[FISICA] spaziotempo di minkowski e dintorni

[CioKKoBaMBuZzo]

allora, sto leggendo l'ottimo "l'universo elegante" di greene, e c'è una parte matematica che non capisco (in grassetto i miei commenti):

"partendo dal quadrivettore nello spaziotempo http://operaez.net/mimetex/x=(ct, x_1, x_2, x_3)=(ct, \vec{x}) (fin qui ci sono), possiamo

ricavare il quadrivettore velocità http://operaez.net/mimetex/u=\frac{dx}{d\tau} (ok), dove tau è il tempo proprio definito da

http://operaez.net/mimetex/d\tau^2=dt^2-\frac{dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2}{c^2} (già qua mi sono perso).

Allora la "velocità nello spaziotempo" è la norma del vettore u, cioè http://operaez.net/mimetex/\sqrt{\frac{c^2dt^2-d\vec{x}^2}{dt^2-\frac{d\vec{x}^2}{c^2}}}(anche questo mi sfugge.

cioè so com'è definita la norma, ma non capisco perchè prenda quella forma e perchè la norma del vettore velocità dovrebbe essere a "velocità nello spaziotempo".), che è identica a c (ok).

Riscrivendo la relazione http://operaez.net/mimetex/c^2(\frac{dt}{d\tau})^2-(\frac{d\vec{x}}{d\tau})^2=c^2 (questa da dove l'ha tirata fuori?) otteniamo http://operaez.net/mimetex/c^2(\frac{d\tau}{dt})^2+(\frac{d\vec{x}}{d\tau})^2=c^2.

Questo mostra che un incremento della velocità, cioè del fattore http://operaez.net/mimetex/\sqrt{(\frac{d\vec{x}}{d\tau})^2}, deve essere accompagnato da un decremento nel fattore http://operaez.net/mimetex/\frac{d\tau}{dt}, cioè nella velocità con cui il tempo scorre nell'orologio solidale con l'oggetto (dtau) rispetto a quella dell'orologio in quiete (dt)"

la fine mi è chiara, perchè prima era stato spiegato a parole quello che poi ha fatto vedere matematicamente. non mi sono chiari i paggassi che portano alla relazione http://operaez.net/mimetex/c^2(\frac{d\tau}{dt})^2+(\frac{d\vec{x}}{d\tau})^2=c^2

[T3d]

l'equazione http://operaez.net/mimetex/d%5Ctau%5E2=dt%5E2-%5Cfrac%7Bdx_1%5E2+dx_2%5E2+dx_3%5E2%7D%7Bc%5E2%7D
è ricava dall'invarianza dell'intervallo per trasformazioni di lorentz che è:
http://operaez.net/mimetex/ds%5E2=c%5E2dt%5E2-d%5Cvec%7Bx%7D%5E2
scrivendo i due intervalli, sia nel sistema di riferimento solidale al corpo, sia in quello inerziale:
http://operaez.net/mimetex/c%5E2d%5Ctau%5E2=c%5E2dt%5E2-d%5Cvec%7Bx%7D%5E2
si ricava l'equazione che hai riportato:
http://operaez.net/mimetex/d%5Ctau%5E2=dt%5E2-%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bx%7D%5E2%7D%7Bc%5E2%7D

per quanto riguarda la norma, ricordati che nello spazio di minkowsi la metrica è diversa dagli spazi euclidei. l'intervallo è proprio una norma nello spazio a quattro dimensioni e ha un differente segno per le coordinate spaziali rispetto a quella temporale.
quindi la norma della quadrivelocità seguendo la definizione di derivata del quadrivettore posizione è:
http://operaez.net/mimetex/|u|%5E2=c%5E2%5Cfrac%7Bdt%5E2%7D%7Bd%5Ctau%5E2%7D-%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bx%7D%5E2%7D%7Bd%5Ctau%5E2%7D
raccogliendo http://operaez.net/mimetex/d%5Ctau%5E2 e sostituendolo con la formula del http://operaez.net/mimetex/d%5Ctau%5E2 precedentemente trovata, ricava facilmente che la norma di u è:
http://operaez.net/mimetex/%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bc%5E2dt%5E2-d%5Cvec%7Bx%7D%5E2%7D%7Bdt%5E2-%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bx%7D%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%7D%7D

questa relazione http://operaez.net/mimetex/c%5E2(%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bd%5Ctau%7D)%5E2-(%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bx%7D%7D%7Bd%5Ctau%7D)%5E2=c%5E2 deriva sempre dal fatto che la norma della quadrivelocità è invariante per trasformazioni di lorentz, quindi:
http://operaez.net/mimetex/c%5E2(%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bd%5Ctau%7D)%5E2-(%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bx%7D%7D%7Bd%5Ctau%7D)%5E2=c%5E2(%5Cfrac%7Bd%5Ctau%7D%7Bd%5Ctau%7D)%5E2
con il primo membro la norma della quadrivelocità nel sistema di riferimento inerziale, mentre il secondo è quello solidale al corpo, quindi con variazioni delle coordinate spaziali nulle.

l'ultima equazione, sinceramente non so come l'abbia ricavata... vedo di studiarla meglio.

ah se ho detto delle sciocchezze siete autorizzati a frustrarmi :D

[CioKKoBaMBuZzo]

aspe...non mi è chiara la definizione di intervallo, per cui non ho capito la prima parte anche se sui calcoli ci sono


edit: ah comunque l'ultima relazione che ho scritto è sbagliata, quella giusta è:
http://operaez.net/mimetex/c^2(\frac{d\tau}{dt})^2+(\frac{d\vec{x}}{dt})^2
e si ottiene facilmente in pochi passaggi

[T3d]

aspe...non mi è chiara la definizione di intervallo, per cui non ho capito la prima parte anche se sui calcoli ci sono
immaginati uno spazio euclideo, se calcoli una distanza tra due punti in un SR fermo e uno in movimento otterrai lo stesso valore, quindi è invariante per trasformazioni galileane.
invece in meccanica relativistica questo non è più vero, dato che ci sono di mezzo le trasformazioni di lorentz.
invece spostandoci appunto negli spazi di minkowski a quattro dimensioni (ct, x, y, z), questo intervallo, che è praticamente la norma o distanza tra due eventi (non più punti dato che c'è anche la coordinata temporale) è invariante come lo era la distanza negli spazi euclidei.

più chiaro ora? :)

edit: ah comunque l'ultima relazione che ho scritto è sbagliata, quella giusta è:
http://operaez.net/mimetex/c^2(\frac{d\tau}{dt})^2+(\frac{d\vec{x}}{dt})^2
e si ottiene facilmente in pochi passaggi
ah ecco, infatti mi veniva questa equazione :D