicare per lambda i il risultato del limite....
cmq alla finem dopo un buon orale, ho preso 30!!!! :D:D:D

Grazie a tutti x l'attenzione!

BYEZ

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ^TiGeRShArK^
Si infatti ziosilvio, x integrare secondo Lebesgue intendevo proprio quello ke hai spiegato tu, ovvero il lim x R che tende a inf dell ' integrale esteso tra + o - R. Cmq poi ho capito stamatttina sul cesso prima di andare a fare l'esame come funzionava. Dopo ke si risolve tutto, il contributo relativo al cos x/x si annulla e qdi restava solamente il contributo di (i sen x)/x.
Cmq oggi all'esame il prof. mi ha chiesto un integrale di x/(1+x^4) da risolvere semrpe alla stessa maniera secondo Lebesgue. A parte la nassa assurda a lavorare con gli esponenziali, c'ero quasi riuscito a svolgerlo tutto, se non fosse x il fatto ke mi sono dimenticato di moltiplicare per lambda i il risultato del limite....
cmq alla finem dopo un buon orale, ho preso 30!!!! :D:D:D

Grazie a tutti x l'attenzione!

BYEZ

Prego, e complimenti.
Ma l'integrale esteso a R di x/(1+x^4) non è zero?

[^TiGeRShArK^]

no, esteso a R nel senso di Lebesgue... in realtà era un integrale tra 0 e +infinito, ke estendendo la funzione nel dominio complesso ho esteso tra +R e -R, per poi farlo tendere ad infinito :D:D
scusa ma in effetti non mi ero spiegato tanto bene :p

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Prego, e complimenti.
Ma l'integrale esteso a R di x/(1+x^4) non è zero?

Gli integrali di questo tipo si ridolvono con la teoria dei residui.

O almeno è come so risolverli

Ma che cos'è questa integrazione alla Lebesgue?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Gli integrali di questo tipo si ridolvono con la teoria dei residui.

O almeno è come so risolverli

Ma che cos'è questa integrazione alla Lebesgue?

Senza entrare troppo nei dettagli, è un modo di definire gli integrali in modo che lo spazio delle funzioni integrabili, modulo l'uguaglianza quasi ovunque, sia uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(f,g) = \int(|f-g|).
L'integrale di Lebesgue gode di altre buone proprietà che l'integrale di Riemann non ha. Per esempio, se f_n è una successione di funzioni integrabili secondo Lebesgue che:
1) ammette limite puntuale a meno di un insieme di misura nulla;
2) è uniformemente maggiorata in modulo da una funzione integrabile secondo Lebesgue g, cioè |f_n|<=g per ogni n,
allora il limite puntuale f è integrabile secondo Lebesgue, l'integrale del limite è il limite degli integrali, e lim \int(|f_n-f|)=0.

Comunque, se l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue di una stessa funzione esistono entrambi, allora sono uguali.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Senza entrare troppo nei dettagli, è un modo di definire gli integrali in modo che lo spazio delle funzioni integrabili, modulo l'uguaglianza quasi ovunque, sia uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(f,g) = \int(|f-g|).
L'integrale di Lebesgue gode di altre buone proprietà che l'integrale di Riemann non ha. Per esempio, se f_n è una successione di funzioni integrabili secondo Lebesgue che:
1) ammette limite puntuale a meno di un insieme di misura nulla;
2) è uniformemente maggiorata in modulo da una funzione integrabile secondo Lebesgue g, cioè |f_n|<=g per ogni n,
allora il limite puntuale f è integrabile secondo Lebesgue, l'integrale del limite è il limite degli integrali, e lim \int(|f_n-f|)=0.

Comunque, se l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue di una stessa funzione esistono entrambi, allora sono uguali.

Da premettere che sono cose di cui non ho mai sentito parlare, cmq grazie per la risposta

[Ziosilvio]

Come promesso, ecco un esempio in cui f(x)-->0 per x-->0+, g(x)-->0 per x-->0+, ma f(x)^g(x) non tende a 1 per x-->0+.

Poniamo f(x)=exp(-1/(x^2)), g(x)=x
Per x-->0+, g(x)-->0 ovviamente, f(x)-->0 perché -1/(x^2) --> -oo.
Però per x>0 è f(x)^g(x)=exp(g(x) ln f(x)) = exp (x (-1/(x^2))) = exp(-1/x).
E questa funzione tende a 0 per x-->0+.

Spero di non aver fatto confusione... :)

[Ziosilvio]

Il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x-->0+ e y-->0+, non esiste.
Se esistesse (e, poniamo, valesse L), allora per ogni coppia di funzioni continue f(x), g(x) definite per x>=0, positive per x>0, e tendenti a zero per x-->0+ dovrebbe aversi lim (x-->0+) f(x)^g(x)=L.
Invece, per f(x)=g(x)=x abbiamo lim (x-->0+) f(x)^g(x)=1, mentre per f(x)=exp(-1/(x^2)) e g(x)=x abbiamo lim (x-->0+) f(x)^g(x)=0.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Come promesso, ecco un esempio in cui f(x)-->0 per x-->0+, g(x)-->0 per x-->0+, ma f(x)^g(x) non tende a 1 per x-->0+.

Poniamo f(x)=exp(-1/(x^2)), g(x)=x
Per x-->0+, g(x)-->0 ovviamente, f(x)-->0 perché -1/(x^2) --> -oo.
Però per x>0 è f(x)^g(x)=exp(g(x) ln f(x)) = exp (x (-1/(x^2))) = exp(-1/x).
E questa funzione tende a 0 per x-->0+.

Spero di non aver fatto confusione... :)

Ehm mi sa di si :D

per le propietà degli esponenziali, i questo caso è

f(x)^g(x) = exp(-1/x)

ed il limite è 1

P.S. Io penso che comunque esistano dei casi in cui il limite non esiste.

[gtr84]

Originariamente inviato da gtr84
Ehm mi sa di si :D

per le propietà degli esponenziali, i questo caso è

f(x)^g(x) = exp(-1/x)

ed il limite è 1

P.S. Io penso che comunque esistano dei casi in cui il limite non esiste.

P.P.S.

Ho detto una ca@@ta pazzesca!!!!

il limite per x-->0 fa 0......

:ops: :ops2:

[gtr84]

AL di la di tutto ciò

Sto pensando seriamente di chiedere al docente di analisi II

è una faccenda che se nn approfondisco per bene, poi mi sento ignorante