Aldin
21-04-2011, 15:33
L'integrale primo è definito come una funzione dello spazio delle fasi costante nel tempo, intendendo con spazio delle fasi il sistema cartesiano x, v dove ogni punto è a sua volta un vettore a tre componenti. Per definizione se A(x) è un integrale primo allora il suo differenziale rispetto al tempo si annullerà, è quindi una funzione costante. Il sistema che vogliamo studiare, ipotizziamo un sistema fisico, nello spazio delle fasi costruirà un orbita nella quale esso si muove. La derivata in un punto, chiamiamola B, sarà un vettore tangente ad un punto dell'orbita. Ho come proprietà che il gradiente dell'integrale primo è perpendicolare a questa retta tangente. Infatti: link (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{d}{dt}%28A%28\vec{x}%29%29=\Sigma\frac{\partial%20A}{\partial%20x_k}\cdot%20\frac{\mathrm{d}%20x_k}{\mathrm{d}%20t}=\Sigma\frac{\partial%20A}{\partial%20x_k}\cdot%20B=0), ricordando che in A si deriva rispetto alle fasi mentre in B rispetto al tempo. Non riesco però a capire l'interpretazione geometrica del problema. Nel caso di un moto ad un unica dimensione B ha due componenti, e così A è una funzione a due variabili, x e v. Quindi possiamo pensare un grafico in tre dimensioni con x e v sulla base e A come altezza, a costituire una superficie, ma non un piano in quanto la costanza serve unicamente rispetto al tempo. L'orbita nello spazio delle fasi è contenta sul piano. Allora noi proiettiamo graficamente l'orbita sulla superficie della funzione, calcoliamo nablaA e B e verifichiamo la perpendicolarità. Perché forma un piano e non una curva? Perché A associa un'altezza sul grafico ad ogni suo punto x, v e ha una valenza generale, non riferita ad un unica orbita. Ma come fanno i due vettori perpendicolari che ho ottenuto ad appartenere ad un grafico a tre dimensioni se hanno solamente due componenti? Dovranno pure appartenere ad un piano. B seppure pensato spiccato dall'orbita proiettata su A resterà parallelo al piano delle fasi, il gradiente di A allora sarà costretto a muoversi su di un piano passante per B. No?