Matematica - Il principio di induzione

[Zebra75]

come da titolo

non ho ancora capito cosa mi insegna il "Il principio di induzione"

http://www-math.science.unitn.it/~luminati/didattica/lab_mat/2001/ricorsione/html/



help me please


Sia P(n) una famiglia di proposizioni indicizzate su : frase presa dal link ma che significa ?

che posseggo P(0) , P(1), P(2) ,P(...) etc.... ?

[Aes Sedai]

Originariamente inviato da Zebra75
come da titolo

non ho ancora capito cosa mi insegna il "Il principio di induzione"

http://www-math.science.unitn.it/~luminati/didattica/lab_mat/2001/ricorsione/html/



help me please


Sia P(n) una famiglia di proposizioni indicizzate su : frase presa dal link ma che significa ?

che posseggo P(0) , P(1), P(2) ,P(...) etc.... ?

SIgnifica che se tu hai una serie di proposizioni e supponi che

- la prima sia vera
- se una è verificata è verificata anche la successiva

allora tutte le proposizione sono vere!

[Zebra75]

Originariamente inviato da Aes Sedai
SIgnifica che se tu hai una serie di proposizioni e supponi che

- la prima sia vera
- se una è verificata è verificata anche la successiva

allora tutte le proposizione sono vere!



cosa significa che la prima sia vera ?

che P(0) sia realmente un numero N ?

[abxide]

Originariamente inviato da Zebra75
cosa significa che la prima sia vera ?

che P(0) sia realmente un numero N ?
questa è vera per n=1

1<(1+n)^n
Se questa disequazione fosse vera anche per n+1 al posto di n, allora per il principio di induzione sarebbe sempre vera per ogni n.

[Zebra75]

Originariamente inviato da abxide
questa è vera per n=1

1<(1+n)^n
Se questa disequazione fosse vera anche per n+1 al posto di n, allora per il principio di induzione sarebbe sempre vera per ogni n.


come dire che se n=0 e sostituendo alla tua diesq ottengo:

1 < (1+0)^0

1 < (1)^0

1 < 1 = falso

[Zebra75]

ah, xchè qualsiasi numero elevato a zero dà come risultato 1, quindi sempre falsa

[Zebra75]

uhm, ho detto qualche castroneria ?:rolleyes:

[Marco2000]

bisogna fornire una base d'induzione, ad esempio per n=1 è vero, lo stesso per n=2 e così via....

devi dimostrare che scrivendo al posto di n (n+1) facendo opportune sostituzioni e passaggi matematici ottieni una formula vera che ti porta a dire che è vera per ogni n maggiore (o uguale) della base.

[abxide]

Originariamente inviato da Zebra75
come dire che se n=0 e sostituendo alla tua diesq ottengo:

1 < (1+0)^0

1 < (1)^0

1 < 1 = falso
è falsa per n=0, ma io ho posto come base n=1 quindi è vera.

[Zebra75]

come si legge questa ?


http://www-math.science.unitn.it/~luminati/didattica/lab_mat/2001/ricorsione/html/img21.gif

[Zebra75]

principio di induzione

esercizio:

a) n²+3•n , è divisibile per 2 , per n>1 ??????


il primo passaggio l'ho capito in quanto è sufficiente sostituire a (n) la cifra 2

ma per n=k e n=k+1 come si fa ?

[goldorak]

Originariamente inviato da Zebra75
principio di induzione

esercizio:

a) n²+3•n , è divisibile per 2 , per n>1 ??????


il primo passaggio l'ho capito in quanto è sufficiente sostituire a (n) la cifra 2

ma per n=k e n=k+1 come si fa ?



Per la parte induttiva, supponi che la proposizione
n^2+3*n , e' divisibile per 2 sia vera per n >1.
Dimostariamo allora che (n+1)^2+3*(n+1) sia divisibile per 2. Sviluppiamo l'espressione ottenendo n^2 + 2*n + 2 +3*n + 3 che raggruppando e sempilficando diventa (n^2+3*n)+2(n+3) che e' divisibile per 2 poiche' il primo termine lo e' per l'ipotesi induttiva ed il secondo termine essendo un numero pari e' divisibile per 2.
In conclusione l'ipotesi e' quindi vera per ogni n >=1.

[misterx]

Originariamente inviato da goldorak



chiedo anch'io: ma perchè in questo passaggio non si sommano i temini simili ?


n^2 + 2*n + 2 +3*n + 3


ottenendo



n^2 + 5*n + 5 ????



:)

[goldorak]

Non cambia assolutamente niente, ma siccome devi dimostare che l'espressione (n+1)^2+3*(n+1) e' divisibile per 2 (usando l'ipotesi induttiva) ovvero usando il fatto che n^2+3*n mod 2 = 0 e' piu' facile vederlo su l'espressione (n^2+3*n) + 2(n+3) che non su n^2+5*n+5.
;)

[Zebra75]

chiedo un altro aiuto per questa:


1+2+3+...........+n = n(n+1)/2 per n >=1


quindi:

per n=k ....e..... n=k+1


grazie